ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА: 1.1. Кінематика матеріальної точки

ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА

1. КІНЕМАТИКА

1.1. Кінематика матеріальної точки

У цій частині ми не будемо розрізняти поняття “матеріальна точка”, “частинка” чи “тіло”. Спочатку розглянемо срособи описання руху і ті поняття, які при цьому використовують.

Існує три способи опису положення і руху точки в обраній системі відліку – векторний, координатний та природній – і відповідний набір кінематичних величин, які для цього використовуються. Розглянемо кожен із способів опису руху окремо, а також зв'язок між кінематичними характеристиками руху в різних системах відліку (перетворення Галілея).

Векторний спосіб опису руху ґрунтується на понятті радіуса-вектора і є найзручнішим для теорії, оскільки дозволяє лаконічно і повно відображати зміст кінематичних величин і зв’язок між ними.

Радіус-вектор, траєкторія, шлях, переміщення. Положення точки у просторі можна задавати її радіусом-вектором \( \vec{r} \) . Радіус-вектор – це вектор, проведений із початку відліку в дану точку (рис.1.1). Рухома частинка, отже й кінець її радіуса-вектора, описує в просторі неперервну лінію, котра називається траєкторією руху. Можна сказати, що траєкторія є геометричним місцем точок кінця радіуса-вектора частинки, що рухається. Довжина відрізка траєкторії між двома даними точками називається шляхом, пройденим частинкою за відповідний проміжок часу. Шлях визначає відстань, яку пройшла частинка вздовж траєкторії, але шлях не містить жодної інформації про її кінцеве положення. Тому для визначення зміни положення точки в просторі використовують переміщення \(\Delta\vec{r}\) – вектор, який проводять із початкового в кінцеве положення точки на траєкторії (рис. 1.1). Очевидно, що

	\( \Delta\vec{r}=\vec{r}_2- \vec{r}_1. \)	(1.1)

Модуль вектора переміщення \( |\Delta\vec{r}| \) дорівнює відстані між початковим та кінцевим положенням точки на траєкторії і в загальному випадку не дорівнює пройденому шляху S (рис. 1.1.):\( \left|\Delta\vec{r}\right| \le S \). Але переміщення \( \mathrm{d}\vec{r} \) за нескінченно малий проміжок часу співпадає з відповідною нескінченно малою ділянкою траєкторії (рис. 1.2). Тому модуль вектора елементарного переміщення \( \left|\mathrm{d}\vec{r}\right| \) і пройдений точкою шлях dS збігаються:

\( \left|\mathrm{d}\vec{r}\right|=\mathrm{d}S \).

(1.1а)

Сам вектор \( \mathrm{d}\vec{r} \) напрямлений по дотичній до траєкторії, отже, вказує напрям руху в даній точці траєкторії у відповідний момент часу.

Швидкість. Стан руху точки визначається не просто зміною її положення в просторі, а тим, як воно відбувається в часі. Наближено рух точки за проміжок часу Δt характеризують відношенням здійсненого за цей час переміщення \( \Delta{\vec{r}} \) до величини Δt, яке називають середнім вектором швидкості (або вектором середньої швидкості переміщення) \( \langle\vec{v}\rangle \):

\( \langle\vec{v}\rangle=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta{t}}. \)

(1.2)

Напрям вектора \( \langle\vec{v}\rangle \) співпадає з напрямом вектора переміщення (рис.1.1), і його модуль

\(\left|\left\langle \vec{v} \right\rangle\right| =\frac{\left| \Delta \vec{r} \right|}{\Delta t}. \)

(1.2а)

Слід зазначити, що вектор \( \langle\vec{v}\rangle=\Delta{\vec{r}}/ \Delta{t} \) є визначеним тільки для заданого проміжку часу Δt , тож для різних проміжків може довільно змінюватись як за модулем, так і за напрямком. Але при поступовому зменшенні величини Δt відношення \( \Delta{\vec{r}}/ \Delta{t} \) прямує до визначеної границі \( \vec{v} \), яка є точною характеристикою руху в кожну мить і називається миттєвою швидкістю (або просто швидкістю):

\(\vec{v}=\underset{\Delta{t}\to(0)}\lim\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta{t}}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\equiv\vec{r}^{\prime}(t)\equiv\dot{\vec{r}}(t)\).

