physics.zfftt.kpi.ua

 Установимо тепер формули перетворення швидкостей в СТВ, тобто, формули, котрі пов’язують між собою швидкості руху частинки в двох різних системах відліку - нерухомій К-системі та в К′-системі, що рухається відносно К із швидкістю V уздовж осі ОХ. Нехай частинка в К-системі відліку рухається із швидкістю \(\vec{v}\). Її компоненти  визначаються, як

Так само швидкість частинки в K′-системі \(\vec{v}' \) визначається компонентами

Аби знайти зв’язок між векторами \(\vec{v}' \) і \(\vec{v}\), виразимо переміщення й проміжок часу в (8.15а) через відповідні величини в К-системі відліку. Для цього продиференціюємо співвідношення (8.13)

\(\mathrm{d}{x}'=\frac{\mathrm{d}x-V\mathrm{d}t}{\sqrt{1-{{\left( {V}/{c}\; \right)}^{2}}}}\),   \(\mathrm{d}y'=\mathrm{d}y \),    \(\mathrm{d}z'=\mathrm{d}z \),   \(\mathrm{d}{t}'=\frac{\mathrm{d}t-\frac{V}{{{c}^{2}}}\mathrm{d}x}{\sqrt{1-{{\left( {V}/{c}\; \right)}^{2}}}}\).

Після підстановки цих виразів у (8.15а) і заміни (V/c) = β матимаємо:

\({v'}_x=\frac{\mathrm{d}x-V\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t-\frac{V}{c^2}\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-V}{1-\frac{V}{c^2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\),

\({{{v}'}_{y}}=\frac{\mathrm{d}y\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}{\mathrm{d}t-\frac{V}{{{c}^{2}}}\mathrm{d}x}\)=\(\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}{1-\frac{V}{{{c}^{2}}}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\)

\( {v'}_z=\frac{\mathrm{d}z\sqrt{1-\beta^2}}{\mathrm{d}t-\frac{V}{c^2}\mathrm{d}x}\) = \( \frac{\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\cdot \sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}{1-\frac{V}{{{c}^{2}}}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\).

Урахувавши (8.15), отримаємо остаточно:

Ці формули виражають релятивістський закон перетворення швидкостей. При малих швидкостях (V << c і v << c) вони трансформуються в класичний закон додавання швидкостей (1.33) і (1.33а), виражений в координатній формі. В цьому зв’язку відмітимо, що y- i z- проекції швидкості частинки в одній системі відліку залежать не тільки від однойменних проекцій в іншій, а й від х-проекції швидкості. Тому для релятивістської частинки неможливо виразити зв’язок між швидкостями безпосередньо у векторній формі.

Гранична швидкість

 Визначення за формулами (8.16), (8.16а) величини (модуля) та напрямку швидкості частинки в одній системі відліку через ці характеристики, задані в іншій системі відліку, потребує громіздких викладок. Тому при аналізі загальних наслідків з релятивістського закону перетворення швидкостей для більшої прозорості розглядають випадок руху частинки паралельно до осей X, X′ систем відліку. В такому разі поперечні компоненти швидкості дорівнюють нулю, і величина та напрям швидкості частинки в обох системах відліку визначаються тільки однією проекцією  \({v_x}\) або  \({{v'}_x}\) (у таких випадках у формулах перетворень швидкості часто опускають індекс проекції). Розглянемо приклади застосування формул (8.16) і (8.16а) за вказаних умов.

          Приклад 1. Нехай спостерігач у рухомій K′-системі відліку вимірює швидкість c′ світлового променя, що йде вздовж осі  O′X′ від джерела, закріпленого в початку відліку О нерухомої К-системи відліку. В К-системі швидкість променя дорівнює с, тому, згідно з (8.16),

\({c}'=\frac{c-V}{1-\frac{Vc}{{{c}^{2}}}}=c \)

Отже, в обох системах відліку світловий промінь поширюється з однаковою швидкістю. Взагалі, в цьому немає нічого несподіваного, адже в самі перетворення Лоренца, з яких і випливають формули (8.16), вже закладено постулат сталості швидкості світла.

Приклад 2. Із космічної ракети, що віддаляється від Землі зі швидкістю 0,8с, випустили в напрямку руху зонд із швидкістю 0,6с відносно ракети. Визначимо швидкість зонда v відносно Землі. Для цього пов’яжемо із Землею нерухому К-систему відліку, а з ракетою – рухому K′-систему відліку так, щоб осі  X, X′ мали напрям руху ракети та зонда. Тоді V = 0,8c i v′ = 0,6c. Підставляємо ці значення у відповідну формулу (8.16а) і отримуємо:

\({v}=\frac{0,6c+0,8c}{1+0,48}\approx0,95c \).

Отже, виходить v < c, тоді як згідно з класичним законом (1.33а) і “здоровим глуздом” мало би вийти 1,4 с.

Приклад 3. Нехай дві елементарні частинки 1 і 2 рухаються назустріч одна одній паралельно осі ОХ К-системи відліку з однаковою швидкістю \({v_1=v_2=nc}\). Визначимо відносну швидкість частинок v, наприклад, швидкість руху другої відносно першої. Для цього перейдемо в K′-систему відліку, котра рухається відносно К із швидкістю першої частинки \({V=v_1}\). Тоді перша частинка є нерухомою, і швидкість другої частинки в цій системі відліку є шуканою її швидкістю відносно першої: \({v'}_2={v}\). Підставляючи значення проекцій швидкостей в (8.16), знаходимо:

Знак “–” відображає те, що частинка 2 рухається назустріч частинці 1. Із цього виразу випливає  важливий висновок про те, що за будь-яких умов \({v\le{c}}\). У цьому переконує формальний аналіз виразу (8.17). Справді, при малих швидкостях (n << 1) модуль відносної швидкості v ≈ 2nc зростає при збільшенні n. Але при n >> 1  v ≈ 2c/n і зменшується при зростанні n. Отже, при деякому значенні n = n_m відносна швидкість має максимум v = v_max . Значення n_m і величину v_max не важко знайти методами вищої математики. А саме, треба взяти похідну від виразу в знаменнику (8.17) і прирівняти її до нуля:

\(\left(\frac{1}{n}+n\right)'=-\frac{1}{n^2}+1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{n_m}=1\,\,\,\,\,\,\,\,n_m=1 \).

Підставляємо це значення в (8.17) і отримуємо для модуля v_max = c .

Таким чином, максимальна можлива швидкість руху однієї частинки (одного тіла) відносно іншої частинки (іншого тіла) дорівнює величині с. Але ж саме поняття руху визначене (тобто, має зміст) тільки по відношенню до якогось іншого тіла (тіла відліку). Тому за будь-яких умов швидкість руху будь-якого тіла

Інакше говорячи, в природі діє фундаментальний закон граничності швидкості с, який гласить:

швидкість будь-якого матеріального об’єкта ні за яких умов не може бути більшою, ніж величина c = 3·10⁸ м/с .

На цьому слід спеціально наголосити: йдеться про рух матеріальних частинок або поширення випромінювання, тобто, про процеси, що супроводжуються перенесенням енергії і, тим самим, можуть бути використані для передачі сигналів (інформації). На інші швидкості це обмеження не поширюється

Те, що швидкість матеріальних об'єктів не може бути більшою за \(\approx{3}\cdot{10}^8\) м/с, зокрема, пояснює інваріантність швидкості світла у вакуумі: оскільки вона є граничною, то, зрозуміло, не може залежати від системи відліку.