ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
1. КІНЕМАТИКА
1.2. Кінематика твердого тіла
Тіла, що рухаються, не завжди можна розглядати як матеріальні точки. Це стосується, наприклад, рухомих деталей та вузлів механізмів і машин. У цій лекції розглянуто наступні питання:
1. Рухи твердого тіла. Кінематика поступального руху
2. Обертальний рух твердого тіла
3. Зв’язок між лінійними та кутовими величинами
4. Загальні рівняння кінематики обертального руху
5. Плоский рух твердого тіла. Миттєва вісь
Рухи твердого тіла. Кінематика поступального руху
Різні точки твердого тіла рухаються не однаково, як, до прикладу, точки на осі та на ободі колеса, що котиться. Тому механіка твердого тіла є набагато складніша за механіку точки, так що можна виокремити декілька його різновидів: 1) поступальний рух; 2) обертання навколо нерухомої осі; 3) плоский рух; 4) обертання навколо нерухомої точки; 5) вільний рух. Основними при цьому є поступальний і обертальний рухи, оскільки, як виявляється, інші різновиди можна розглядати як сукупність цих двох.
Поступальним називають рух, при якому напрям відрізка, що з'єднує будь-які дві точки тіла, лишається незмінним. Прикладом може бути рух кузова автомобіля, або зісковзування бруска по похилій площині без зміни його орієнтації.
Обертальним називають такий рух твердого тіла, коли будь-якої миті всі його точки рухаються по колах із центрами на одній прямій – осі обертання, – що проходить через тіло.
При поступальному русі всі точки тіла рухаються по однакових за формою траєкторіях і в кожен момент часу мають однакову швидкість і прискорення. Отже, поступальний рух тіла визначається рухом будь-якої однієї його точки. Тому розглянута кінематика точки одночасно є й кінематикою поступального руху твердого тіла. Натомість кінематика обертального руху потребує окремого розгляду .
Обертальний рух твердого тіла
Уявімо якесь тіло, що обертається навколо нерухомої осі OZ (рис. 2.1) і розглянемо якусь його точку, що рухається по коловій траєкторії з центром у точці С і радіусом R. Задамо її положення радіусом-вектором \(\vec{r} \) із початком в точці О на осі обертання. За час dt точка здійснює переміщення \( \mathrm{d}\vec{r} \), яке є перпендикулярним до \(\vec{r} \) і має модуль
|
\(\left|\mathrm{d}\vec{r}\right|=R\mathrm{d}\varphi=r\mathrm{d}\varphi\sin\vartheta. \) |
(2.1) |
де \(\mathrm{d}\varphi \) – кут повороту тіла навколо осі обертання за час dt.
|
|
Це співвідношення можна подати так, аби воно відображало й напрям обертання тіла. Задля цього величину dφ розглядають як модуль вектора елементарного кута повороту \( \mathrm{d}\vec{\varphi} \), який напрямлений уздовж осі обертання згідно з правилом правого гвинта.
За цим правилом вектор \( \mathrm{d}\vec{\varphi} \) спрямований у напрямку вкручування правого гвинта, головка якого обертається в одному напрямі з тілом; подібні вектори називаються аксіальними.
У такому разі вираз (2.1) можна, як прийнято в теорії, згорнуто подати через векторний добуток:
|
\(\mathrm{d}\vec{r}=\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{r}\right]. \) |
(2.1а) |
Відтак, поділивши \( \mathrm{d}\vec{r} \) на dt, отримаємо:
|
\(\vec{v}=\left[\frac{\mathrm{d}\vec{\varphi}}{\mathrm{d}t},\vec{r}\right]\). |
(2.2) |
Зрозуміло, що \( \mathrm{d}\vec{\varphi} \) є однаковий для всіх точок. Тому, на відміну від \(\vec{v}\), вектор
|
\(\vec{\omega}=\frac{\mathrm{d}\vec{\varphi}}{\mathrm{d}t}\) |
(2.3) |
є кількісною характеристикою обертового руху всього тіла, тож називається кутовою швидкістю і вимірюється в радіанах за секунду (рад/с).
Зміна вектора кутової швидкості з часом характеризується вектором кутового прискорення \(\vec{\beta} \):
|
\(\vec{\beta}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}. \) |
(2.4) |
|
|
|
Одиницею кутового прискорення є 1 рад/с2.