(1.3)

(Похідну по часу можна записувати по-різному. У формулі (1.3) наведені всі можливі варіанти запису).

Оскільки переміщення \( \Delta\vec{r} \) є приростом радіуса-вектора, то миттєва швидкість є похідною від радіуса-вектора по часу. Вектор \( \vec{v} \) співнапрямлений з \( \mathrm{d}\vec{r} \) , тобто вектор миттєвої швидкості напрямлений по дотичній до траєкторії в кожній її точці. Отже, вектор \( \vec{v} \) визначає не тільки як швидко, а й у якому напрямі переміщується тіло в кожен момент часу. Тому говорять, що вектор швидкості визначає стан руху тіла. Зокрема, поведінка вектора швидкості дає загальну інформацію про характер руху. Наприклад, якщо \( \vec{v}=\mathrm{const} \), тобто, ані величина, ані напрям швидкості не змінюються, то маємо рівномірний прямолінійний рух тіла. Якщо ж незмінною лишається тільки модуль вектора швидкості, то тіло здійснює рівномірний криволінійний рух, тощо.

У практичних задачах часто буває істотним не напрям руху, а лише швидкість подолання тілом шляху. Тому крім величин \( \left\langle\vec{v}\right\rangle \) і \( \vec{v} \) використовують середню \( \langle{v}\rangle \) та миттєву v скалярну, або шляхову швидкості, які означають через пройдений шлях аналогічно до співвідношень (1.2) і (1.3.):

\( \langle{v}\rangle=\frac{S}{\Delta{t} }, \)

(1.4)

\( v=\frac{dS}{dt}. \)

(1.5)

Зауважимо, що із співвідношення (1.1а) випливає, що миттєва шляхова швидкість v дорівнює модулю вектора миттєвої швидкості, але для середніх швидкостей це, загалом, не так.

Прискорення. Ще однією характеристикою руху є прискорення. Вектор миттєвого прискорення (або просто прискорення) \( \vec{a} \) визначає швидкість зміни вектора швидкості у часі й уводиться аналогічно до миттєвої швидкості:

\( \vec{a}=\underset{\Delta t\to 0}\lim\frac{\Delta{\vec{v}}}{\Delta{t}} \) \( {=}\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\equiv {\vec{v}}'\left( t \right) \) \(\equiv \dot{\vec{v}}\left( t \right)\equiv \frac{{{d}^{2}}\vec{r}}{d{{t}^{2}}}={\vec{r}}''\left( t \right)=\ddot{\vec{r}}\left( t \right)\),

(1.6)

тобто це похідна від вектора швидкості по часу, або ж друга похідна від радіуса-вектора по часу (У формулі (1.6) наведені всі варіанти запису другої похідної по часу). Вектор прискорення збігається за напрямом з вектором \( \Delta{\vec{v}}\) і в загальному випадку складає певний кут із напрямом швидкості (рис.1.3). Якщо рух є рівнозмінним (\( \vec{a}=\mathrm{const} \)), то прискорення визначається виразом

\( \vec{a}=\frac{\Delta{\vec{v}}}{\Delta{t}}=\frac{\vec{v}_2-\vec{v}_1}{\Delta{t}}, \)

(1.7)

де Δt = t₂ - t₁ – проміжок часу, за який швидкість змінюється на величину \( \Delta{\vec{v}} \).

При нерівномірній зміні швидкості цей вираз визначає середнє прискорення \( \langle\vec{a}\rangle \) за час Δt.

Загальні рівняння кінематики точки. Коли задано закон руху точки, тобто – залежність радіуса-вектора від часу \( \vec{r}=\vec{r}(t) \) , то за допомогою співвідношень (1.2) – (1.7) легко знайти всі інші характеристики руху. Але на практиці найчастіше відоме прискорення\( \vec{a}=\vec{a}(t) \), яке визначається законами динаміки, і завдання полягає у визначенні через нього решти кінематичних величин. Для цього існують загальні рівняння швидкості, переміщення (радіуса-вектора) та шляху. Вони встановлюються за допомогою методів інтегрального числення.

