ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
5. РОБОТА ТА ЕНЕРГІЯ
5.3. Потенціальна енергія
Потенціальні поля та консервативні сили
область простору, в усіх точках якої на частинку діє визначена сила певної природи, називається полем сил, або силовим полем.
У загальному випадку сили поля можуть змінюватися з часом, але ми будемо розглядати лише стаціонарні поля, тобто такі, сили котрих не залежать від часу. Прикладом стаціонарного поля може бути гравітаційне поле Сонця, сили якого визначаються законом всесвітнього тяжіння (3.8), або поле сил тяжіння біля поверхні планети (формула (3.9)). Можна також говорити про поле сил пружності, що виникають при розтягу закріпленого одним кінцем еластичного шнура, електричне поле, що створюється нерухомими зарядами, тощо.
Робота сил однорідного та центрального поля. Найпростішим є однорідне силове поле, тобто поле, в усіх точках якого на частинку діє однакова за величиною й напрямом сила \(\vec{F}=\mathrm{const} \). Розглянемо роботу такої сили при переміщенні частинки від точки 1 до точки 2 по довільній траєкторії (рис. 6.4). Зваживши на сталість сили, із загального виразу (6.2) отримаємо:
\( A=\int\limits_1^2\vec{F}\mathrm{d}\vec{s}=\vec{F}\int\limits_1^2\mathrm{d}\vec{s} \).
|
|
Інтеграл в останньому виразі є сумою низки елементарних векторів \(\mathrm{d}\vec{s}\) розміщених на траєкторії. За правилом додавання векторів ця сума являє собою вектор переміщення \(\vec{S}\) частинки від точки 1 до точки 2: \(\int\limits_1^2\mathrm{d}\vec{s}=\vec{S}\). Отже, робота
|
\( A=\vec{F}\cdot\vec{S}=FS\cos\alpha=FS_{F} \), |
(6.10) |
де SF – проекція вектора \(\vec{S}\) на напрям сили.
Очевидно, що вектор \(\vec{S}\) не залежить від форми траєкторії, що з’єднує точки 1 і 2. Отже,
робота сил однорідного поля при переміщенні частинки не залежить від траєкторії і визначається тільки початковим та кінцевим положенням частинки.
Аналогічну властивість має й робота сил центрального поля. Центральним називається таке силове поле, в будь-якій точці котрого на частинку діє сила, напрям якої проходить через одну й ту саму точку О ("силовий центр"), а величина залежить тільки від відстані до цієї точки (рис. 6.5). Тому, для будь-якої центральної сили можна записати загальний вираз:
|
\(\vec{F}=F_r(r)\vec{e}_r \), |
(6.11) |
де \(\vec{e}_r \) – орт (одиничний вектор), який указує напрям радіуса-вектора \(\vec{r}\) частинки відносно силового центра, \( F_r(r) \) – проекція сили на напрям \(\vec{r}\), \( r=|\vec{r}|\) – відстань від частинки до силового центра.
|
|
З урахуванням (6.11) і (6.2), для роботи центральної сили при переміщенні частинки по довільній траєкторії від точки 1 до точки 2 (рис. 6.6) маємо:
\( A=\int\limits_1^2\vec{F}\mathrm{d}\vec{s}=\int\limits_1^2F_r (r)\vec{e}_r\mathrm{d}\vec{s}=\int\limits_1^2 F_r (r)\mathrm{d}s\cdot\cos\alpha \).
З рис.6.6 видно, що величина ds·cosα дорівнює dr – зміні відстані частинки до силового центра, отже
|
\( A=\int\limits_1^2 F_r (r)\mathrm{d}r \). |
(6.12) |
Прикметно, що в цьому виразі фігурує не радіус-вектор частинки \(\vec{r}\), який визначає її положення на траєкторії, а лише відстань r від частинки до силового центра. Це означає, що
робота центральної сили теж не залежить від траєкторії руху частинки.
Консервативні, неконсервативні та дисипативні сили. Розглянуті вище типи сил мають одну й ту саму особливість – незалежність роботи від траєкторії. Тому вони мають спільну загальну назву – “консервативні сили”. Отже,
консервативними силами називаються такі, робота котрих не залежить від траєкторії руху частинки і визначається тільки її початковим та кінцевим положенням.
