physics.zfftt.kpi.ua

Імпульс і кінетична енергія в системі відліку центра мас. Раніше  відмічалося, що процеси зіткнень зручно розглядати в системі відліку центра мас (Ц-системі). Тому з’ясуємо, як визначаються імпульс та кінетична енергія частинок у Ц-системі відліку.

Нехай частинки масами m₁ і m₂, рухаються в певній К-системі відліку зі швидкостями \(\vec{v}_1 \) і \(\vec{v}_2 \). Згідно з перетвореннями (1.33), їх швидкості в Ц-системі дорівнюють^[11]:

\(\tilde{\vec{p}}_1=m_1(\vec{v}_1-\vec{V})\) і \(\tilde{\vec{p}}_2=m_1(\vec{v}_2-\vec{V}) \).

У записаних виразах і надалі величини, що визначені в Ц-системі відліку, будемо помічати позначкою ~ (тильда) над символом величини.

Підставивши у попередню формулу вираз \(\vec{V}\) (5.9), після нескладних перетворень одержимо

Величина

 Тут і далі будемо вважати, що, по-перше, на частинки не діють зовнішні сили (або вони є компенсованими) і, по-друге, частинки взаємодіють тільки в процесі зіткнення, тобто під час контакту. Тоді, хоча імпульс кожної частинки при зіткненні змінюється, їхній сумарний імпульс зберігається (див. п. 5.2).

Абсолютно непружним називають зіткнення, при якому частинки далі рухаються разом, як одне складене тіло (“злипаються”). Розглянемо таке зіткнення двох частинок масами m₁ і m₂, що рухаються в інерціальній К-системі відліку зі швидкостями \(\vec{v}_1 \) і \(\vec{v}_2 \). Оскільки імпульс будь-якої системи тіл у Ц-системі відліку дорівнює нулю, то в ній після абсолютно непружного зіткнення швидкість частинок \(\tilde{\vec{v}}'=0 \). Це, згідно з (1.33а), означає, що в К-системі відліку їхня швидкість після зіткнення \(\vec{v}\) дорівнює швидкості центра мас системи \(\vec{V}\). Отже, згідно з (3.9),

Абсолютно непружне зіткнення супроводжується втратами кінетичної енергії, яка частково переходить у внутрішню (теплову) енергію тіл, і вони в тій, чи іншій мірі нагріваються. В Ц-системі відліку внаслідок зіткнення тіла зупиняються, тобто втрачають усю кінетичну енергію. Отже, кількість теплоти, що виділяється при абсолютно непружному зіткненні, дорівнює початковій кінетичній енергії частинок у Ц-системі відліку:

У К-системі відліку ця величина складає лише частину кінетичної енергії тіл і, відповідно до (6.31) і (6.33), визначається виразом

При цьому не втрачена частина кінетичної енергії - то є енергія руху системи частинок як цілого.

 Абсолютно пружним називають зіткнення, при якому між тілами діють тільки пружні сили. Як наслідок, після пружного зіткнення тіла розлітаються, тобто, рухаються окремо одне від одного. Під час самого зіткнення в тілах виникають чисто пружні деформації, котрі повністю зникають після розльоту, і внутрішній стан тіл повністю відновлюється. Тому не змінюється й механічна енергія системи. Крім того, через швидкоплинність процесу, під час зіткнення положення тіл у просторі практично не змінюється. Тому не змінюється й потенціальна енергія системи, тож її можна взагалі не враховувати. Таким чином при абсолютно пружному зіткненні одночасно зберігаються сумарний імпульс і кінетична енергія тіл, що стикаються. Це можна розглядати як критерій абсолютно пружного зіткнення.

Існують два різновиди абсолютно пружного зіткнення: центральне (лобове, пряме) та нецентральне (нелобове, косе). При лобовому зіткненні швидкості частинок як до, так і після зіткнення, напрямлені вздовж прямої, що з’єднує частинки. При нелобовому зіткненні напрями руху частинок до та після зіткнення не лежать на одній прямій.

Розглянемо лобове зіткнення двох частинок. В Ц-системі відліку дві частинки завжди мають однакові за величиною і протилежні за напрямом імпульси (див. (6.30)), тому при центральному пружному зіткненні напрям імпульсу кожної частинки змінюється на протилежний. А оскільки при цьому кінетична енергія системи зберігається, то модулі імпульсу та швидкості частинок лишаються незмінними. Отже,

\(\vec{\tilde{v^{\prime}}}_i=-\vec{\tilde{v}}_i \)_,  де i = 1, 2.

Урахувавши це й, скориставшись формулами (6.29), знайдемо швидкості частинок після зіткнення в К-системі відліку:

\(\vec{v'}_i=\vec{\tilde{v'}}_i+\vec{V}=\vec{V}-\vec{\tilde{v}}_i=\vec{V}-\left(\vec{v}_i-\vec{V}\right)=2\vec{V}-\vec{v}_i \),

де \(\vec{V}\) – швидкість центра мас частинок, яка визначається формулою (3.9). Отже,

.\(\vec{v}_{i}^{\prime}=2\cdot\frac{\sum\limits_{i}m_{i}\vec{v}_{i}}{\sum\limits_{i}m_{i}}-\vec{v}_{i}\) = \(\frac{2\sum\limits_{i}m_{i}\vec{v}_{i}-\vec{v}_{i}\sum\limits_{i}m_{i}}{\sum\limits_{i}m_{i}}\).

Підставивши значення індексів, одержимо вираз швидкості для кожної частинки:

Для зіткнення частинок однакової маси ці формули дають \(\vec{v}_1^{\prime}=\vec{v}_2 \) і \(\vec{v}_2^{\prime}=\vec{v}_1 \) , тобто, частинки обмінюються швидкостями. Зокрема, якщо друга частинка перед зіткненням перебувала у спокої, то після зіткнення вона почне рухатись із швидкістю першої, а перша зупиниться. У загальному ж випадку для обчислень формули (6.39) треба записати в проекціях на осі вибраної системи координат.