ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
2. ОСНОВНІ ЗАКОНИ ДИНАМІКИ
2.4. Основне рівняння динаміки
Основне рівняння динаміки
Закони Ньютона є системою органічно взаємопов’язаних тверджень, і в будь-якій задачі динаміки “працюють” усі три закони. Але основним є другий закон Ньютона, оскільки він безпосередньо оперує характеристиками руху – імпульсом або прискоренням (рівняння (3.3), (3.5)).
Враховуючи, що прискорення \(\vec{a}=\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} \), другий закон Ньютона (3.5) можна подати у вигляді диференціального рівняння
|
\(\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\vec{F}}{m},\) |
(3.7) |
яке є основним рівнянням динаміки матеріальної точки. Це рівняння також називають основним рівнянням руху матеріальної точки, оскільки воно дозволяє розв’язати основну задачу динаміки – визначити закон руху точки, тобто залежність її радіуса-вектора від часу \(\vec{r}=\vec{r}(t)\). Для цього треба проінтегрувати рівняння (3.7) при відомій залежності сили від часу \(\vec{F}=\vec{F}\left( t \right)\) і заданих початкових умовах – початкових швидкості \(\vec{v}_0=\vec{v}(0)\) і радіусі-векторі \(\vec{r}_0=\vec{r}(0)\). (Розв’язування диференціального рівняння називається його інтегруванням, оскільки зводиться до однойменної математичної процедури. На загал для цього треба знати теорію диференціальних рівнянь, але в простих задачах достатньо й початкових відомостей з інтегрального числення)
Рівняння (3.7) дозволяє розв’язувати й обернені задачі. А саме, визначати силу, що діє на точку, та її швидкість і прискорення, якщо відомий закон руху. Такі задачі є досить простими і зводяться до диференціювання по часу заданої функції \(\vec{r}(t) \).