physics.zfftt.kpi.ua

Задача 2.6. Видиме світло, що містить усі кольори від фіолетового (λ₁ = 390 нм) до червоного (λ₂ = 750 нм), після проходження крізь дифракційну ґратку потрапляє на екран. Визначити кількість дифракційних спектрів N, яку буде видно по один бік екрана. 

Задача 2.7. Дифракційну ґратку, що містить n = 45  штрихів на 1 мм, опромінюють монохроматичним світлом. Визначити його довжину хвилі \(\lambda\), якщо кут між напрямами на головні дифракційні максимуми порядків m₁ = 1 та m₂ = 2 складає \(\Theta=1,6^{\circ}\).

 Задача 2.6.

Видиме світло, що містить усі кольори від фіолетового (λ₁ = 390 нм) до червоного (λ₂ = 750 нм), після проходження крізь дифракційну ґратку потрапляє на екран. 

Визначити,

кількість дифракційних спектрів N, яку буде видно по один бік екрана. 

Розв'язання

В умові не вказано відстань $h$ від ґратки до екрана та його ширину, тож може здатися, що задача є некоректна. Проте це не так, як показує аналіз залежносі від довжини хвилі $\lambda $ положення на екрані $Е$ (рис. 2.6)

$x=h\operatorname{tg}\varphi $

дифрагованих променів з різною довжиною хвилі, а саме. Зважаючи на специфіку функції $\operatorname{tg}\varphi $, при зміні кута дифракції і довжини хвилі в області великих значень зміна величини $x$ різко пришвидшується, так що довгохвильова зона дифракційнго спектра на екрані виявляється сильно розтягненою порівняно з корткохвильовою. Через це червона  межа ((${{\lambda }_{2}}$)) одного спектра може опинитися від центра екрана далі, ніж  фіолетова (${{\lambda }_{1}}$) наступного. В такому разі, через накладання променів з різною довжиною хвилі, в зоні перекриття впорядкованого розташування кольорів на екрані, тобто дифракційного спектра, не буде.

Отже, всупереч висловленим напочатку сумнівам, кількість спектрів, які можна побачити на екрані, залежить не від його розмірів і відстані до ґратки, а від межових кутів спектрів, які визначаються формулою (2.10). Зокрема, для сусідніх спектрів

              $d\sin {{\varphi }_{2}}=m{{\lambda }_{2}}$

і

$d\sin {{\varphi }_{1}}=(m+1){{\lambda }_{1}}$,

де ${{\varphi }_{2}}$ і ${{\varphi }_{1}}$  – кути дифракції для червоних (${{\lambda }_{2}}$) променів у спектрі порядку $m$ та фіолетових  (${{\lambda }_{1}}$) у наступному. При цьому умовою перекривання спектрів є 

${{\varphi }_{2}}$  >  ${{\varphi }_{1}}$,

отже,

m${{\lambda }_{2}}$ > (m+1)${{\lambda }_{1}}$.

Відтак, розв’язавши цю нерівність, отримаємо

$m$ > $\frac{{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{2}}-{{\lambda }_{1}}}$    $\Rightarrow $     $m$ > 1,1.

Позаяк за змістом число $m$ є ціле, отриманий розв'язок означає, що перекривання спектрів починається з другого порядку. Таким чином, на екрані буде видно весь спектр першого порядку й частину другого від початку до довжини хвилі ${{\lambda }}$, для якої кут дифракції  ${{\varphi }}$ збігається з кутом дифракції ${{\varphi }_{1}}$ фіолетових променів (${{\lambda }_{1}}$) у спектрі третього порядку. Отже,

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {} & d\sin {{\varphi }_{1}}=2\lambda   \\   {} & d\sin {{\varphi }_{1}}=3{{\lambda }_{1}}  \\\end{array} \right.\quad \Rightarrow \quad \lambda =\frac{3}{2}{{\lambda }_{1}}=585$ нм,

що відповідає жовтому кольору.
 

Задача 2.7

Дифракційну ґратку, що містить n = 45  штрихів на 1 мм довжини, по нормалі опромінюють монохроматичним світлом.

Визначити

його довжину хвилі \(\lambda\), якщо кут між напрямами на головні дифракційні максимуми порядків m₁ = 1 та m₂ = 2  складає \(\Theta=1,6^{\circ}\).

Розв’язання

Відповідно до дифракційної формули (2.10),

де \(\varphi\) – кут дифракції для першого  і \(\(\varphi+\Theta)\) для другого  головного максимума (рис.1), і d – період гратки, що визначається кількістю штрихів на одиницю довжини ґратки як

\(d=\frac{1}{n}\).

Далі подамо вираз (2) у вигляді

і, зробивши заміну

\(\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^{2}\varphi}\)

і, взявши до уваги, що 1,6° = 0,028 рад << 1, отже, \(\cos\Theta=1\) і \(\sin\Theta=\Theta\) (рад), отримаємо:

\(\frac{m_{2}\lambda}{d}=\sin\varphi+\Theta\sqrt{1-\sin^{2}\varphi}\).

Звідси, врахувавши, що за формулою (1)

\(\sin\varphi=m_{1}\lambda/d\),

після перетворень і обчислень дістанемо наступну загальну відповіль:

\(\lambda=\frac{\Theta}{N\sqrt{(m_{2}-m_{1})^{2}+m_{1}^{2}\Theta}}=\frac{\Theta}{N\sqrt{1+\Theta^{2}}}\approx\frac{\Theta}{N}\)

та числове значення шуканої довжини хвилі:

\(\lambda\approx{620}\) нм.