При обертанні навколо фіксованої осі вектор \(\vec{\beta} \), так само як і вектор \(\vec{\omega} \) , напрямлений по осі обертання (рис 2.2). У такому разі зручніше використовувати не вектори, а їхні проекції на напрям осі обертання ОZ:
|
\(\omega_z=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t},\,\,\,\,\,\,\beta_z=\frac{\mathrm{d}\omega_z}{\mathrm{d}t}. \) |
(2.5) |
При цьому знак ωz визначає напрям обертання, а знак βz – характер обертання (рис. 2.2 відображає прискорене обертання в додатному напрямі осі ОZ).
Якщо під час руху вісь обертання змінює напрям, то \(\mathrm{d}\vec{\omega} \) і \(\vec{\beta} \) спрямовані під кутом до осі.
У найпростішому випадку рівномірного обертання тіла навколо фіксованої осі (\(\vec{\beta}=0,\,\,\,\, \vec{\omega}=\mathrm{const} \)) рух є періодичним, отож окрім кутової швидкості його характеризують періодом Т (часом одного оберту) та частотою n (кількістю обертів за одиницю часу).Позаяк за один оберт тіло повертається на кут 2π, то
|
\( T=\frac{2\pi}{\omega} \) і \( n=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}. \) |
(2.6) |
Зв’язок між лінійними та кутовими величинами
При розгляді обертального руху окремих точок твердого тіла величини \(\mathrm{d}\vec{r} \) і \(\vec{v}\) відповідно називають лінійними переміщенням і швидкістю, на відміну від кутових переміщення \(\mathrm{d}\vec{\phi} \) та швидкості \(\vec{\omega}\). Між лінійними та кутовими величинами існують зв’язки, що для елементарних переміщень задаються виразами (2.1) і (2.1а), а для швидкостей – виразом (2.2) із урахуванням означення (2.3):
|
\(\vec{v}=\left[ \vec{\omega },\vec{r} \right].\) |
(2.7) |
Отже, для модулів маємо:
|
\( v=\omega{r}\sin\vartheta=\omega{R}, \) |
(2.7а) |
де \( R=r\sin\vartheta \) – радіус кола, по якому рухається точка (рис. 2.2).
Вираз для повного прискорення точки через кутові величини знайдемо диференціюванням виразу (2.7):
|
\( \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \) = \(\left[ \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t},\vec{r} \right]+\left[\vec{\omega },\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{dt} \right] \) = \(\left[ \vec{\beta },\vec{r} \right]+\left[ \vec{\omega },\mathbf{\vec{v}} \right],\) |
де враховано, що \(\mathrm{d}\vec{\omega}/\mathrm{d}t=\vec{\beta} \) – вектор кутового прискорення, а \(\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t=\vec{v} \) – вектор лінійної швидкості.
Оскільки при обертанні тіла навколо нерухомої осі вектори \(\vec{\omega }\) і \(\vec{\beta} \) лежать на осі, то вектор \(\left[\vec{\beta},\vec{r}\right] \) напрямлено по дотичній до траєкторії даної точки тіла (рис. 2.2) і є її лінійним (тангенціальним) прискоренням \(\vec{a}_{\tau} \):
|
\(\vec{a}_{\tau}=\left[\vec{\beta},\vec{r}\right]. \) |
(2.8) |
Його проекція на напрям дотичної до кола складає
|
\( a_{\tau}=\beta_z{r}\sin\vartheta=\beta_z{R}. \) |
(2.8а) |
Друга складова повного прискорення \(\left[\vec{\omega},\vec{v}\right] \) при нерухомій осі обертання напрямлена по нормалі до траєкторії точки (рис.2.2), тобто є нормальним прискоренням:
|
\(\vec{a}_n=\left[\vec{\omega},\vec{v}\right]. \) |
(2.9) |
Модуль нормального прискорення
|
\( a_n=\omega{v}={\omega}^2 R. \) |
(2.9а) |
На основі співвідношень (2.8а) і (2.9а) можна визначити модуль і напрям (див. рис. 2.2) повного прискорення точок обертового тіла:
