ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
5. РОБОТА ТА ЕНЕРГІЯ
5.1. Робота та потужність сили
Елементарною роботою \(\delta A\) сили \(\vec{F} \) на нескінченно малому переміщенні \(\mathrm{d}\vec{s} \) називається скалярний добуток зазначених векторів:
|
\(\delta{A}=\vec{F}\mathrm{d}\vec{s}=F\mathrm{d}s\cos\alpha=F_s\mathrm{d}s \). |
(6.1) |
У цій формулі \(\mathrm{d}s=|\mathrm{d}\vec{s}| \) – елементарний шлях, \( F_s=F\cos\alpha \) – проекція вектора сили на напрям вектора переміщення, \(\alpha \) - кут між векторами \(\vec{F} \) і \(\mathrm{d}\vec{s}\) (рис.6.1). Елементарна робота позначається символом \(\delta A\), а не dA, тому що вона є малою кількістю роботи, а не її зміною (приростом); поняття “зміна (приріст) роботи” позбавлене змісту.
З означення (6.1) можна сказати, що робота є мірою дії сили на заданому переміщенні (шляху).
|
|
З означення (6.1) випливає, що робота є величиною алгебраїчною, тобто може мати той, чи інший знак, залежно від знаку cosα. Зокрема, коли \(\alpha \) > 90°, робота сили від’ємна. Інакше говорячи, від’ємну роботу виконує сила, що напрямлена проти переміщення, отже, спричинює гальмівну дію. Зрозуміло, що в цьому випадку переміщення тіла здійснюється або за рахунок якоїсь іншої сили, або за рахунок інерції руху. Тому буває зручно замість від’ємної роботи \(\delta A\) розглядати роботу проти даної гальмівної сили, – додатню величину \(\delta A\)′ = - \(\delta A\). Якщо сила перпендикулярна до переміщення, то вона роботи не виконує (cos90° = 0).
Робота є адитивною величиною. Дослід свідчить, що при переміщенні тіла по траєкторії на скінчену відстань робота сили на всій траєкторії дорівнює сумі робіт, які вона виконує на всіх ділянках траєкторії. Тому робота при переміщенні тіла по траєкторії із заданої точки 1 у задану точку 2 у загальному випадку визначається як криволінійний інтеграл від виразу (6.1):
|
\( A=\int\limits_1^2\vec{F}\mathrm{d}\vec{s}=\int\limits_1^2 F_s \mathrm{d}s \). |
(6.2) |
Криволінійний інтеграл відрізняється від звичайного тим, що додаються не добутки значень функції на приріст аргументу, а добутки значень вектора сили на нескінченно малі переміщення тіла вздовж певної лінії – траєкторії руху тіла. Відповідно символи в позначенні інтеграла (границі інтегрування) – то не числа, а позначення початкової та кінцевої точок на траєкторії, вдовж якої обчислюється даний криволінійний інтеграл.
Ураховуючи геометричний зміст інтеграла, роботу можна знаходити з графіка залежності \( F_s\mathrm{d}s \): площа під відповідною його ділянкою (заштрихована на рис. 6.2) чисельно дорівнює виконаній роботі.
Окрім того, робота рівнодійної декількох сил на даному переміщенні дорівнює сумі робіт кожної з них – це безпосередньо випливає з виразів (6.2) і (3.1):
|
\( A=\int\limits_1^2\vec{F}\mathrm{d}\vec{s}=\int\limits_1^2\left(\vec{F}_1+\vec{F}_2+...\right)\mathrm{d}\vec{s}=\int\limits_1^2\vec{F}_1\mathrm{d}\vec{s}+\int\limits_1^2\vec{F}_2\mathrm{d}\vec{s}+...= \) \(A=A_{1}+A_{2}+...=\sum\limits_{i}A_{i}\). |
(6.3) |
При русі вздовж прямої під дією сталої за величиною й напрямом сили, що діє під кутом \(\alpha \) до напрямку руху, величина Fs = F cosα = const, і вираз (6.2) дає:
|
\( A=\int\limits_1^2 F_s\mathrm{d}s=F_s\int\limits_1^2\mathrm{d}s=F_s{s}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,A=Fs\cos\alpha \). |
(6.4) |
Якщо сила діє в напрямку руху (\(\alpha \) = 0), то A = Fs. На основі цього встановлена одиниця роботи джоуль (Дж): 1 Дж = 1 Н·м.
Потужність. З практики добре відомо, що ефективність механізмів і машин (наприклад, двигунів) визначається не стільки величиною виконуваної роботи, скільки тим, як швидко вони здатні її виконувати. Інтенсивність виконання роботи характеризується потужністю. Потужність визначається величиною роботи за одиницю часу й вимірюється у ватах (Вт): 1 Вт = 1 Дж/с. Якщо інтенсивність виконання роботи змінюється з часом, то розрізняють середню та миттєву потужності.
Середня потужність – це відношення роботи А, виконаної за проміжок часу t, до його величини:
|
\(\langle P\rangle=\frac{A}{t} \). |
(6.5) |
Миттєва потужність характеризує інтенсивність виконання роботи в кожен момент часу й визначається виразом:
|
\( P=\frac{\delta{A}}{\mathrm{d}t} \), |
(6.5а) |
тобто – це відношенням елементарної роботи \(\delta A\) до нескінченно малого проміжку часу dt, за який вона виконується. Урахувавши, що \(\delta{A}=\vec{F}\mathrm{d}\vec{s} \) і \(\mathrm{d}\vec{s}/\mathrm{d}t \) – миттєва швидкість, одержимо
|
\( P=\vec{F}\cdot\vec{v}=Fv\cos\alpha \), |
(6.6) |
де \(\alpha \) - кут між векторами \(\vec{F}\) та \(\vec{v}\).
Очевидно, що потужність сили є алгебраїчною величиною, знак якої збігається із знаком роботи цієї сили.