З формули (1.6) випливає, що за проміжок часу dt приріст вектора швидкості \( \mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\mathrm{d}t \). Зміна швидкості за скінчений проміжок часу дорівнює сумі (точніше – інтегралу) всіх елементарних змін \( \mathrm{d}\vec{v} \):

\( \Delta\vec{v}=\vec{v}_2-\vec{v}_1=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{a}\mathrm{d}t. \)

(1.8)

Якщо розглядати проміжок часу від початкового t = 0 до довільного моменту t, то з (1.8) отримаємо загальне рівняння швидкості:

\( \vec{v}=\vec{v}_0+\int\limits_{0}^{t}\vec{a}\mathrm{d}t, \)

(1.9)

де \( \vec{v}_0=\vec{v}(0) \) – початкова швидкість рухомої точки.

Аналогічними міркуваннями на основі співвідношення (1.3) встановлюються загальні рівняння для переміщення та радіуса-вектора:

	\( \mathrm{d}\vec{r}=\vec{v}\mathrm{d}t, \)
	\(\Delta\vec{r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}=\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{v}\mathrm{d}t\),	(1.10)
	\( \vec{r}=\vec{r}_0+\int\limits_{0}^{t}\vec{v}\mathrm{d}t, \)	(1.11)

де \( \vec{r}_0=\vec{r}(0) \) – початковий радіус-вектор, який визначає початкове положення рухомої точки.

Зауважимо, що для визначення швидкості та положення рухомої точки в будь-який момент часу замало знати лише прискорення \( \vec{a}=\vec{a}(t) \). Треба також мати початкові умови, тобто знати величини \( \vec{r}_0 \) та \( \vec{v}_0 \), котрі визначаються конкретною системою відліку, в якій розглядається рух.

Рівняння для пройденого точкою шляху встановлюється аналогічно через шляхову швидкість (модуль вектора швидкості) із співвідношення (1.5):

	\( \mathrm{d}S = v\mathrm{d}t, \)
	\( S=\int\limits_0^t v\mathrm{d}t. \)	(1.12)

Підставляючи в отримані загальні рівняння заданий закон зміни прискорення \( \vec{a}=\vec{a}(t) \), можна отримати рівняння кінематики для будь-якого конкретного виду руху. Нехай, наприклад, маємо рух із відомим сталим прискоренням \( \vec{a}=\mathrm{const}\) . Тоді, згідно із рівнянням (1.9),

\( \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{a}\int\limits_{0}^{t}\mathrm{d}t\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{a}t. \)

(1.13)

Це відомий з елементарної фізики закон зміни швидкості при русі зі сталим вектором прискорення. Підставивши отриманий вираз \( \vec{v} \) у рівняння (1.11), отримаємо відоме рівняння для радіуса-вектора при вказаному русі:

\( \vec{r}=\vec{r}_0+\int\limits_{0}^{t}\left(\vec{v}_0+\vec{a}t\right)\mathrm{d}t \) \( \,\,\,\,\,\Rightarrow \) \(\Delta\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0{t}+\frac{\vec{a}t^2}{2}. \)

(1.14)

Аналогічно можна отримати рівняння кінематики й для складніших рухів, у яких прискорення змінюється з часом.

Координатний спосіб опису руху. Векторні співвідношення компактно і повно відображують фізичний зміст величин і зв’язки між ними, але в розрахунках вектори треба задавати числами. Тому, крім векторного, використовують координатний спосіб опису руху. В такому разі з тілом відліку жорстко зв’язують певну систему координат, найчастіше декартову, і положення точки в просторі визначають координатами – числами x, y, z. Ці числа дорівнюють відстаням (з тим, чи іншим знаком) від початку координат О до проекції точки на відповідну координатну вісь, рис. 1.4а. Відтак закон руху точки визначається рівняннями залежності координат від часу:

	x = x(t), y = y(t), z = z(t)_.	(1.15)

Очевидно, що декартові координати точки є проекціями кінця радіуса-вектора на осі координат OX, OY, OZ: x = r_x = rcosα, y = r_y = rcosβ, z = r_z= rcosγ, де α, β, γ – "напрямні кути", тобто кути між напрямками радіуса-вектора \( \vec{r} \) та осей OX, OY, OZ (на рис. 1.4а показано тільки один з них). Тому можна записати:

\( \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}, \)

(1.16)

де \( \vec{i},\,\,\vec{j},\,\,\vec{k} \) – одиничні базисні вектори (орти), які визначають напрямки осей декартової системи координат (рис. 1.4б).

