ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
4. ДИНАМІКА СИСТЕМ
4.4. Центр мас
На загал у будь-якій системі окремі частинки (або тіла) рухаються з різними за модулем і напрямом швидкостями. Тому вираз імпульсу системи через імпульси окремих частинок \( \vec{P}=\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}\) не дає наочного уявлення про напрям та величину швидкості всієї системи. Але таку цілісну картину дає поведінка деякої зв’язаної із системою точки, що називається центром мас системи. При цьому в багатьох задачах механічну систему виявляється можливим трактувати як одну матеріальну точку.
Положення та рух центра мас. Положення центра мас можна знайти, замінивши у виразі імпульсу системи швидкості частинок \( \vec{v}_i \) через їхні радіуси-вектори \(\vec{r}_i \) згідно з означенням (1.3) і виконавши низку простих тотожних перетворень:
|
\(\vec{P}=\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}=\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}^{\prime}=\left(\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}^{\prime}\right)^{\prime} =\sum\limits_{i}m_{i}\left(\frac{\sum\limits_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum\limits_{i}m_{i}}\right)^{\prime}=m\left(\frac{\sum\limits_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum\limits_{i}m_{i}}\right)\). |
(5.6) |
|
|
|
У цих викладках штрихом позначено похідну по часу й символ \(m=\sum_{i}m_{i}\) означає масу системи.
Величина під знаком похідної у двох останніх виразах являє собою вектор із початком у початку відліку О, тобто, є радіусом-вектором \(\vec{r}_c \) певної точки С, яка й називається центром мас системи. Рис. 5.2 ілюструє графічне визначення радіуса-вектора \(\vec{r}_c \) і розташування цієї точки для системи з двох тіл із масами m1 та m2 = 2 m1.
Отже, за означенням центр мас – то є точка, положення котрої визначається радіусом-вектором
|
\(\vec{r}_{c}=\frac{\sum\limits_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum\limits_{i}m_{i}}=\frac{\sum\limits_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{m}\). |
(5.7) |
Відповідно, координати центра мас визначаються як
|
\(X_{c}=\frac{\sum\limits_{i}m_{i}x_{i}}{\sum\limits_{i}m_{i}}=\frac{\sum\limits_{i}m_{i}x_{i}}{m}\), \(Y_{c}=\frac{\sum\limits_{i}m_{i}y_{i}}{\sum\limits_{i}m_{i}}=\frac{\sum\limits_{i}m_{i}y_{i}}{m}\), \(Z_{c}=\frac{\sum\limits_{i}m_{i}z_{i}}{\sum\limits_{i}m_{i}}=\frac{\sum\limits_{i}m_{i}z_{i}}{m}\). |
(5.7а) |
Відтак вираз імпльсу системи (5.6) набуває вигляду:
|
\(\vec{P}=m\vec{V}_c \), |
(5.8) |
де \({{\vec{V}}_{c}}={{{\vec{r}}'}_{c}}\) – швидкість центра мас системи, яка визначається через швидкості окремих частинок системи як
|
\(\vec{V}_{c}=\frac{\sum\limits_{i}m_{i}\vec{v}_{i}}{m}\). |
(5.9) |
Підставивши вираз (5.8) у закон зміни імпульсу системи (5.1), отримаємо рівняння руху центра мас:
|
\( m\frac{d{{{\vec{v}}}_{c}}}{dt}=\vec{F}\), або \( m{{a}_{c}}=\vec{F}\). |
центр мас довільної системи рухається, як точка, в якій зосереджена вся маса системи і до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють на тіла системи.
Це твердження називають теоремою про рух центра мас.
Система відліку центра мас (Ц-система). З теореми про рух центра мас випливає, що, коли нас не цікавлять відносні рухи частинок системи, її можна розглядати як одну частинку з масою всієї системи, що розміщена в центрі мас і рухається під дією всіх зовнішніх сил, які діють на систему. Але поняття центра мас виявляється корисним і при розгляді рухів частинок усередині системи. Для цього з центром мас пов’язують систему відліку, яка називається системою відліку центра мас, або коротко – Ц-системою відліку. Очевидно, що в Ц-системі відліку центр мас є нерухомим, отож імпульс системи (величини, що визначені в Ц-системі відліку, будемо помічати позначкою ~, яка називається тильда)
\(\tilde{\vec{P}}=\sum\limits_{i}\tilde{\vec{p}}_{i}=0\).
Інакше кажучи, будь-яка система тіл є нерухомою у своїй власній Ц-системі відліку. Ця обставина істотно полегшує розгляд багатьох процесів, зокрема, зіткнень між частинками. Наприклад, для системи з двох частинок
|
\(\tilde{\vec{p}}_{1}+\tilde{\vec{p}}_{2}=0\) \(\Rightarrow\) \(\tilde{\vec{p}}_{1}=-\tilde{\vec{p}}_{2}\), |
(5.11) |
тобто, в Ц-системі відліку двох частинок вони завжди мають однакові за величиною й протилежні за напрямом імпульси.
Така симетричність рухів є дуже зручною, зокрема, при розгляді зіткнень між частинками. Приміром, якщо дві частинки стикаються непружно (“злипаються”), то в Ц-системі вони зупиняються, отже в К-системі їхня швидкість після зіткнення \( \vec{u}=\vec{V}_c \) i визначається виразом (5.9).
Наостанку зауважимо, що Ц-система відліку незамкненої системи тіл є неінерціальною, оскільки \({{\vec{a}}_{c}}\ne 0\) (див. рівняння (5.10)). Але
Ц-система відліку замкненої системи тіл завжди є інерціальною.