ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
6. ЕЛЕМЕНТИ МЕХАНІКИ ТВЕРДОГО ТІЛА
6.1. Рівняння моментів
Розглянемо зміст динамічних кутових величин і зв’язок між ними.
Момент імпульсу. Нехай рухома частинка маси m має швидкість \(\vec{v}\) та імпульс \(\vec{p}=m\vec{v}\) , а її положення відносно обраного початку відліку О визначається радіусом-вектором \(\vec{r}\) (рис. 7.1). Тоді за означенням
моментом імпульсу частинки відносно даної точки О називається векторний добуток векторів \(\vec{r}\) і \(\vec{p}\):
|
\(\vec{L}=\left[\vec{r}\vec{p}\right] \). |
(7.1) |
|
|
|
З цього означення випливає, що момент імпульсу є аксіальним вектором, тобто, його напрям визначається правилом правого гвинта, а модуль дорівнює:
|
\( L=rp\sin\alpha=pd \), |
(7.1а) |
де α – кут між напрямами векторів \(\vec{r}\) і \(\vec{p}\), а \( d=r\sin\alpha \) – відстань від точки О до лінії вектора \(\vec{p}\), яка називається плечем вектора \(\vec{p}\).
Правило правого гвинта: якщо обертати правий гвинт від напрямку вектора \(\vec{r}\) до напрямку вектора \(\vec{p}\) , то він буде вгвинчуватись у напрямку вектора \(\vec{L}\).
Вектор \(\vec{L}\), початок якого прийнято розміщувати в точці О, є перпендикулярним до площини векторів \(\vec{r}\) і \(\vec{p}\), тобто, до площини, в якій відбувається рух частинки. Тому при русі частинки по плоскій замкненій траєкторії (орбіті) навколо заданої точки О напрям вектора моменту імпульсу відносно цієї точки визначає розташування (орієнтацію) орбіти частинки у просторі.
Момент імпульсу, як і імпульс, є адитивною величиною: момент імпульсу системи частинок відносно даної точки дорівнює векторній сумі моментів імпульсу всіх частинок системи відносно тієї ж точки:
|
\(\vec{L}=\sum_i\vec{L}_{i}\). |
(7.2) |
|
\(\vec{M}=\left[\vec{r}\vec{F}\right] \). |
(7.3) |
Вектор \(\vec{M}\) також є аксіальним вектором: його напрям визначається правилом правого гвинта (рис. 7.2), а модуль – формулою
|
\( M=rF\sin\alpha=l F \), |
(7.4) |
де \( l \) – плече сили \(\vec{F}\) відносно точки О, тобто, відстань від точки О до лінії дії цієї сили.
Із означення (7.3) випливають наступні загальні властивості моменту сили.
– момент центральної сили (див. лекцію 6, п. 6.3) відносно силового центра дорівнює нулю;
– момент сили не змінюється при перенесенні вектора сили уздовж його лінії (рис. 7.3а). Це дозволяє при розгляді задач для зручності розміщувати точку прикладання сили не там, де вона виникає, наприклад у точці дотику нитки та прив’язаного до неї тіла, а в будь-якому місці на лінії дії сили.
Окрім того, сумарний момент сил взаємодії між двома частинками \({{\vec{F}}_{2}}=-{{\vec{F}}_{1}}\) (рис. 7.3б) відносно будь-якої точки дорівнює нулю:|
\(\vec{M}=\vec{M}_1+\vec{M}_2=\left[\vec{r}_1,\vec{F}_1\right]+\left[\vec{r}_2,\vec{F}_2\right]=\left[\left(\vec{r}_1-\vec{r}_2\right),\vec{F}_1\right]=\left[\vec{r}_{12},\vec{F}_1\right]=0 \). |
(7.5) |
|
|
|
Рівняння моментів для частинки. За винятком рівномірного прямолінійного руху, момент імпульсу частинки змінюється з часом. Аби з’ясувати, чим визначається ця зміна, знайдемо похідну по часу від вектора моменту імпульсу \(\vec{L}\):
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\left[\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t},\vec{p}\right]+\left[\vec{r},\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}\right] \). |
Знаходження похідної від векторного добутку виконується так само, як для скалярного добутку двох функцій. Єдина особливість полягає в тому, що порядок множників не можна змінювати.