Отже, знаючи координати точки, можна обчислити модуль її радіуса-вектора та, через напрямні косинуси, його напрям:

\( r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\); \( \cos{\alpha}=x/r \), \( \cos{\beta}=y/r \), \( \cos{\gamma}=z/r \),

(1.17)

Продиференціювавши вираз (1.16) по часу і врахувавши означення (1.3), отримаємо вираз швидкості точки в координатній формі:

\( \vec{v}=\vec{i}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\vec{j}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\vec{k}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\).

(1.18)

Отже, похідні координат по часу – то є проекції вектора швидкості на відповідні осі:

\( v_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \), \( v_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \), \( v_z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}. \)

(1.19)

Тому за заданим законом руху в координатній формі (1.15) можна визначити проекції вектора швидкості (1.19), а також його модуль і напрям:

\( v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\), \( \cos{\alpha}=v_x/v \), \( \cos{\beta}=v_y/v \), \( \cos{\gamma}=v_z/v \).

(1.20)

Аналогічно визначаються й параметри вектора прискорення при координатному способі опису руху:

	\( \vec{a}=\vec{i}\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}+\vec{j}\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}+\vec{k}\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}=\vec{i}a_x+\vec{j}a_y+\vec{k}a_z. \)	(1.21)
	\( a_x=\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2{x}}{\mathrm{d}t^2}, \) \( a_y=\frac{\mathrm{d}v_x }{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}, \) \( a_z=\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2}. \)	(1.22)
	\( a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\), \( \cos{\alpha}=\frac{a_x}{a}\), \( \cos{\beta}=\frac{a_y}{a}\), \( \cos{\gamma}=\frac{a_z}{a}\).	(1.23)

З усього сказаного в цьому пункті випливає наступний загальний порядок (алгоритм) розв’язування векторних рівнянь. Спочатку векторне рівняння “проектується” на координатні осі, тобто замість нього записується відповідна система алгебраїчних рівнянь для проекцій. Потім із них визначаються проекції шуканих векторів і, нарешті, якщо необхідно, через знайдені проекції визначаються модулі та напрямки шуканих векторів. У нескладних ситуаціях деякі етапи описаного алгоритму ми виконуємо автоматично, не виписуючи їх на папері. Як приклад, отримаємо з векторних рівнянь (1.9) і (1.11) рівняння для проекцій вектора швидкості та для координат точки через відомі проекції вектора прискорення:

	\( v_x=v_{0x}+\int\limits_0^t{a_x\mathrm{d}t},\,\,\,\, v_y=v_{oy}+\int\limits_0^t{a_y\mathrm{d}t},\,\,\,\, v_z=v_{0z}+\int\limits_0^t{a_z\mathrm{d}t}, \)	(1.24)
	\( x=x_0+\int\limits_0^t{v_x\mathrm{d}t},\,\,\,\,y=y_0+\int\limits_0^t{v_y\mathrm{d}t},\,\,\,\,z=z_0+\int\limits_0^t{v_z\mathrm{d}t}. \)	(1.25)

Аналогічно з рівнянь (1.13) і (1.14) для руху із сталим прискоренням отримаємо:

\( v_x=v_{0x}+a_x{t},\,\,\,\,\,v_y=v_{0y}+a_y{t},\,\,\,\,\,v_z=v_{0z}+a_z{t}; \)

\( x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2},\,\,\,\,y=y_0+v_{0y}t+\frac{a_y t^2}{2},\,\,\,\,z=z_0+v_{0z}t+\frac{a_z t^2}{2}. \)

