physics.zfftt.kpi.ua

У кінематиці відмічалося, що довільний рух твердого тіла можна трактувати як сукупність поступального та обертального рухів. Тому для визначення руху твердого тіла треба задати рівняння руху будь-якої жорстко зв'язаної з ним точки та рівняння руху тіла відносно цієї точки. Найзручнішою такою точкою є центр мас тіла (зручність такого вибору зумовлена тим, що, як виявляється, сумарний момент сил інерції відносно центра мас завжди дорівнює нулю). Відповідно, загальними рівняннями динаміки твердого тіла є рівняння руху центра мас (3.10) і рівняння моментів (7.8) відносно центра мас:

де \(\vec{F}\) – сума всіх сил, які діють на тіло (включно із силами інерції), а \(\vec{M}_c \) – сумарний момент лише сил взаємодії. При цьому немає потреби говорити, що йдеться про зовнішні сили, оскільки внутрішні сили взаємодії між частинками твердого тіла ніяк не впливають на його механічну енергію та рух, і їх взагалі не розглядають.

Ці рівняння виглядають досить простими, але насправді механіка довільного руху твердого тіла є доволі складною. Тому обмежимося розглядом лише простих рухів твердого тіла – обертання навколо нерухомої осі та плоского руху. Ще простіший поступальний рух повністю визначається рухом однієї точки тіла (рівняння (7.11)) і не потребує спеціального розгляду.

При обертанні навколо нерухомої осі та плоскому рухах напрям осі обертання тіла не змінюється. Тому замість векторного рівняння (7.12) зручно використовувати рівняння моментів у проекціях на вісь обертання Z:

Проекції векторів моменту імпульсу L_z та моменту сили M_z на задану вісь Z називають моментом імпульсу відносно осі та моментом сили відносно осі. Отже, моменти відносно осі є не векторними, а алгебраїчними величинами. Розглянемо, чим вони визначаються.

Момент імпульсу відносно осі та момент інерції. Обертове тверде тіло можна розглядати як сукупність маленьких часточок масами m_і, що рухаються навколо спільної осі Z по колах радіусів R_i із швидкостями \( v_i=\omega R_i \), де \(\omega \) – модуль кутової швидкості тіла (рис. 7.4). Відносно довільної точки відліку О на осі обертання окрема частинка у певний момент часу має вектор імпульсу \(\vec{p}_i=\Delta{m}_i\vec{v}_i \) та вектор моменту імпульсу \(\vec{L}=\left[\vec{r}_i,\,\,\vec{p}_i\right] \). Модуль моменту імпульсу цієї частинки відносно осі Z

Розглянемо тепер, як обчислюється момент сили M_z відносно закріпленої (фіксованої) осі обертання тіла. Нехай до деякої точки А тіла, що обертається навколо закріпленої осі Z, прикладена довільна сила \(\vec{F}\) (рис. 7.5а). Силу \(\vec{F}\) можна розглядати як суму двох складових – перпендикулярної \({{\vec{F}}_{\bot }}\) та паралельної \({{\vec{F}}_{\parallel }}\) до осі обертання, так що \(\vec{F}\) = \({{\vec{F}}_{\bot }}\) + \({{\vec{F}}_{\parallel}}\). Неважко збагнути, що складова \({{\vec{F}}_{\bot }}\) обертає тіло навколо осі Z, а \({{\vec{F}}_{\parallel }}\) намагається повернути саму вісь. Але, оскільки вісь обертання тіла є закріпленою, то момент сили \({{\vec{F}}_{\parallel }}\) компенсується моментом сил реакції \(\vec{F}^{\prime}\) і \(\vec{F}^{\prime\prime}\) у точках закріплення осі (підшипниках), тож силу \({{\vec{F}}_{\parallel }}\) можна не враховувати. Крім того можна показати, що момент сили відносно осі не залежить від положення початку відліку О на цій осі. Тому величину M_z можна розглядати як проекцію вектора моменту сили \({{\vec{F}}_{\bot }}\) відносно точки O′ – центра кола, по якому рухається точка А (рис. 7.5б). Отже, згідно з (7.4),

де \( F_{\bot}\) – модуль сили \(\vec{F}_{\bot}\) і \( l \) – плече цієї сили відносно осі обертання. Знак у виразі (7.17) співпадає із знаком проекції вектора \(\vec{M}'_{\bot}\) на вісь Z. Цю формулу можна подати й інакше, якщо врахувати, що \( l=R\cos\alpha \), де α – кут між вектором \(\vec{F}_{\bot}\) й ортом \(\tau \) напрямку обертання точка А по колу, і що \( F\cos\alpha=F_{\tau}\) – то є проекція сили \(\vec{F}_{\bot}\) (і \(\vec{F}\)) на орт \(\vec{\tau}\):

\({{M}_{z}}={{F}_{\tau }}R\)

(7.17а)

або

де \( I \) – момент інерції тіла відносно осі обертання, \(\beta_z \) – проекція кутового прискорення на цю вісь.

