ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
8. СПЕЦІАЛЬНА ТЕОРІЯ ВІДНОСНОСТІ. ДИНАМІКА
8.2. Основне рівняння релятивістської динаміки
Із виразу релятивістського імпульсу (9.1) зрозуміло, що \( \mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}y\ne{m}\vec{a}\), отже, для релятивістської частинки другий закон Ньютона у формі \( {m}\vec{a}=\vec{F}\) не виконується. Але, як доведено, основне рівняння динаміки в більш загальній формі (3.3) зберігає чинність і в СТВ:
|
\( \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\). |
(9.3) |
Само собою, в основному рівнянні релятивістської динаміки (9.3) фігурує релятивістський імпульс. Розгорнуто воно записується так:
|
\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m_{0}\vec{v}}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}\right)=\vec{F}\). |
(9.3а) |
Рівняння (9.3) можна подати й через релятивістську масу:
|
\( \frac{\mathrm{d}(m_{r}\vec{v})}{\mathrm{d}t}\vec{F} \). |
(9.3б) |
Рівняння (9.3) і (9.3б), начебто, такі самі, як і в класичній механіці, але це лише видимість. Насправді для релятивістської частинки немає прямого зв’язку між величиною сили та прискоренням. В цьому легко переконатись, якщо виконати диференціювання в (9.3б), взявши до уваги, що mr теж залежить від часу:
|
\( {m}_{r}\vec{a}+\vec{v}\frac{\mathrm{d}m_{r}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\), |
(9.4) |
де \( \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\) – прискорення частинки. При цьому, позаяк другий доданок у лівій частині рівняння (9.4) за напрямом не збігається з \( \vec{F}\) (див. рис 9.1), то й напрям прискорення частинки \(\vec{a}\) теж не збігається з напрямом сили, що діє на неї. Є лише два винятки з такої неординарної поведінки релятивістської частинки: 1) діюча на частинку сила поперечна \(\vec{F}\bot \vec{v}\) і 2) сила поздовжня \(\vec{F}\parallel \vec{v}\).
|
|
У першому випадку сила не виконує роботи, отже, рух є рівномірним і mr = const. Тому
|
\({{m}_{r}}\vec{a}=\vec{F}\quad \Rightarrow \quad \frac{m\vec{a}}{\sqrt{1-{{\left( {v}/{c}\; \right)}^{2}}}}=\vec{F}\)
|
(9.4а) |
У другому випадку рух частинки є прямолінійним і, як можна показати, виконавши диференціювання в (9.3а),
|
\(\frac{m\vec{a}}{{{\left( 1-{{\left( {v}/{c}\; \right)}^{2}} \right)}^{{3}/{2}\;}}}=\vec{F}\)
|
(9.4б) |
Отже, в цих двох випадках прискорення частинки має напрям діючої на неї сили, а рівняння (9.4а) і (9.4б) нагадують рівняння другого закону Ньютона (3.5). Тому в них множники при прискоренні іноді називають поперечною та поздовжньою масою, відповідно. В такому сенсі можна говорити, що сила дорівнює добутку маси на прискорення. Проте це не означає, що виконується другий закон Ньютона, оскільки прискорення не є прямо пропорційним діючій на частинку силі. Зокрема, з рівняння (9.4б) видно, що при дії сталої сили прискорення частинки, через зростання швидкості, буде невпинно зменшуватися, простуючи до нуля при наближенні швидкості до значення v = с. Отже, з основного рівняння релятивістської динаміки теж випливає висновок про граничний характер швидкості с, який раніше було отримано в кінематиці СТВ (див. Лекція 8, п. 8.4).
Наостанок відмітимо, що при малих швидкостях руху релятивістські рівняння (9.3а), (9.4а) і (9.4б), як завжди, автоматично переходять у відповідне класичне рівняння (3.5).