(1.25а)

Із цих рівнянь можна також отримати корисні для розв’язування задач співвідношення:

\( v_x^2-v_{0x}^2=2a_x(x-x_0),\,\,\,v_y^2-v_{oy}^2=2a_y(y-y_0),\,\,\,v_z^2-v_{0z}^2=2a_z(z-z_0). \)

(1.25б)

Природній спосіб описання руху. Цей спосіб є зручним при описі руху по заданій траєкторії. Положення точки на траєкторії задається криволінійною координатою, тобто відстанню l від обраного початку відліку О до цієї точки, відрахованою вздовж траєкторії. Позитивний напрям відліку криволінійної координати задається довільно, виходячи з міркувань зручності. Закон руху точки при цьому визначається залежністю криволінійної координати від часу l = l(t). Зауважимо також, що модуль зміни криволінійної координати – то є пройдений точкою шлях.

K1-05

Для задання напряму руху і вектора швидкості точки з нею зв’язують одиничний вектор (орт) \( \vec{\tau} \) дотичної до траєкторії, спрямований в бік збільшення координати рис. 1.5. В такому разі можна записати:

\( \vec{v}={{v}_{\tau }}\vec{\tau } \)

де \( v_{\tau}=\mathrm{d}l/ \mathrm{d}t \) – проекція вектора швидкості на напрям \(\vec{\tau} \). Швидкість \( v_{\tau} \) є величиною алгебраїчною, її знак залежить від напрямку руху точки, а модуль дорівнює модулю вектора швидкості:

\( |v_{\tau}|=|\vec{v}|=v. \)

Вектор прискорення точки, котрий при такому способі опису називається повним прискоренням, відповідно до означення (1.6), виражається як

\(\vec{a}=\frac{\mathrm{d}(v_{\tau}\vec{\tau})}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v_{\tau}}{\mathrm{d}t}\vec{\tau}+v_{\tau}\frac{\mathrm{d}\vec{\tau}}{\mathrm{d}t}. \)

Таким чином, вектор повного прискорення має дві складові. Перша з них

\(\vec{a}_{\tau}=\frac{\mathrm{d}v_{\tau}}{\mathrm{d}t}\vec{\tau} \)

(1.26)

напрямлена по дотичній до траєкторії (рис. 1.6в) і називається тангенціальним прискоренням. Воно визначає зміну модуля вектора швидкості точки. Тому для будь-якого рівномірного руху тангенціальне прискорення \( \vec{a}_{\tau} =0 \).

K1-06

З’ясуємо зміст другої складової вектора повного прискорення, котра називається нормальним прискоренням:

\(\vec{a}_n=v_{\tau}\frac{\mathrm{d}\vec{\tau}}{\mathrm{d}t}. \)

(1.27)

Візьмемо до уваги те, що елементарна ділянка \( \mathrm{d}l \) будь-якої кривої співпадає з дугою певного кола (кола кривизни) з відповідним центром (центром кривизни О) та радіусом R - радіусом кривизни (рис. 1.6а). Урахувавши це, визначимо похідну \( \mathrm{d}\vec{\tau}/\mathrm{d}t \). Приріст орта \(\vec{\tau} \) зумовлений його поворотом на нескінченно малий кут dφ при переміщенні точки по траєкторії на нескінченно малу відстань \( \mathrm{d}l \) (рис. 1.6а,б) за гранично малий проміжок часу dt. Очевидно, що при такому переміщенні кути повороту орта \( \vec{\tau} \) і радіуса кривизни траєкторії R однакові, отже

\(\left|\frac{\mathrm{d}\tau}{\tau}\right|=\frac{\mathrm{d}l}{R}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,|\mathrm{d}\tau|=\frac{\mathrm{d}l}{R}. \)

Оскільки кут dφ є нескінченно малим, то вектор \( \mathrm{d}\vec{\tau} \) напрямлений перпендикулярно до вектора \( \vec{\tau} \) (рис. 1.6б). Тому, якщо ввести орт (одиничний вектор) нормалі до траєкторії \( \vec{n} \), то вектор \( \mathrm{d}\vec{\tau} \) можна подати у вигляді

