ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА: 8.3. Енергія та маса

ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА

Попередній: 8.2. Основне рівняння релятивістської динаміки

8. СПЕЦІАЛЬНА ТЕОРІЯ ВІДНОСНОСТІ. ДИНАМІКА

8.3. Енергія та маса

Усі розглянуті досі результати СТВ стосуються понять і величин, які відомі й у класичній механіці. Але, створюючи СТВ, Ейнштейн відкрив і знаменитий закон взаємозв’язку між енергією та масою, котрому немає аналогів у ньютонівській механіці. Про існування такого зв’язку можна здогадатись і встановити відповідні співвідношення, аналізуючи зв’язок між механічною енергією та роботою сил для релятивістської частинки.

Кінетична енергія релятивістської частинки

Одне з основних положень механіки – теорема про кінетичну енергію (Л1-6, п. 6.2), що встановлює зв’язок між нею та роботою сил (6.8), (6.8а), зберігає чинність і в релятивістській механіці. Але кінетична енергія визначається іншою, ніж у класичній механіці, формулою. Для її встановлення розглянемо роботу, яку виконує якась сила \( \vec{F}\) над релятивістською частинкою на переміщенні \( \mathrm{d}\vec{r} \) (рис 9.2). Згідно з (6.1) і (1.3)

\(\delta A=\vec{F}{d}\vec{r}=\vec{F}\vec{v}{d}t\)

Відповідно до (9.3б), \(\vec{F}{d}t={d}({{m}_{r}}\vec{v})={{m}_{r}}{d}\vec{v}+\vec{v}{d}{{m}_{r}}\), де m_r – релятивістська маса. Тому

\(\delta A=\vec{v}\left( \vec{v}{d}{{m}_{r}}+{{m}_{r}}{d}\vec{v} \right)={{v}^{2}}{d}{{m}_{r}}+{{m}_{r}}v{d}v\)

(9.5)

де враховано, що \({{\vec{v}}^{2}}={{v}^{2}}\) і \(\delta A=\vec{v}\left( \vec{v}{d}{{m}_{r}}+{{m}_{r}}{d}\vec{v} \right)={{v}^{2}}{d}{{m}_{r}}+{{m}_{r}}v{d}v\), (див. рис 9.2).

Для визначення dm_r спочатку перетворимо (9.2):

\(m_{r}^{2}=\frac{m^{2}}{1-(v/c)^{2}}\) \(\Rightarrow\) \(m_{r}^{2}-m_{r}^{2}v^{2}/c^{2}\) \(\Rightarrow\) \(m_{r}^{2}c^{2}-m_{r}^{2}v^{2}=m^{2}c^{2}\)

Тепер продиференцюємо отриманий вираз:

\(2m_{r}c^{2}\mathrm{d}m_{r}-2m_{r}v^{2}\mathrm{m_{r}}-2m_{r}^{2}v\mathrm{d}v=0\),

звідки, після ділення на 2m, одразу одержимо вираз усієї правої частини (9.5):

\(v^{2}\mathrm{d}m_{r}+m_{r}v\mathrm{d}v=c^{2}\mathrm{d}m_{r}\).

(9.6)

Отже, з урахуванням (6.8), можна записати:

\(\mathrm{d}K=\delta{A}=c^{2}\mathrm{d}m_{r}\).

(9.7)

Звідси випливає, що приріст кінетичної енергії частинки зумовлений приростом її релятивістської маси. Якщо частинка перебуває у спокої, то К = 0 і m_r = m. Тому, інтегруючи (9.7) у границях від 0 до К і від m до m_r, знаходимо:

\(\int\limits_{0}^{K}\mathrm{d}K=\int\limits_{m}^{m_{r}}c^{2}\mathrm{d}m\) \(\Rightarrow\) \(K=c^{2}(m_{r}-m)\).

(9.7а)

Нарешті, врахувавши (9.2), одержимо формулу кінетичної енергії релятивістської частинки:

\(K=mc^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}-1\right)\).

(9.8)

При малих швидкостях (v << c) ця формула теж переходить у формулу кінетичної енергії ньютонівської механіки (6.7). Щоб у цьому переконатися, розкладемо перший доданок (9.8) у степеневий ряд за формулою бінома Ньютона:

\(\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}=\left(1+(v/c)^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}+\frac{3}{8}\frac{v^{4}}{c^{4}}+...\).

При \(v\ll{c}\) можна обмежитися першими двома доданками, і тоді (9.8) трансформується в класичну формулу

\(K=\frac{mv^{2}}{2}\).

Зауважимо, що останній вираз є чинним тільки при малих швидкостях. Для швидких рухів він не придатний, навіть, якщо в нього замість маси спокою підставити релятивістську масу частинки.

Взаємозв’язок енергії і маси

Якщо розкрити дужки в (9.7а), то кінетична енергія релятивістської частинки постане у вигляді різниці двох величин:

_{\(K=m_{r}c^{2}-mc^{2}\).}

(9.9)

Перша з них

_{\(E=m_{r}c^{2}\)}

(9.10)

стосується частинки, що рухається, і називається повною (релятивістською) енергією. Друга

_{\(E_{0}=mc^{2}\)}

(9.11)

відноситься до тієї ж частинки в стані спокою і, відповідно, називається енергією спокою.

За допомогою цих понять кінетична енергія (енергія руху) релятивістської частинки відповідно до (9.9) виражається дуже природньо: кінетична енергія – то є різниця енергії частинки в стані руху E та в стані спокою E₀:

\(K=E-E_{0}\).