Оскільки при переміщенні частинки по будь-якій замкненій траєкторії її початкове й кінцеве положення збігаються,
робота консервативних сил на замкненій траєкторії дорівнює нулю.
Це твердження також можна розглядати як означення поняття “консервативні сили”. Конкретними прикладами консервативних сил у механіці є гравітаційна сила (3.8) і сила тяжіння (3.9), сила пружності (3.10). Поля, в яких діють консервативні сили, теж мають спеціальну назву – потенціальні поля (тому консервативні сили іноді теж називають потенціальними силами).
|
|
Не всі сили є консервативними, тому всі інші називають неконсервативними силами. Розглянемо, наприклад, роботу сили тертя \(\vec{F}\)т при переміщенні бруска маси m по горизонтальній поверхні з коефіцієнтом тертя μ під дією деякої сили \(\vec{F}\) (рис. 6.7). Сила тертя в кожній точці траєкторії напрямлена протилежно до переміщення і в даному випадку має модуль Fт = μmg. Тож її робота на будь-якій ділянці траєкторії дорівнює:
\( A=-\mu{mg}\int\limits_1^2\mathrm{d}s=-\mu{mgs}\),
де s – пройдений шлях. Зокрема, при русі по замкненій траєкторії s дорівнює довжині траєкторії. Отже, неконсервативність сили тертя є очевидною. Те саме стосується й сили \(\vec{F}\), яка забезпечує рух бруска.
Серед усіх неконсервативних сил вирізняють так звані гіроскопічні та дисипативні сили. Гіроскопічними називають сили, котрі весь час напрямлені перпендикулярно до переміщення частинки, через що взагалі не виконують роботи. Так, гіроскопічними є: сила, що діє на рухомий заряд у магнітному полі (сила Лоренца), сила нормальної реакції опори, коріолісова сила інерції (4.10), тощо.
До дисипативних сил відносяться різні сили тертя та опору. Характерною властивістю таких сил є те, що вони завжди є протилежними до напрямків відносних швидкостей взаємодіючих тіл.
|
|
Сказане, одначе, не стосується швидкостей руху тіл у заданій системі відліку, тому робота окремих дисипативних сил може бути як від’ємною, так і додатньою. Наприклад, якщо по дошці, що знаходиться на гладкій поверхні, тягти з тертям невеликий брусок (рис. 6.8), то буде рухатися й дошка. При цьому сила тертя \(\vec{F}\)т2, що забезпечує рух дошки, виконує додатню роботу. Але сумарна робота всіх дисипативних сил взаємодії між частинками будь-якої системи завжди є від’ємною. Доведемо це. Нехай між двома частинками 1 і 2 діють дисипативні сили \(\vec{F}_1 \) і \(\vec{F}_2 \) (рис. 6.9), що задовольняють третій закон Ньютона: \(\vec{F}_2=-\vec{F}_1 \). В обраній системі відліку з початком у точці О частинки в даний момент часу знаходяться в точках \(\vec{r}_1,\,\,\,\vec{r}_2 \) і мають швидкості \(\vec{v}_1,\,\,\,\vec{v}_2 \). За елементарний проміжок часу dt частинки здійснюють переміщення \(\mathrm{d}\vec{r}_1=\vec{v}_1\mathrm{d}t \) і \(\mathrm{d}\vec{r}_2=\vec{v}_{2}\mathrm{d}t \) (на рисунку не показані), тож дисипативні сили виконують роботу
\(\delta{A}\)дис = \(\vec{F}_1\mathrm{d}\vec{r}_1+\vec{F}_2\mathrm{d}\vec{r}_2=\vec{F}_1\left(\vec{v}_1-\vec{v}_2\right)\mathrm{d}t=\vec{F}_1\vec{v}_{12}\mathrm{d}t \),
де, згідно з (1.33), \(\vec{v}_{12}\) – швидкість руху першої частинки відносно другої (відносна швидкість). Оскільки сила \(\vec{F}_1 \) є дисипативною, вона напрямлена протилежно до вектора \(\vec{v}_{12}\), отже|
\(\delta{A}\)дис = \(-F_1v_{12}\mathrm{d}t=-F_1|\mathrm{d}\vec{r}_{12}|<0 \). |
(6.13) |
Якщо сила взаємодії стала, то
|
\( A \)дис = \(-F_1 |\vec{r}_{12}| \). |
(6.13а) |
Таким чином, за будь-яких умов
сумарна робота дисипативних сил взаємодії між двома частинками є від’ємною і визначається не переміщенням кожної частинки окремо, а лише їхнім відносним переміщенням.