|
\( a=\sqrt{a_{\tau}^2+a_n^2}=R\sqrt{{\beta}^2+{\omega}^4}, \) |
(2.10) |
|
|
\(\mathrm{tg}\alpha=\frac{\omega^2}{\beta}. \) |
(2.10а) |
Загальні рівняння кінематики обертального руху
Кутове прискорення обертового тіла, як і прискорення точки, визначається силовою дією на нього боку інших тіл, отож його можна знайти, аналізуючи фізичні умови, в яких здійснюється обертання. Тому основне завдання кінематики обертового руху тіла полягає у визначенні інших кутових величин через відоме кутове прискорення. При обертанні навколо нерухомої осі це завдання розв’язується так само, як і в кінематиці точки (див. Лекцію 1). При цьому слід зауважити, що за загальним змістом і формальними означеннями кутові характеристики обертового руху – переміщення \(\mathrm{d}\vec{\varphi} \), швидкість \(\vec{\omega} \), прискорення \(\vec{\beta} \) – є такі самі, як і відповідні лінійні величини, що характеризують рух матеріальної точки. Тому й зв’язки між кутовими величинами є такі самі, як і між лінійними. Через це всі основні рівняння кінематики обертального руху навколо фіксованої осі є аналогічні до відповідних рівняннь кінематики руху точки у фіксованому (прямолінійному) напрямі. Зокрема, проекція кутової швидкості визначається загальним рівнянням, аналогічним до рівняння \({{v}_{z}}\) із (1.24):
|
\(\omega_z={\omega}_{0z}+\int\limits_0^t\beta_z\mathrm{d}t, \) |
(2.11) |
де ω0z – проекція початкової кутової швидкості, і βz – проекція кутового прискорення на напрям осі обертання.
У простому випадку рівнозмінного обертання βz = const, отже,
|
\(\omega_z=\omega_{0z}+\beta_z\int\limits_0^t\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\omega_z=\omega_{0z}+\beta_z{t}, \) |
(2.11а) |
що є аналогом рівняння (1.25а).
Кут повороту (кутове переміщення) φ, який визначає зміну положення тіла відносно осі обертання, знаходиться із загального рівняння
|
\(\varphi=\int\limits_0^t\omega_z\mathrm{d}t. \), |
(2.12) |
Це рівняння теж є аналогом рівнянь (1.25) кінематики точки, що визначають зміну положення точки відносно вибраного початку відліку.
При рівнозмінному обертанні \(\beta_z=\mathrm{const} \), \(\omega_z=\omega_{0z}+\beta_z{t} \), отже,
|
\(\varphi=\int\limits_0^t\left(\omega_{0z}+\beta_z{t}\right)\mathrm{d}t \,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\varphi=\omega_{0z}t+\frac{\beta_z{t}^2}{2}. \) |
(2.12а) |
Слід зауважити, що в рівняннях (2.11) – (2.12) величина φ є алгебраїчною, тож число φ/2π не визначає кількості обертів N (повний “шлях”), зроблених тілом за час t. (Виняток становить тільки обертання тіла в незмінному напрямі, коли φ не змінює знаку протягом заданого часу руху). В загальному випадку кількість обертів тіла визначається через модуль кутової швидкості рівнянням
|
\( N=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^t\omega\mathrm{d}t, \) |
(2.12б) |
яке є аналогом рівняння шляху (1.12) в кінематиці матеріальної точки.
Плоский рух твердого тіла. Миттєва вісь
Плоским рухом називається такий рух, при якому всі точки тіла переміщуються в площинах, паралельних до певної нерухомої в обраній системі відліку площини. Будемо називати такі площини “площинами руху”. Прикладом плоского руху може бути кочення циліндра: всі його точки рухаються в перпендикулярних до осі площинах.