(9.12)

У зв’язку з цим виникає питання про природу енергії спокою, адже можна подумати, що то є, подібно до релятивістської маси, лише зручна формальна величина. Але Ейнштейн дійшов висновку, що енергія спокою є реальною фізичною величиною, що визначає узагальнену внутрішня енергію частинки (тіла). Якщо частинка є складною, приміром, як ядро атома, то енергія спокою включає енергію взаємодії складових частинок, але не тільки! Згідно з Ейнштейном, будь-яка елементарна частинка, котра “ні з чого не складається”, як от електрон, теж має відповідну енергію спокою. Реальність енергії спокою доводиться тим, що вона здатна перетворюватися на інші види енергії. При цьому будь-яка зміна енергії спокою супроводжується еквівалентною зміною маси спокою частинки:

\(\Delta{m}=\frac{\Delta{E_{0}}}{c^{2}}\).

(9.13)

Наприклад, при окисленні вуглецю (горінні) виділяється енергія, тож енергія молекули вуглекислого газу менша за сумарну енергію частинок, які беруть участь у реакції. Тому й маса спокою молекули вуглекислоти повинна бути менша, ніж сума мас спокою атома вуглецю та молекули кисню. Але в хімічних реакціях і взаємодії макроскопічних тіл зміна маси спокою настільки мізерна (див. Задача 9.8), що її неможливо виявити. Інша справа ядерні реакції, в яких взаємодіють ядра атомів або елементарні частинки надвисоких енергій. В таких процесах виділяються й поглинаються настільки великі енергії, що зміну маси спокою можна не тільки виявити, а й визначити на досліді. Зокрема, встановлено, що маса ядра будь-якого хімічного елемента менша за сумарну масу складових нуклонів у згоді з (9.13). Більше за те, завдяки цьому отримують промислову енергію на атомних електростанціях. Таким чином, формула (9.11) виражає один з найбільш фундаментальних законів природи – взаємозв’язок маси та енергії. Його глибинний зміст полягає в тому, що енергія є невід’ємною характеристикою матерії – будь-яка частинка чи тіло має відповідний (і дуже великий) запас енергії завдяки самому факту свого існування.

Зв’язок між енергією та імпульсом

Імпульс (9.1) і повна енергія (9.10) релятивістської частинки залежать від швидкості, отже й від системи відліку. Однак існує певна комбінація цих величин, яка є релятивістським інваріантом, тобто не залежить від системи відліку. З формули (9.2) маємо

\( {m}_{r}^{2}=\frac{m^{2}}{1-(v^{2}/c^{2})}\) \( \Rightarrow \) \( {m}_{r}^{2}c^{2}=m_{r}^{2}v^{2}=m^{2}c^{2}\).

Домноживши цей вираз на c² і врахувавши (9.10) і (9.1а), одержимо

_{\( {E^{2}}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}\).}

(9.14)

Оскільки в правій частині фігурують тільки інваріантні величини т і с, величина, що стоїть у лівій частині, теж є релятивістським інваріантом, тобто, не залежить від системи відліку. Отже,

\( {E^{2}}-p^{2}c^{2}=\mathrm{inv} \).

(9.15)

Запишемо ще деякі корисні співвідношення. По-перше, вираз (9.14) зручно переписати у вигляді:

\( {E}=c\sqrt{p^{2}+m^{2}c^{2}}\).

(9.16)

Окрім того, безпосередньо з (9.1а) і (9.10) випливає співвідношення:

\( \vec{p}=\frac{E\vec{v}}{c^{2}}\).

(9.17)

Нарешті, з (9.14) і (9.12) можна отримати зв’язок між імпульсом і кінетичною енергією релятивістської частинки:

\( pc=\sqrt{{{E}^{2}}-{{m}^{2}}{{c}^{4}}}=\sqrt{{{\left( K+m{{c}^{2}} \right)}^{2}}-{{m}^{2}}{{c}^{4}}}=\sqrt{K\left( K+2m{{c}^{2}} \right)} \)

звідки

\( p=\frac{1}{c}\sqrt{K\left( K+2m{{c}^{2}} \right)}\).

(9.18)

Зауважимо, що, відповідно до цього виразу, в ядерній фізиці та фізиці елементарних частинок імпульс прийнято вимірювати в одиницях енергії (МеВ), поділених на швидкість світла c, тобто – в МеВ/с.

Безмасові частинки

Сучасною наукою незаперечно встановлено, що в природі існують так звані безмасові частинки - частинки, які не мають маси спокою. Такими є фотони - елементарні частинки, що переносять електромагнітне випромінювання, зокрема, світло. З деякою імовірністю безмасовими є й різні види нейтрино – частинки, що народжуються в певних ядерних реакціях.

Для безмасової частинки т = 0, і з (9.16) випливає, що

\(E=pc\) або ж \(p=\frac{E}{c}\).

(9.19)

Ця формула узгоджується з (9.17) тільки за умови, що v = c. Отже, єдиним можливим станом безмасової частинки є рух із граничною швидкістю. Тому, стикаючись з іншими частинками, безмасові частинки або відбиваються без зміни величини швидкості, або поглинаються, тобто, припиняють своє існування. При цьому вони тілу, з яким стикаються, передають імпульс і, згідно з (9.3), створюють відповідну силу тиску. Тиск світла вперше виміряв учений Лебедєв. Отримані ним у дослідах значення тиску світла узгоджуються з теоретичними величинами, розрахованими на основі механізму зіткнень фотонів з частинками опромінюваного тіла. Це є одним із експериментальних підтверджень розглянутої концепції безмасових частинок і їхніх властивостей.