Очевидно, що цей висновок є чинним і для довільної системи частинок.
Робота сили тяжіння. Біля поверхні планети сила тяжіння напрямлена вертикально вниз і є однорідною: \( m\vec{g}=\mathrm{const} \) (рис. 6.10). Тому її робота при переміщенні частинки з точки 1 у точку 2 по будь-якій траєкторії, згідно з (6.10), визначається як
|
\( A=mg\cdot s\cos\alpha=mg\left(z_1-z_2\right) \) \(\Rightarrow \) \( {A}=mg{{z}_{1}}-mg{{z}_{1}}\) |
(6.14) |
де z1 і z2 – початкова та кінцева вертикальна координата частинки.
|
|
Робота гравітаційної сили. Із закону всесвітнього тяжіння (3.8) випливає, що сила \(\vec{F}\), яка діє на будь-яке тіло m (наприклад, комету) в гравітаційному полі іншого тіла М (приміром, Сонця), є центральною (рис. 6.11). Проекція сили \(\vec{F}\) на напрям радіуса-вектора тіла \(\vec{r}\) дорівнює Fr = –GMm/r2, тому, згідно з (6.12), її робота при переміщенні тіла від точки 1 до точки 2 по довільній траєкторії дорівнює
|
\( A=\int\limits_1^2F_r(r)\mathrm{d}r=-GMm\int\limits_1^2\frac{\mathrm{d}r}{r_2}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\, A=-G\frac{Mm}{r_1}-\left(-G\frac{Mm}{r_2}\right) \). |
(6.15) |
Робота пружної сили. Робота пружної сили \(\vec{F}\) при переміщенні вільного кінця еластичного шнура (або пружини) по довільній траєкторії (рис. 6.12) визначається аналогічно. Якщо позначити через l0 довжину недеформованого шнура і через Δl = l - l0 величину його деформації (розтягу), то вектор пружної сили, що діє на незакріплений кінець, згідно з (3.10), можна записати як \(\vec{F}=-\vec{e}_r k\Delta{l}\), де k – жорсткість шнура, \(\vec{e}_r \) – орт (одиничний вектор), який вказує напрям радіуса-вектора вільного кінця шнура. В такому разі, згідно з (6.12), отримуємо:
|
\( A=\int\limits_1^2F_r(r)\mathrm{d}r=-k\int\limits_1^2\Delta{l}\cdot\mathrm{d}(\Delta{l})\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\, A=\frac{k\Delta{l_1^2}}{2}-\frac{l\Delta{l_2^2}}{2} \) |
(6.16) |
Тут враховано, що проекція сили Fr = -kΔl визначається величиною деформації Δl шнура, а зміна відстані від вільного кінця шнура до точки О — зміною цієї величини: dr =d(Δl) .
Потенціальна енергія частинки.
Усі три розглянуті вище консервативні сили утворюють відповідні силові поля. При цьому з виразів (6.14) – (6.16) випливає, що в кожному випадку існує певна фізична величина U, пов’язана з роботою сил співвідношенням:
|
\( A=U_1-U_2 \), |
(6.17) |
або, для елементарних переміщень,
|
\(\delta{A}=-\mathrm{d}U \). |
(6.17а) |
Така величина U називається потенціальною енергією (cаме тому поля консервативних сил називають потенціальними). Тобто,
потенціальною енергією називається величина, спад якої при переміщенні частинки з однієї точки в іншу дорівнює роботі, котра виконується консервативними силами, що діють на частинку.
(Спадом називають різницю між початковим і кінцевим значенням змінної величини; спад дорівнює взятому з протилежним знаком приростові (зміні) величини. Слід також зазначити, що терміни “приріст” і “спад” не слід трактувати дослівно, як “збільшення” і “зменшення”, адже кожна з цих величин, залежно від умов, може виявитись як додатньою, так і від’ємною).
