physics.zfftt.kpi.ua

Одним з цікавих і важливих наслідків збереження імпульсу є виникнення так званої реактивної сили при зміні маси тіла внаслідок витоку або притоку речовини. Це відбувається, приміром, при русі автомобіля, що поливає вулицю, навантаженні (чи розвантаженні) платформи на ходу, русі ракети з увімкненими двигунами, тощо.

Знайдемо рівняння руху такого тіла на прикладі руху космічної ракети в процесі виходу на орбіту. Позначимо як m  і \( \vec{v} \) масу ракети та її швидкість відносно Землі. Відповідно, імпульс ракети \(\vec{p}=m\vec{v}\). Якщо за час dt двигун ракети викидає масу продуктів згоряння палива \(\delta m\) зі швидкістю \( \vec{u} \) відносно ракети, внаслідок чого її маса змінюється на величину –\(\delta m\), а швидкість – на величину \(\mathrm{d}\vec{v} \), то імпульс ракети стає рівним \(\left( m-\delta m \right)\left( \vec{v}+\delta \vec{v} \right)\). Швидкість витоку продуктів згоряння відносно Землі дорівнює \(\vec{v}+\vec{u}\), а їхній імпульс складає \(\delta{m}(\vec{v}+\vec{u}) \). Отже, сумарний імпульс системи ракета-продукти згоряння стає рівним \(\left( m-\delta m \right)\left( \vec{v}+\delta \vec{v} \right)\)+\(\delta{m}(\vec{v}+\vec{u}) \). Зміна імпульсу системи за час dt становить

\( \left( m-\delta m \right)\left( \vec{v}+\delta \vec{v} \right)\)+\(\delta{m}(\vec{v}+\vec{u}) \)–\( m\vec{v}\).

Розкривши дужки і, нехтуючи доданком \( \delta{m}\cdot\mathrm{d}\vec{v} \) (мала вищого порядку відносно інших), одержимо

\( d\left( m\vec{v} \right)=md\vec{v}+\vec{u}dm\)

Поділимо обидві частини цієї рівності на dt:

\( \frac{d\left( m\vec{v} \right)}{dt}=m\frac{d\vec{v}}{dt}+\vec{u}\frac{dm}{dt}\)

Згідно з виразом (5.1), ліва частина даного рівняння дорівнює сумарній зовнішній силі \(\vec{F} \), яка діє на систему (e нашому випадку – це сила тяжіння, що діє на ракету та на викинуті гази). Тому, врахувавши, що \(\delta{m}= -\mathrm{d}m \) (спад маси ракети), отримаємо:

         Це є основне рівняння динаміки тіла змінної маси, яке називається рівнянням Мещерського.

У використаному прикладі зміна маси тіла (ракети) була зумовлена відокремленням речовини (газів), отже dm < 0. Але рівняння Мещерського чинне й у випадку, коли речовина приєднується, наприклад, при завантаженні рухомої платформи піском (у цьому випадку dm > 0).

Рівняння (5.4) показує, що прискорення тіла змінної маси визначається не тільки зовнішньою силою \(\vec{F} \), а й величиною

яку називають реактивною силою. Її величина визначається величиною швидкості зміни маси тіла dm/dt, а напрям – характером зміни маси: якщо маса приєднується (dm/dt > 0), то \(\vec{F}_p \) за напрямом збігається з вектором відносної швидкості \(\vec{u} \), якщо ж маса відокремлюється (dm/dt < 0), то вектори \(\vec{F}_p \) та \(\vec{u} \) є антипаралельними. Зокрема, якщо продукти згоряння палива вилітають із сопла ракети вертикально вниз, то реактивна сила напрямлена вертикально вгору, що й забезпечує підйом ракети.