ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
4. ДИНАМІКА СИСТЕМ
4.1. Імпульс системи
Нагадаємо, що імпульсом системи називається адитивна величина, котра дорівнює сумі імпульсів усіх тіл системи:
\( \vec{P}=\sum_{i}\vec{p}_{i}=\sum_{i}m\vec{v}_{i}\).
|
|
Розглянемо поведінку імпульсу в найпростішій системі, що складається всього з двох матеріальних точок (частинок) 1 і 2, які взаємодіють із силами \(\vec{F}_{12} \) та \(\vec{F}_{21} \) і на які діють зовнішні сили \(\vec{F}_1 \) і \(\vec{F}_2 \) (рис. 5.1). Рух кожної частинки визначається рівнянням (3.3), отже зміна імпульсу системи виражається, як
\(\frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t}\) = \(\sum_{i}\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{i}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{1}}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{2}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{12}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{21}\).
Але, згідно з третім законом Ньютона (3.6):
\(\vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}=0 \).
Отже,
\( \frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}=\sum_{i}\vec{F}_{i}\).
У довільній системі співвідношення (3.6) виконується для будь-якої пари частинок. Тому отриманий результат зберігає чинність, так що
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t}=\vec{F} \), |
(5.1) |
де величина \( \vec{F}=\sum_{i}\vec{F}_{i}\) є сумарною зовнішньою силою, що діє на тіла системи. (Зауважимо, що буквально вона не є “рівнодійною” за винятком ситуації, коли лінії дії всіх зовнішніх сил перетинаються в одній точці). Отож,
швидкість зміни імпульсу довільної системи дорівнює сумарній зовнішній силі, що діє на неї.
Це твердження й рівняння (5.1) інколи називають законом зміни імпульсу системи. Воно виражає той дуже важливий факт, що, на відміну від окремих частинок, імпульс усієї системи здатні змінювати лише зовнішні сили включно із силами інерції, що діють на тіла в неінерційних системах відліку.
Зміна імпульсу системи за скінчений проміжок часу \( [t_1,\,\,t_2] \) визначається повним імпульсом зовнішніх сил за цей проміжок:
|
\(\Delta\vec{P}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{F}\mathrm{d}t \). |
(5.1а) |