Порівнюючи вираз (6.17) із виразами (6.14) – (6.16), можна дійти висновку, що потенціальна енергія частинки, котра перебуває під дією сил тяжіння, гравітації, або пружності визначається, відповідно, такими формулами:
|
\( U=mgz \), |
(6.18) |
|
|
\( U=-G\frac{Mm}{r}\), |
(6.19) |
|
|
\( U=\frac{k\Delta{l^2}}{2}\). |
(6.20) |
Ці формули й справді є загальновживаними. Але слід зазначити, що жодне зі співвідношень (6.14) – (6.17а) не зміниться, якщо до отриманої з формул (6.18) – (6.20) величини U додати довільне число. Тож однозначно визначеною є не сама потенціальна енергія, лише її зміна ΔU при переміщенні частинки між якимось двома точками. Що ж до значення самої величини U, то його можна вказати тільки по відношенню до заздалегідь обраного нульового рівня, тобто точки (або множини точок), де потенціальна енергія приймається рівною нулю. Це добре видно з формули (6.18), в якій величина z (вертикальна координата) безпосередньо залежить від вибору початку відліку. Так само формула (6.19) визначає гравітаційну потенціальну енергію не взагалі, а по відношенню до нескінченно віддалених точок (адже U = 0 при r → ∞), а формула (6.20) показує, що пружна потенціальна енергія приймається рівною нулю, коли Δl = 0, тобто, за відсутності деформаціїй. Указаний вибір нульових рівнів є природнім, але не обов’язковим. Наприклад, легко показати, що формули (6.18) і (6.19), виражають одну й ту саму енергію – потенціальну енергію тіла в гравітаційному полі, – але по відношенню до різних нульових рівнів. Справді, роботу гравітаційної сили при переміщенні тіла біля поверхні Землі можна обчислювати за загальною формулою (6.15):
\( A=-G\frac{mM}{r_1}-\left(-G\frac{mM}{r_2}\right)=GmM\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)=\frac{GmM(r_1-r_2)}{r_1 r_2}\),
де m і M – відповідно, маса тіла та Землі, r1 і r2 – відстань від тіла до центра Землі в його початковому та кінцевому положенні. Але, якщо записати r = R + z (R – радіус Землі, z – вертикальна координата тіла, відрахована від земної поверхні), і врахувати, що біля поверхні з великою точністю r1·r2 = R2, отримаємо:\( A=\frac{GmM}{R^2}\cdot(z_1-z_2)=mgz_1-mgz_2 \)
де враховані формули (3.9) і (3.10).
Цей результат збігається з виразом (6.14) і випливає з (6.15) як наслідок зміни вибору нульового рівня потенціальної енергії. Так само при розгляді коливань тягарця підвішеного на пружині за нульовий рівень потенціальної енергії пружини зручніше прийняти положення статичної рівноваги тягарця, коли пружина має деформацію, спричинену його вагою.
Особливість потенціальної енергії полягає також у тому, що вона, на відміну від кінетичної, є величиною алгебраїчною, тобто може бути як додатньою, так і від’ємною, залежно від характеру діючих сил і вибору нульового рівня.
Слід указати й на те, що потенціальна енергія частинки в силовому полі, створеному іншим тілом, не "належить" тільки цій частинці. За третім законом Ньютона на "інше тіло" з боку частинки діє така сама за модулем консервативна сила, і слід було би говорити також про потенціальну енергію цього тіла. Отже, насправді потенціальна енергія належить обом тілам і є енергією їхньої взаємодії. Але коли характеристики тіл дуже відрізняються (як, наприклад, у випадку каменя й Землі), то на стан одного з них (Землі) взаємодії практично не впливає. Тоді таке тіло розглядають не як партнера по взаємодії, а як джерело силового поля, в якому перебуває інше. Тому говоримо не про потенціальну енергію взаємодії каменя й Землі, а про потенціальну енергію каменя в полі сил тяжіння Землі.