Рівняння (7.18) як за формою, так і за змістом, є аналогом основного рівняння динаміки матеріальної точки (3.5) і називається основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла. Воно дозволяє визначити кутове прискорення, а потім, за допомогою рівнянь кінематики (2.11) і (2.12), й інші характеристики обертального руху твердого тіла.

З рівняння (7.18) випливає ще й те, що момент інерції тіла при обертальному русі відіграє таку саму роль, як маса при поступальному русі, тобто, момент інерції є мірою інертності обертового тіла. При цьому така “обертальна” інертність залежить не тільки від маси тіла, а й від її розподілу відносно осі обертання.

Укажемо й на те, що рівняння (7.18), разом із (7.11), використовується також при розгляді плоского руху тіла, замість загального рівняння моментів (7.12).

Згідно з формулою (7.15) момент інерції визначається не тільки величиною маси тіла, але й розташуванням окремих його частин відносно осі обертання, внаслідок чого момент інерції одного й того ж тіла має різні значення відносно різних осей. Тому для застосування рівняння (7.18) спочатку треба визначити момент інерції тіла відносно заданої осі.

Для довільного тіла ця задача аналітично не розв’язується, і момент інерції доводиться визначати дослідним шляхом. Але для тіл симетричної форми та із симетричним розподілом маси момент інерції можна обчислити. Для цього, найперше, треба взяти до уваги, що маса суцільного тіла неперервно розподілена по об’єму, і тому вираз (7.15) має тільки символічний зміст. Для реальних обчислень замість малих частинок тіла Δm треба розглядати елементарні маси dm, і дискретне додавання замінити інтегруванням:

де r – відстань від даної точки тіла до осі, відносно якої обчислюється момент інерції, ρ(r) – густина речовини тіла в даній точці, яка в загальному випадку може залежати від r, і dV – об’єм нескінченно малої ділянки тіла в околі даної точки.

Як приклад обчислимо момент інерції однорідного тонкого стержня маси т і довжини \({l}\) відносно перпендикулярної до нього осі, що проходить через центр інерції О (центр мас), та відносно паралельної осі O′, що розташована на довільній відстані а від точки О (рис 7.6). Напрямимо координатну вісь r уздовж стержня й розмістимо початок відліку в його центрі мас О, тобто посередині. На довільній відстані r від початку відліку виділимо нескінченно малу ділянку стержня довжини dr, маса якої дорівнює \(\mathrm{d}m=(m/l)\cdot\mathrm{d}r \). Тоді для осі О, згідно з (7.19), і, враховуючи координати кінців стрижня А та В, отримаємо:

При обчисленні моменту інерції \({I}\)  стержня відносно осі O′ координата r відраховується від точки O′, отже \({r_A=a-l/2}\) і \({r_B=a+l/2}\), отже

\({I}=\int{r^2}\mathrm{d}m=\frac{m}{l}\int\limits_{a-\frac{l}{2}}^{a+\frac{l}{2}}r^2\mathrm{d}r=\frac{ml^2}{12}+ma^2 \).

У цьому виразі перший доданок – то є момент інерції стержня \({I_0}\)  відносно осі, що проходить через центр мас, тобто:

Можна довести, що цей результат є чинним і для будь-якого іншого тіла, незалежно від його форми. Він складає важливу теорему Штайнера:

момент інерції довільного тіла відносно заданої осі дорівнює сумі його моменту інерції відносно паралельної осі, що проходить через його центр інерції, та добутку маси тіла на квадрат відстані між цими осями.

Ця теорема полегшує знаходження моментів інерції симетричних тіл відносно осей, паралельних до осей симетрії тіла.

На завершення наведемо вирази моментів інерції Io деяких однорідних симетричних тіл відносно осей, що проходять через центр інерції і є осями симетрії тіла:

Табл. 1.

Тіло	Вісь	Момент інерції I0
Тонки стержень довжини l	Перпендикулярна до стержня	\(\frac{1}{12}ml^2 \)
Суцільний циліндр радіуса R	Співпадає з віссю циліндра	\(\frac{1}{2}mR^2 \)
Суцільна куля радіуса R	Проходить через центр кулі	\(\frac{2}{5}mR^2 \)
Суцільний однорідний конус із радіусом основи R	Співпадає з віссю конуса	\(\frac{3}{10}mR^2 \)