Швидкість точки тіла при плоскому русі. Нехай якесь тіло здійснює плоский рух. Прослідкуємо за відрізком АВ, який з’єднує дві точки цього тіла, що знаходяться в площині руху. За деякий проміжок часу відрізок із положення A1B1, переміщується в положення A2B2 (рис. 2.3). Цю зміну положення можна розглядати як результат поступального переміщення в положення A2B′ і повороту в площині руху на деякий кут φ навколо точки А (рис. 2.3а). Але так само можна говорити про поступальне переміщення відрізка в положення A′B2 та поворот навколо точки В (рис. 2.3б). При цьому переміщення точок А і В – A1A2 і B1B2 – не однакові, але кут повороту φ один і той самий. Зрозуміло, що сказане є чинне й для будь якої іншої пари точок і для будь-якого проміжку часу, зокрема, й для нескінченно малого. Тому плоский рух твердого тіла можна розглядати як сукупність поступального руху та обертання навколо фіксованої осі перпендикулярної до площин руху точок тіла. При цьому
кутова швидкість обертання тіла не залежить від вибору такої осі.
|
|
Взявши до уваги сказане, розглянемо рух довільної точки А тіла, що здійснює плоский рух в К-системі відліку XOY так, що точки тіла рухаються в площинах, паралельних XOY (рис. 2.4). Пов’яжемо з тілом рухому K′-систему відліку X′O′Y′ (система), положення початку відліку котрої O′ в К-системі визначається радіусом-вектором \(\vec{r}_0 \) Положення точки А відносно К-системи відліку визначається радіусом-вектором \(\vec{r} \), а відносно K′-системи – радіусом-вектором \(\vec{r}' \). Очевидно, що
\(\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{r}', \)
тож переміщення точки А за нескінченно малий проміжок часу dt
\(\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}\vec{r}_0+\mathrm{d}\vec{r}'. \)
Переміщення \(\vec{r}' \) зумовлене поворотом тіла навколо осі, що проходить через точки O′, тому \(\mathrm{d}\vec{r}'=\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{r}'\right] \) (див. (2.1а)). Отже
\(\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}\vec{r}_0+\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{r}'\right]. \)
Поділивши останній вираз на проміжок часу dt, одержимо швидкість точки А в К – системі відліку:
|
\(\vec{v}=\vec{v}_0+\left[\vec{\omega},\vec{r}'\right]. \) |
(2.13) |
Таким чином, при плоскому русі швидкість довільної точки А твердого тіла складається із швидкості \(\vec{v}_0 \) будь-якої іншої точки O′, що жорстко зв’язана з ним (така точка може розміщуватися й поза тілом), і лінійної швидкості \(\vec{v}=\left[\vec{\omega},\vec{r}\right] \) обертального руху точки А навколо осі, що проходить через точку O′ перпендикулярно до площини руху.
Миттєва вісь. Оскільки вибір точки O′ є довільний, плоский рух тіла можна звести до чисто обертального. Справді, при плоскому русі вектори \(\vec{v}_0 \) і \(\vec{v}' \) є перпендикулярні до вектора кутової швидкості \(\vec{\omega}\) , отже обидва лежать в одній площині руху. Тому в кожну мить існує така жорстко зв’язана з тілом точка М, миттєва швидкість якої \(\vec{v}' \) в К – системі відлікурівна нулю. ЇЇ радіус-вектор \({{\vec{r}}_{m}}^{\prime }\) визначається із співвідношення (2.13):
|
\( {\vec{v}}_{0}^{\prime}+\left[\vec{\omega},\vec{r}_{m}^{\prime} \right]=0\quad \Rightarrow \quad \left[\vec{\omega},{\vec{r}}_{m}^{\prime}\right]=-\vec{v}_{0}^{\prime} \) |
(2.14) |
Зокрема, модуль \({{\vec{r}}_{m}}^{\prime }\) , тобто відстань між точками М і O′, дорівнює:
|
\({r}_{m}^{\prime }=\frac{{{v}_{0}}}{\omega }\) |
(2.14а) |
(При потребі детальнішої інформації вираз (2.14) слід розписати в координатній формі за правилами розкриття векторного добутку)
Оскільки точка М у дану мить є нерухома, рух тіла в цей момент можна трактувати як чисте обертання навколо осі, що проходить через цю точку перпендикулярно до площини руху. Таку вісь називають миттєвою віссю. В загальному випадку положення миттєвої осі може змінюватися з часом. Наприклад, при коченні циліндра без ковзання по плоскій поверхні миттєва вісь збігається з лінією дотику циліндра до поверхні й рухається із швидкістю осі циліндра. Поняття миттєвої осі є досить продуктивним, оскільки в багатьох випадках спрощує аналіз плоского руху.