Потенціальна енергія системи частинок. Серед консервативних сил, які діють на частинки системи, можуть бути як зовнішні (сили зовнішніх потенціальних полів), так і внутрішні (сили взаємодії частинок між собою). Тому потенціальну енергію системи U поділяють на зовнішню Uз (енергію в зовнішньому полі) і внутрішню або власну Uв :
|
U = Uз + Uв. |
(6.23) |
Зовнішня потенціальна енергія визначається співвідношенням (6.17) через сумарну роботу всіх зовнішніх консервативних сил :
|
\( {A}=\sum{{{A}_{i}}}=\sum{{{U}_{1}}_{i}}-\sum{{{U}_{2}}_{i}}\quad \Rightarrow \quad {{U}_{3}}=\sum{{{U}_{i}}}\) |
У цьому виразі Ui – потенціальні енергії окремих частинок системи в зовнішньому полі. Отже, зовнішня потенціальна енергія системи є адитивною величиною. Але цього не можна сказати про власну та повну потенціальну енергію системи. Справді, нехай дві системи, що мають власні потенціальні енергії Uв1 і Uв2, об’єднуються в одну систему, як це схематично показано на рис. 6.14
 |
Uв = Uв1 + Uв2 + U12,
де U12 – енергія взаємодії між частинами об’єднаної системи, рівна роботі, що була виконана силами взаємодії в процесі об’єднання.Зв'язок між потенціальною енергією та силою.
Оскільки роботу консервативної сили можна знайти як безпосередньо через силу, так і через потенціальну енергію, між цими величинами існує прямий зв’язок. Розглянемо роботу ΔA довільної консервативної сили \(\vec{F}\) на невеликому переміщенні \(\Delta{\vec{S}}\) (рис. 6.13). Наближено вона визначається як \( A\approx\vec{F}\cdot\Delta{\vec{S}}=F\cdot\Delta{S}\cos\alpha=F_S\Delta{S}\) (неточність зумовлена тим, що в різних точках навіть невеликого переміщення сила може мати відмінні значення), звідки \( F_s\approx\frac{\Delta{A}}{\Delta{S}}\). Але, відповідно до співвідношення (6.17), \( A=-\Delta{U}\), тож \( F_s\approx-\frac{\Delta{U}}{\Delta{S}}\). Точний вираз отримаємо у границі ΔS →0:
\(F{S}=-\underset{\Delta{S}\to{0}}\lim\frac{\Delta{U}}{\Delta{S}}\).
Така границя в математиці позначається як \(\frac{\partial{U}}{\partial{S}}\) і називається похідною функції U по напрямку S. Вона показує швидкість зміни величини U при переміщенні в заданому напрямку S. Отже, враховуючи цю символіку, можемо записати:
|
\( F_s=-\frac{\partial{U}}{\partial{S}}\) |
(6.21) |
тобто,
проекція консервативної сили на будь-який напрям дорівнює взятій з протилежним знаком похідній потенціальної енергії в цьому напрямі.
Це означає, що сила спрямована в бік зменшення потенціальної енергії і є тим більша, чим швидше змінюється потенціальна енергія в цьому напрямі.
Вираз (6.21) дозволяє аналогічно визначити проекції сили на координатні осі:
\({{F}_{x}}=-\frac{\partial U}{\partial x},\quad {{F}_{y}}=-\frac{\partial U}{\partial y},\quad {{F}_{z}}=-\frac{\partial U}{\partial z}.\)
При цьому елементарні переміщення вздовж координатних осей є нескінченно малими змінами (диференціалами) координат, тобто аргументів функції потенціальної енергії U = U(x, y, z). Тому похідна по кожному з напрямків x, y, z визначається за звичайними правилами диференціювання, але дві інші координати при цьому розглядаються як константи.
За знайденими проекціями вектор сили виражається як \(\vec{F}=-\left(\vec{i}\frac{\partial{U}}{\partial{x}}+\vec{j}\frac{\partial{U}}{\partial{y}}+\vec{k}\frac{\partial{U}}{\partial{z}}\right) \). Потреба в подібних операціях і в математиці, і у фізиці виникає доволі часто, тому вираз у дужках має свою назву й позначення. Він називається градієнтом потенціальної енергії[7] й позначається як gradU:
\(\mathrm{grad}U=\left(\vec{i}\frac{\partial{U}}{\partial{x}}+\vec{j}\frac{\partial{U}}{\partial{y}}+\vec{k}\frac{\partial{U}}{\partial{z}}\right) \).
