ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
1. КІНЕМАТИКА
1.2. Кінематика твердого тіла
Тіла, що рухаються, не завжди можна розглядати як матеріальні точки. Це стосується, наприклад, рухомих деталей та вузлів механізмів і машин. У цій лекції розглянуто наступні питання:
1. Рухи твердого тіла. Кінематика поступального руху
2. Обертальний рух твердого тіла
3. Зв’язок між лінійними та кутовими величинами
4. Загальні рівняння кінематики обертального руху
5. Плоский рух твердого тіла. Миттєва вісь
Рухи твердого тіла. Кінематика поступального руху
Різні точки твердого тіла рухаються не однаково (наприклад, розгляньте рух точок на осі та на ободі колеса, що котиться), тому механіка твердого тіла набагато складніша за механіку точки. Рух твердих тіл можна поділити на такі різновиди: 1) поступальний рух; 2) обертання навколо нерухомої осі; 3) плоский рух; 4) обертання навколо нерухомої точки; 5) вільний рух. Основними при цьому є поступальний і обертальний рухи, оскільки, як виявляється, інші різновиди руху твердого тіла можна розглядати як сукупність цих двох.
Поступальним називають рух, при якому довільна пряма, проведена між двома точками тіла, залишається паралельною до свого початкового напрямку. Прикладом може бути рух кузова автомобіля, або зісковзування бруска по похилій площині без зміни орієнтації.
Обертальним називають такий рух твердого тіла, коли в будь-яку мить усі його точки рухаються по колах із центрами на одній прямій – осі обертання, – що проходить через тіло.
При поступальному русі всі точки тіла рухаються по однакових за формою траєкторіях і в кожен момент часу мають однакову швидкість і прискорення. Отже, поступальний рух тіла визначається рухом будь-якої однієї його точки. Тому розглянута кінематика точки одночасно є й кінематикою поступального руху твердого тіла. Натомість кінематика обертального руху потребує окремого розгляду .
Обертальний рух твердого тіла
Нехай маємо якесь тіло, що обертається навколо нерухомої осі OZ (рис. 2.1). Розглянемо деяку його точку, котра рухається по коловій траєкторії з центром у точці С і радіусом R. Задамо положення точки радіусом-вектором \(\vec{r} \) із початком в точці О на осі обертання. За час dt точка здійснює переміщення \( \mathrm{d}\vec{r} \), яке є перпендикулярним до \(\vec{r} \) і має модуль
|
\(\left|\mathrm{d}\vec{r}\right|=R\mathrm{d}\varphi=r\mathrm{d}\varphi\sin\vartheta. \) |
(2.1) |
де \(\mathrm{d}\varphi \) – кут повороту тіла навколо осі обертання за час dt.
|
|
Це співвідношення можна подати у векторній формі так, що воно буде відображати й напрям обертання тіла. Для цього величину dφ розглядають як модуль вектора елементарного кута повороту \( \mathrm{d}\vec{\varphi} \), який напрямлений уздовж осі обертання згідно з правилом правого гвинта.
За цим правилом вектор \( \mathrm{d}\vec{\varphi} \) спрямований у напрямку вкручування правого гвинта при його обертанні в напрямку обертання тіла; подібні вектори називаються аксіальними. Зауважимо також, що зображувати векторами можна лише нескінченно малі повороти.
У такому разі замість виразу (2.1) можна записати:
|
\(\mathrm{d}\vec{r}=\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{r}\right]. \) |
(2.1а) |
Швидкість руху точки отримаємо, поділивши \( \mathrm{d}\vec{r} \) на dt:
|
\(\vec{v}=\left[\frac{\mathrm{d}\vec{\varphi}}{\mathrm{d}t},\vec{r}\right]\). |
(2.2) |
З цього виразу видно, що різні точки обертового тіла рухаються з різними швидкостями, але перший множник під знаком векторного добутку, однаковий для всіх точок, і тому визначає рух не лишень окремої точки, а й усього тіла. Вектор
|
\(\vec{\omega}=\frac{\mathrm{d}\vec{\varphi}}{\mathrm{d}t}\) |
(2.3) |
називається кутовою швидкістю тіла і є кількісною характеристикою обертального руху .
Вектор \(\vec{\omega}\), як і \(\mathrm{d}\vec{\varphi}\), напрямлений уздовж осі обертання згідно з правилом правого гвинта. Одиницею кутової швидкості є 1 рад/с (радіан за секунду).