\( \mathrm{d}\vec{\tau}=|\mathrm{d}\vec{\tau}|\vec{n}=\frac{\mathrm{d}l}{R}\cdot\vec{n}. \)

Поділивши цей вираз на dt, дістанемо:

\( \frac{\mathrm{d}\vec{\tau}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{R}\cdot\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\vec{n}=\frac{v}{R}\vec{n}. \)

Отже, згідно з виразом (1.27), нормальне прискорення

\(\vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{n}. \)

(1.28)

Цей вектор напрямлений по нормалі до центра кривизни траєкторії у кожній її точці. Він показує, як швидко повертається орт \( \vec{\tau} \), тобто, як швидко змінюється напрям руху точки. Тому при прямолінійному русі \( \vec{a}_n=0 \).

Повне прискорення \(\vec{a} \) (рис.1. 6в) дорівнює сумі тангенціального та нормального прискорень:

\(\vec{a}=a_{\tau}\vec{\tau}+a_n\vec{n}. \)

(1.29)

Його модуль

\(a=\sqrt{a_n^2+a_{\tau}^2}=\sqrt{\left(\frac{v^2}{R}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)^2}.\)

(1.29а)

Напрям вектора повного прискорення визначається кутом \(\vartheta \) (рис. 1.6в), причому

\(\mathrm{tg}\vartheta=\frac{a_n}{a_{\tau}}. \)

(1.29б)

Перетворення Галілея. Як уже говорилося, положення в просторі та рух точки є відносними, тобто вони є визначеними лише в обраній системі відліку. Відповідно, характеристики руху точки в двох різних системах відліку не однакові.

Розглянемо дві системи відліку із збіжними осями X, X’ й однаково напрямленими іншими осями координат – нерухому K і рухому K’, що рухається зі швидкістю \( \vec{V}=\mathrm{const}\)\ відносно K-системи у додатному напрямку осей X, X’. (рис. 1.7). Уважатимемо також, що в початковий момент часу системи K і K’ збігалися. Тоді в довільний момент t положення точки O′ відносно О визначається радіусом-вектором \( \vec{r}_0=\vec{V}t \). Положення довільної точки А в K- і K′-системах визначаються радіусами-векторами \( \vec{r} \) та \( \vec{r}' \), які пов’язані співвідношеннями

\(\vec{r}'=\vec{r}-\vec{r}_0=\vec{r}-\vec{V}t, \)

(1.30)

або

\(\vec{r}=\vec{r}'+\vec{r}_0=\vec{r}'+\vec{V}t. \)

(1.30а)

Ці співвідношення виражають перетворення Галілея у векторній формі. Вони дозволяють визначати положення точки в одній системі відліку, якщо відоме її положення в іншій. При цьому вважається самоочевидним, що час є абсолютним, тобто тривалість будь-яких процесів, приміром руху тіл, не залежить від системи відліку:

t = t′.

(1.31)

Перетворення Галілея в координатній формі , згідно з (1.16), мають вигляд:

	x' = x - Vt, y' = y, z' = z;	(1.32)
	x = x' + Vt, y = y', z = z'.	(1.32а)

Слід одразу зауважити, що ці співідношення ґрунтуються на принципово хибних уявленнях про простір та час і є непридатними при швидкостях руху, сумірних із швидкістю поширення світла с = 3·10⁸ м/с (див. Лекція 1.10).

Взявши першу та другу похідну по часу від виразів (1.30) і (1.30а), знайдемо формули перетворення швидкостей і прискорень:

	\(\vec{v}{'}=\vec{v}-\vec{V}, \)	(1.33)
	\(\vec{v}=\vec{v}'+\vec{V}, \)	(1.33а)
	\(\vec{a}'=\vec{a},\,\,\,\,\vec{a}=\vec{a}'. \)	(1.34)

Зауважимо, що формули (1.33), (1.33а), які називають ще законом додавання швидкостей, стосуються будь-яких систем відліку, але співвідношення (1.34), є чинними лише для описаних систем відліку, що рухаються одна відносно одної прямолінійно, рівномірно і поступально.