ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
5. РОБОТА ТА ЕНЕРГІЯ
5.2. Кінетична енергія
Теорема про кінетичну енергію. Позаяк при русі частинки під дією сили змінюється її швидкість, існує зв’язок між механічною роботою та станом руху частинки. Розглянемо роботу сумарної (рівнодійної) сили \(\vec{F}\), яка діє на частинку маси m, на елементарному переміщенні \(\mathrm{d}\vec{s}\) по довільній траєкторії (формула (6.1)):
\(\delta{A}=\vec{F}\mathrm{d}\vec{s}\).
Урахувавши, що \(\vec{F}=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\) і \(\mathrm{d}\vec{s}=\vec{v}\mathrm{d}t \) (\(\vec{v} \) – швидкість частинки), отримаємо:
\(\delta{A}=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\vec{v}\mathrm{d}\vec{v}=m\vec{v}\mathrm{d}\vec{v} \).
|
|
У загальному випадку вектори \(\vec{v}\) і \(\mathrm{d}{\vec{v}}\) не збігаються за напрямом (рис. 6.3), тому
\(\vec{v}\mathrm{d}\vec{v}=v|\mathrm{d}\vec{v}|\cos\alpha=v\mathrm{d}v \).
Цей результат є однією з важливих тотожностей векторної алгебри:
скалярний добуток вектора на його зміну дорівнює добутку модуля цього вектора на зміну його модуля).Отже, елементарна робота
\(\delta{A}=mv\mathrm{d}v=\mathrm{d}\left(\frac{mv^2}{2}\right) \).
Бачимо, що елементарна робота дорівнює приросту (зміні) величини
|
\( K=\frac{mv^2}{2} \). |
(6.7) |
Через імпульс тіла p = mv вона визначається, як
|
\( K=\frac{p^2}{2m} \). |
(6.7а) |
Величина К називається кінетичною енергією частинки. Очевидно, що вона вимірюється у джоулях (Дж).
Таким чином, маємо:
|
\(\delta{A}=\mathrm{d}K \). |
(6.8) |
Проінтегрувавши це співвідношення уздовж траєкторії від початкової точки 1 до кінцевої точки 2, дістанемо для довільного скінченого переміщення частинки:
|
\( A=K_2-K_1 \) або \( A=\Delta{K} \). |
(6.8а) |
Отримані співвідношення (6.8) і (6.8а) виражають теорему про кінетичну енергію:
зміна кінетичної енергії частинки на будь-якому переміщенні дорівнює роботі всіх сил, які діють на частинку на цьому переміщенні.
Слід наголосити на тому, що співвідношення (6.8) і (6.8а), які виражають зв’язок між роботою та кінетичною енергією, є універсальними – вони не залежать від природи та походження сил, які діють на частинку. Зокрема, в неінерціальних системах відліку величина \(\vec{F} \) включає й сили інерції. Але при цьому не слід забувати, що йдеться про роботу рівнодійної, тобто, про сумарну роботу всіх сил. Наприклад, коли ми рівномірно тягнемо санки за мотузку, то виконуємо роботу, проте кінетична енергія санок не змінюється. Але це зовсім не суперечить теоремі про кінетичну енергію, бо таку саму по модулю від’ємну роботу виконують сили тертя, і повна робота всіх сил дорівнює нулю.
Кінетична енергія системи. Розглянемо тепер зв’язок між роботою й станом руху для довільної системи частинок. Оскільки робота є адитивною величиною, повна робота всіх сил, що діють у системі, дорівнює сумі робіт \( A_i \), які виконуються силами, що діють на кожну частинку системи. Тому, враховуючи співвідношення (6.8) і (6.3), маємо:
\(\delta{A}=\sum\limits_{i}\delta{A}_{i}=\sum\limits_{i}\mathrm{d}K_{i}=\mathrm{d}\left(\sum\limits_{i}K_{i}\right)=\mathrm{d}K\),
де величина
|
\(K=\sum\limits_{i}K_{i}=\sum\limits_{i}\frac{m_{i}v_{i}^{2}}{2}=\sum\limits_{i}\frac{p_{i}^{2}}{2m_{i}}\). |
\(6.9) |
Кінетична енергія системи, котра, як видно, теж є адитивною величиною.
Отже, універсальний зв’язок між кінетичною енергією та роботою сил (6.8) і (6.8а) – теорема про кінетичну енергію – є чинною для довільної системи.