Зміна вектора кутової швидкості з часом характеризується вектором кутового прискорення \(\vec{\beta} \):
|
\(\vec{\beta}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}. \) |
(2.4) |
|
|
|
Одиницею кутового прискорення є 1 рад/с2.
При обертанні навколо фіксованої осі вектор \(\vec{\beta} \), так само як і вектор \(\vec{\omega} \) , напрямлений уздовж осі обертання (рис 2.2). У такому разі зручніше використовувати не вектори, а їхні проекції на вісь обертання ОZ, напрям якої пов’язаний із позитивним напрямом відліку кута повороту правилом правого гвинта:
|
\(\omega_z=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t},\,\,\,\,\,\,\beta_z=\frac{\mathrm{d}\omega_z}{\mathrm{d}t}. \) |
(2.5) |
При цьому знак ωz визначає напрям обертання, а знак βz – характер обертання (рис. 2.2 відображає прискорене обертання в додатному напрямі осі ОZ).
Якщо під час руху вісь обертання змінює напрям, то \(\mathrm{d}\vec{\omega} \) і \(\vec{\beta} \) напрямлені під кутом до осі).
Окремим важливим для практики випадком обертального руху є рівномірне обертання тіла навколо фіксованої осі (\(\vec{\beta}=0,\,\,\,\, \vec{\omega}=\mathrm{const} \)). Такий рух є періодичним, отож окрім кутової швидкості його характеризують періодом Т – проміжком часу, за який здійснюється один оберт, – і частотою обертання n – кількістю обертів за одиницю часу.
Оскільки за один оберт тіло повертається на кут 2π, то
|
\( T=\frac{2\pi}{\omega} \) і \( n=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}. \) |
(2.6) |
Зв’язок між лінійними та кутовими величинами
При розгляді обертального руху окремих точок твердого тіла величини \(\mathrm{d}\vec{r} \) і \(\vec{v}\) відповідно називають лінійним переміщенням і лінійною швидкістю, на відміну від кутового переміщення \(\mathrm{d}\vec{\phi} \) та кутової швидкості \(\vec{\omega}\). Між лінійними та кутовими величинами існують однозначні зв’язки. Зокрема, зв’язок між елементарними лінійним і кутовим переміщеннями задається виразами (2.1) і (2.1а), а зв’язок між лінійною та кутовою швидкістю – виразом (2.2) із урахуванням означення (2.3):
|
\(\vec{v}=\left[ \vec{\omega },\vec{r} \right].\) |
(2.7) |
Для модулів маємо:
|
\( v=\omega{r}\sin\vartheta=\omega{R}, \) |
(2.7а) |
де \( R=r\sin\vartheta \) – радіус кола, по якому рухається точка (рис. 2.2).
Вираз для повного прискорення точки через кутові величини знайдемо диференціюванням виразу (2.7):
|
\( \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \) = \(\left[ \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t},\vec{r} \right]+\left[\vec{\omega },\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{dt} \right] \) = \(\left[ \vec{\beta },\vec{r} \right]+\left[ \vec{\omega },\mathbf{\vec{v}} \right],\) |
де враховано, що \(\mathrm{d}\vec{\omega}/\mathrm{d}t=\vec{\beta} \) – вектор кутового прискорення, а \(\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t=\vec{v} \) – вектор лінійної швидкості.
