ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
6. ЕЛЕМЕНТИ МЕХАНІКИ ТВЕРДОГО ТІЛА
6.5. Кінетична енергія обертального і плоского руху
Кінетична енергія обертального руху тіла
Кінетична енергія твердого тіла, як адитивна величина, дорівнює сумі кінетичних енергій окремих його частинок:
|
\( K=\sum\limits_{i}{\frac{\Delta {{m}_{i}}v_{i}^{2}}{2}}\) |
(7.23) |
де Δmi та vi – маси та швидкості окремих частинок тіла, відповідно.
Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, то всі його точки рухаються по колах радіусів Ri з однаковою кутовою швидкістю ω, отже vi = ωRi, і кінетична енергія обертального руху
|
\({{K}_{}}=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{i}{\Delta {{m}_{i}}R_{i}^{2}} \right){{\omega }^{2}}\) |
(7.23а) |
Вираз у дужках – то є момент інерції тіла I відносно осі обертання (див. (7.15)), отже, кінетична енергія обертального руху твердого тіла визначається формулою
|
\({{K}_{}}=\frac{I{{\omega }^{2}}}{2}\) |
(7.24) |
Урахувавши вираз (7.16), можна також записати:
|
\({{K}_{}}=\frac{L_{z}^{2}}{2I}\) |
(7.24а) |
Кінетична енергія плоского руху
При плоскому русі кожна частинка Δmі твердого тіла рухається разом із центром мас із швидкістю \(\vec{v}_{c}\) і обертається відносно центра мас (у Ц-системі відліку) із швидкістю \(\tilde{\vec{v}}_{i}\) по колу навколо осі перпендикулярної до площини руху центра мас. Отже, в обраній К-системі відліку кожна частинка твердого тіла, згідно з (1.33а), має швидкість \(\vec{v}_i=\tilde{\vec{v}}_i+\vec{v}_c \). Підставивши цей вираз у (7.21), отримаємо:
\( {K}_{}=\sum\limits_{i}{\frac{\Delta {{m}_{i}}{{\left( {{{\vec{v}}}_{c}}+{{{\tilde{\vec{v}}}}_{i}} \right)}^{2}}}{2}} \) = \( \left( \sum\limits_{i}{\Delta {{m}_{i}}} \right)\frac{v_{c}^{2}}{2}+\sum\limits_{i}{\Delta {{m}_{i}}{{{\tilde{\vec{v}}}}_{i}}}+\sum\limits_{i}{\frac{\Delta {{m}_{i}}\tilde{v}_{i}^{2}}{2}}\)
Оскільки \( \sum\limits_{i}\Delta{m_{i}} \) – то є маса всього тіла т, перший доданок у цьому виразі визначає кінетичну енергію поступального руху \({K_п=mv_c^2/2}\). Другий доданок дорівнює нулю, бо в ньому другий множник є виразом імпульсу тіла в Ц-системі відліку, що завжди дорівнює нулю (див. (5.11)). Швидкості \({\tilde{v}_i}\) – це лінійні швидкості обертального руху точок тіла навколо фіксованої осі, що проходить через центр мас. Тому останній доданок, згідно з (7.23) і (7.23а), визначає кінетичну енергію обертального руху тіла, і його можна замінити виразом (7.24). Таким чином для кінетичної енергії плоского руху тіла маємо:
|
\({K}\)пл = \(\frac{I\omega^2}{2}+\frac{mv_c^2}{2}\), |
(7.25) |
де \({I}\) – момент інерції відносно осі обертання, що проходить через центр мас, \({v_c}\) – швидкість руху центра мас.
Корисно звернути увагу на те, що формули кінетичної енергії обертального руху твердого тіла (7.24) і (7.24а) є аналогами формул (6.7) і (6.7а) кінетичної енергії руху матеріальної точки чи поступального руху твердого тіла. Ця аналогія поширюється й на зв’язок між кінетичною енергією та роботою (теорема про кінетичну енергію, (лекція 6, п. 6.2), у чому легко переконатись. Розглянемо роботу, що виконується при обертанні тіла навколо нерухомої осі. В цьому випадку прикладена до тіла сила \(\vec{F}\) є перпендикулярною до осі обертання. При елементарному повороті тіла на кут dφ точка прикладання сили А здійснює переміщення \({\mathrm{d}\vec{s}}\) по колу радіуса R (рис. 7.7), і сила виконує роботу \(\delta{A}=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}=F\mathrm{d}s\cos\alpha \). У цьому виразі ds = Rdφ і F cosα = Fτ – проекція сили \(\vec{F}\) на дотичну до кола, по якому рухається точка А. Отже, врахувавши вираз (7.17а), маємо:
|
\(\delta{A}=F_{\tau}R\mathrm{d}\varphi\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\delta{A}=M_z\mathrm{d}\varphi \). |
(7.26) |
|
|
|
При повороті на скінченний кут
|
\({A=\int\limits_0^{\varphi}M_z\mathrm{d}\varphi}\). |
(7.26а) |
Ці вирази, що визначають роботу моменту сил відносно осі, теж є аналогічними до відповідних виразів (6.1), (6.2) із механіки точки.
Зв’язок між роботою моменту сил і кінетичною енергією обертального руху отримаємо після нескладних викладок, виразивши в (7.26), величину Mz із рівняння (7.18) і врахувавши співвідношення кінематики твердого тіла (2.5):
|
\( \delta{A}=M_{z}\mathrm{d}\varphi =I\beta_{z}\mathrm{d}\varphi =I\beta_{z}\omega_{z}\mathrm{d}{t}=I\omega_{z}\mathrm{d}\omega_{z}=\mathrm{d}\left(\frac{I\omega^{2}}{2}\right) \) \( \Rightarrow \) \( \delta{A}=\mathrm{d}K \)об. |
(7.27) |
При повороті на скінченний кут
|
\({A=\Delta{K}}\)об = \({K}\)об2 - \({K}\)об1. |
(7.27а) |
Отже, теорема про кінетичну енергію зберігає чинність і для обертального руху твердого тіла.