Похідна \(\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t=\vec{v}\) – це швидкість частинки. Тому, позаяк вектори \(\vec{v}\) і \(\vec{p}=m\vec{v}\) є збіжними за напрямом, перший доданок дорівнює нулю. У друому доданку \(\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\) – сила, що діє на частинку. Отже,
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\left[\vec{r},\vec{F}\right] \), |
або
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\vec{M}\). |
(7.6) |
Таким чином,
швидкість зміни вектора моменту імпульсу частинки відносно даної точки дорівнює моменту прикладеної до частинки рівнодійної сили відносно цієї точки.
З рівняння (7.6) випливає також, що
|
\(\mathrm{d}\vec{L}=\vec{M}\mathrm{d}t \), |
(7.7) |
де величина в правій частині називається імпульсом моменту сили за проміжок часу dt.
Отже,
зміна моменту імпульсу частинки дорівнює імпульсу моменту сил, що діють на неї.
Зміна моменту імпульсу частинки за скінченний проміжок часу \(\left[t_1,\,\,t_2\right] \) визначається інтегруванням виразу (7.7):
|
\(\Delta\vec{L}=\vec{L}_2-\vec{L}_1=\int_{t_1}^{t_2}\vec{M}(t)\mathrm{d}t \). |
(7.7а) |
Рівняння (7.6), (7.7) і (7.7а) називаються рівняннями моментів.
Як за змістом, так і за формою вказані рівняння є аналогами відповідних рівнянь другого закону Ньютона (3.3), (3.4) і (3.4а), причому роль імпульсу відіграє момент імпульсу, а роль сили – момент сили. Зауважимо також, що рівняння моментів можна використовувати і в неінерціальних системах відліку, якщо крім моментів сил взаємодії враховувати й моменти сил інерції.
Рівняння моментів для довільної системи частинок легко одержати, узагальнюючи рівняння (7.6), (7.7) і (7.7а) для системи. Згідно з (7.2) і (7.6), швидкість зміни моменту імпульсу системи
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\sum_{i}\frac{\mathrm{d}\vec{L}_{i}}{\mathrm{d}t}=\sum_{i}\vec{M}_{i}\)зовн, |
де \(\vec{L}_i \) – моменти імпульсів окремих частинок системи відносно заданої точки, \(\vec{M}_i \) – моменти всіх сил, які діють на кожну частинку, відносно тієї ж точки. Очевидно, що повний момент сил можна подати, як суму моментів внутрішніх та зовнішніх сил:
\(\sum_{i}\vec{M}_{i}=\sum_{i}\vec{M}_{i}\)вн + \(\sum_{i}\vec{M}_{i}\)зовн.
Оскільки в будь-якій системі повний момент внутрішніх сил є сумою моментів сил взаємодії між кожною парою тіл, то, згідно з (7.5), перший доданок у цьому виразі дорівнює нулю, і для \(\mathrm{d}\vec{L}/\mathrm{d}t \) маємо:
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\vec{M}\)зовн |
(7.8) |
де
\(\vec{M}\)зовн = \(\sum_{i}\vec{M}_{i}\)зовн.
Таким чином,
швидкість зміни моменту імпульсу довільної системи відносно даної точки дорівнює сумарному (повному) моменту зовнішніх сил, що діють на тіла системи, відносно тієї самої точки.
Відповідно, зміна моменту імпульсу системи за нескінченно малий, або скінченний проміжок часу визначається імпульсом моменту зовнішніх сил за цей проміжок:
|
\( d\vec{L}=\vec{M}\)зовн\( {dt}\) |
(7.9) |
|
|
\(\Delta \vec{L}={{\vec{L}}_{2}}-{{\vec{L}}_{1}}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\vec{M}{{\left( t \right)}_{}}dt}\)
|
(7.9а) |
Рівняння (7.8), (7.9) і (7.9а) є рівняннями моментів для довільної системи.