Оскільки при обертанні тіла навколо нерухомої осі вектори \(\vec{\omega }\) і \(\vec{\beta} \) лежать на осі, то вектор \(\left[\vec{\beta},\vec{r}\right] \) напрямлений по дотичній до траєкторії даної точки тіла (рис. 2.2) і є її тангенціальним прискоренням \(\vec{a}_{\tau} \):
|
\(\vec{a}_{\tau}=\left[\vec{\beta},\vec{r}\right]. \) |
(2.8) |
При цьому тангенціальне прискорення даної точки тіла, що обертається, називається лінійним прискоренням цієї точки. Його проекція на напрям дотичної до кола
|
\( a_{\tau}=\beta_z{r}\sin\vartheta=\beta_z{R}. \) |
(2.8а) |
Так само друга складова повного прискорення \(\left[\vec{\omega},\vec{v}\right] \) при нерухомій осі обертання напрямлена по нормалі до траєкторії точки (рис.2.2), то є її нормальним прискоренням:
|
\(\vec{a}_n=\left[\vec{\omega},\vec{v}\right]. \) |
(2.9) |
Модуль нормального прискорення
|
\( a_n=\omega{v}={\omega}^2 R. \) |
(2.9а) |
На основі співвідношень (2.8а) і (2.9а) можна визначити модуль і напрям (див. рис. 2.2) повного прискорення точок обертового тіла:
|
\( a=\sqrt{a_{\tau}^2+a_n^2}=R\sqrt{{\beta}^2+{\omega}^4}, \) |
(2.10) |
|
|
\(\mathrm{tg}\alpha=\frac{\omega^2}{\beta}. \) |
(2.10а) |
Загальні рівняння кінематики обертального руху
Кутове прискорення тіла, як і прискорення окремої матеріальної точки, визначається силовою дією на обертове тіло з боку інших тіл, отож його можна знайти, аналізуючи фізичні умови, в яких здійснюється обертання. Тому основне завдання кінематики обертального руху тіла полягає у визначенні інших кутових величин через відоме кутове прискорення. При обертанні навколо нерухомої осі це завдання розв’язується так само, як і в кінематиці точки (див. Лекцію 1). При цьому слід завважити, що за загальним змістом і формальними означеннями кутові величини – переміщення \(\mathrm{d}\vec{\varphi} \), швидкість \(\vec{\omega} \) і прискорення \(\vec{\beta} \) – є аналогами відповідних лінійних величин, які характеризують рух матеріальної точки. Тому й зв’язки між кутовими величинами такі самі, як і між лінійними. Через це всі основні рівняння кінематики обертального руху навколо фіксованої осі аналогічні відповідним рівнянням кінематики руху точки у фіксованому напрямку (прямолінійного руху). Зокрема, проекція кутової швидкості визначається загальним рівнянням, аналогічним рівнянню \({{v}_{z}}\) із (1.24):
|
\(\omega_z={\omega}_{0z}+\int\limits_0^t\beta_z\mathrm{d}t, \) |
(2.11) |
де ω0z – проекція початкової кутової швидкості, βz – проекція кутового прискорення на напрям осі обертання.
У простому випадку рівнозмінного обертання βz = const, отже,
|
\(\omega_z=\omega_{0z}+\beta_z\int\limits_0^t\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\omega_z=\omega_{0z}+\beta_z{t}, \) |
(2.11а) |
що аналогічно до (1.25а).
Кут повороту (кутове переміщення) φ, який визначає зміну положення тіла відносно осі обертання, знаходиться із загального рівняння
|
\(\varphi=\int\limits_0^t\omega_z\mathrm{d}t. \), |
(2.12) |
Це рівняння теж є аналогом рівнянь (1.25) кінематики точки, що визначають зміну положення точки відносно вибраного початку відліку.
При рівнозмінному обертанні \(\beta_z=\mathrm{const} \), \(\omega_z=\omega_{0z}+\beta_z{t} \), отже,
|
\(\varphi=\int\limits_0^t\left(\omega_{0z}+\beta_z{t}\right)\mathrm{d}t \,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\varphi=\omega_{0z}t+\frac{\beta_z{t}^2}{2}. \) |
(2.12а) |
Слід зауважити, що в рівняннях (2.11) – (2.12) величина φ є алгебраїчною, тож число φ/2π не визначає кількості обертів N (повний “шлях”), зроблених тілом за час t. (Виняток становить тільки обертання тіла в незмінному напрямі, коли φ не змінює знаку протягом заданого часу руху). В загальному випадку кількість обертів тіла визначається через модуль кутової швидкості рівнянням
|
\( N=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^t\omega\mathrm{d}t, \) |
(2.12б) |
яке є аналогом рівняння шляху (1.12) в кінематиці матеріальної точки.
Плоский рух твердого тіла. Миттєва вісь
Плоским рухом називається такий рух, при якому всі точки тіла переміщуються в площинах, паралельних до певної нерухомої в обраній системі відліку площини. Будемо для зручності умовно називати такі площини “площинами руху” точок тіла. Прикладом плоского руху може бути кочення циліндра: всі його точки рухаються в перпендикулярних до осі площинах.