Зрозуміло, що поняття градієнта відноситься й до інших величин, які є функціями координат.
Таким чином, зв’язок між силою, та потенціальною енергією записується у вигляді:
|
\(\vec{F}=-\mathrm{grad}U \), |
(6.22) |
консервативна сила, що діє на частинку, дорівнює взятому з протилежним знаком градієнту потенціальної енергії цієї частинки.
У математиці доводиться, що вектор градієнта даної функції напрямлений у бік її найшвидшого зростання й по модулю дорівнює цій швидкості. Тому
будь-яка консервативна сила спрямована в бік найшвидшого зменшення потенціальної енергії.
Зокрема, із цієї причини вода під дією сили тяжіння стікає по лінії найбільшої крутизни схилу.
Робота сил і механічна енергія частинки.
|
E = K + U. |
(6.25) |
Це означення стосується як окремої частинки, так і довільної системи. При цьому для системи інколи окремо вирізняють суму кінетичної та власної потенціальної енергії, називаючи її власною механічною енергією системи.
Механічна енергія частинки. У загальному випадку на окрему частинку діють консервативні сили з боку потенціального поля, в якому вона перебуває, та інші (неконсервативні) сили, які будемо називати сторонніми силами. Згідно з теоремою про кінетичну енергію (6.8а), сумарна робота усіх сил дорівнює зміні кінетичної енергії частинки:
Aк + Aст = ΔK
де Aк і Aст – робота рівнодійної консервативних та рівнодійної сторонніх сил, відповідно. Але робота консервативних сил дорівнює спадові потенціальної енергії частинки (6.17), тому–ΔU + Аст = ΔК → ΔК + ΔU = Аст → Δ(К + U) = Аст
K + U = E – то є повна механічна енергія частинки Е, отже
|
|
ΔЕ = Е2 – Е1 = Аст , |
(6.26) |
Таким чином,
зміна повної механічної енергії частинки дорівнює роботі всіх сторонніх сил, які діють на неї.
Для елементарного переміщення
|
dE = δAст . |
(6.26а) |
Коли сторонні сили відсутні, δAст = 0, dE = 0 і E = const. Отже,
якщо на частинку діють тільки консервативні сили, то її повна механічна енергія зберігається[9], тобто, не змінюється під час руху.
Інакше говорячи, енергія є законсервованою. Звідси походить термін “консервативні сили”
Робота сил та механічна енергія довільної системи.
Розглянемо тепер роботу всіх сил у довільній системі. В загальному випадку як серед внутрішніх, так і серед зовнішніх сил можуть бути і консервативні, і неконсервативні сили. Будь-які зовнішні неконсервативні сили, як і раніше, будемо називати сторонніми силами. Що ж до внутрішніх неконсервативних сил, то в реальних системах – це завжди тільки дисипативні сили та гіроскопічні сили, що роботи не виконують (див. п. 6.3). Отже, повна робота всіх сил у довільній системі складається з роботи консервативних сил (як внутрішніх, так і зовнішніх), внутрішніх дисипативних сил і сторонніх (включно із зовнішніми дисипативними) сил:
A = Aкон + Aдис + Aст ,
де Ак – робота всіх консервативних сил (як внутрішніх, так і зовнішніх), Адис – робота внутрішніх дисипативних сил, і Аст – робота сторонніх сил.Як уже згадувалося, робота всіх сил дорівнює приросту кінетичної енергії, а робота консервативних сил – спадові потенціальної енергії системи, тому
ΔK = -ΔU + Aдис + Аст → ΔK + ΔU = Aдис + Аст →
Δ(K + U) = Aдис + Аст.
Урахувавши, що K + U = E – повна механічна енергія системи, отримуємо:
|
ΔE = E2 - E1 = Aдис + Аст. |
(6.27) |
При елементарній зміні стану системи
|
dE = δAдис + δАст. |
(6.27а) |
Таким чином,
зміна повної механічної енергії довільної системи дорівнює сумарній роботі всіх внутрішніх дисипативних сил і всіх сторонніх сил.
Це найбільш загальне (і важливе) співвідношення між механічною енергією та роботою сил.