Швидкість точки тіла при плоскому русі. Нехай якесь тіло здійснює плоский рух. Прослідкуємо за відрізком АВ, який з’єднує дві точки цього тіла, що знаходяться в площині руху. За деякий проміжок часу відрізок із положення A1B1, переміщується в положення A2B2 (рис. 2.3). Цю зміну положення можна розглядати як результат поступального переміщення в положення A2B′ і повороту в площині руху на деякий кут φ навколо точки А (рис. 2.3а). Але так само можна говорити про поступальне переміщення відрізка в положення A′B2 та поворот навколо точки В (рис. 2.3б). При цьому переміщення точок А і В – A1A2 і B1B2 – не однакові, але кут повороту φ один і той самий. Зрозуміло, що сказане вірно й для будь якої іншої пари точок і для будь-якого проміжку часу, зокрема, й для нескінченно малого. Тому плоский рух твердого тіла можна розглядати як сукупність поступального руху та обертання навколо фіксованої осі перпендикулярної до площин руху точок тіла. При цьому
кутова швидкість обертання тіла не залежить від вибору такої осі.
|
|
Взявши до уваги сказане, розглянемо рух довільної точки А тіла, що здійснює плоский рух в системі відліку XOY (К-система) так, що точки тіла рухаються в площинах, паралельних XOY (рис. 2.4). Пов’яжемо з тілом рухому систему відліку X′O′Y′ (K′-система), положення початку відліку котрої O′ в К-системі визначається радіусом-вектором \(\vec{r}_0 \) Положення точки А відносно К-системи відліку визначається радіусом-вектором \(\vec{r} \), а відносно K′-системи – радіусом-вектором \(\vec{r}' \). Очевидно, що
\(\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{r}'. \)
Переміщення точки А за нескінченно малий проміжок часу dt
\(\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}\vec{r}_0+\mathrm{d}\vec{r}'. \)
Переміщення \(\vec{r}' \) зумовлене поворотом тіла навколо осі, що проходить через точки O′, тому \(\mathrm{d}\vec{r}'=\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{r}'\right] \) (див. (2.1а)). Отже
\(\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}\vec{r}_0+\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{r}'\right]. \)
Поділивши останній вираз на проміжок часу dt, одержимо швидкість точки А в К – системі відліку:
|
\(\vec{v}=\vec{v}_0+\left[\vec{\omega},\vec{r}'\right]. \) |
(2.13) |
Таким чином, при плоскому русі швидкість довільної точки А твердого тіла складається із швидкості \(\vec{v}_0 \) будь-якої іншої точки O′, що жорстко зв’язана з ним (nака точка може розміщуватись і поза тілом), і лінійної швидкості \(\vec{v}=\left[\vec{\omega},\vec{r}\right] \) обертального руху точки А навколо осі, що проходить через точку O′ перпендикулярно до площини руху.
Миттєва вісь. Оскільки вибір точки O′ є довільним, плоский рух тіла можна звести до чисто обертального. Справді, при плоскому русі вектори \(\vec{v}_0 \) і \(\vec{v}' \) перпендикулярні до вектора кутової швидкості \(\vec{\omega}\) , отже обидва лежать в одній площині руху. Тому в кожну мить існує така жорстко зв’язана з тілом точка М, миттєва швидкість якої \(\vec{v}' \) в К – системі рівна нулю. ЇЇ радіус-вектор \({{\vec{r}}_{m}}^{\prime }\) визначається із співвідношення (2.13):
|
\( {\vec{v}}_{0}^{\prime}+\left[\vec{\omega},\vec{r}_{m}^{\prime} \right]=0\quad \Rightarrow \quad \left[\vec{\omega},{\vec{r}}_{m}^{\prime}\right]=-\vec{v}_{0}^{\prime} \) |
(2.14) |
Зокрема, модуль \({{\vec{r}}_{m}}^{\prime }\) , тобто відстань між точками М і O′, дорівнює:
|
\({r}_{m}^{\prime }=\frac{{{v}_{0}}}{\omega }\) |
(2.14а) |
(При потребі детальнішої інформації про положення миттєвої осі вираз (2.14) слід розписати в координатній формі за правилами розкриття векторноо добутку)
Оскільки точка М у дану мить є нерухомою, то рух тіла в цей момент можна трактувати як чисте обертання навколо осі, що проходить через цю точку перпендикулярно до площини руху. Таку вісь називають миттєвою віссю. В загальному випадку положення миттєвої осі може змінюватися з часом. Наприклад, при коченні циліндра без ковзання по плоскій поверхні миттєва вісь збігається з лінією дотику циліндра до поверхні й рухається із швидкістю осі циліндра. Поняття миттєвої осі є досить продуктивним, оскільки в багатьох випадках спрощує аналіз плоского руху.