ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ОПТИКА". Компенсаційний курс
Приклади розв'язування задач
Дифракція світла
Задача 17.4. При опроміненні дифракційної гратки білим світлом спектри другого та третього порядків частково перекриваються. Визначити довжину хвилі \(\lambda_{2}\) у спектрі другого порядку (m2 = 2), на яку накладається фіолетова (\(\lambda_{3}=400\) нм) межа спектра третього порядку (m3 = 3).
Задача 17.5. При опроміненні дифракційної гратки білим світлом спектри другого та третього порядків частково перекриваються. Визначити довжину хвилі \(\lambda_{2}\) у спектрі другого порядку (m2 = 2), на яку накладається фіолетова (\(\lambda_{3}=400\) нм) межа спектра третього порядку (m3 = 3).
Задача 17.4
При опроміненні дифракційної гратки білим світлом спектри другого та третього порядків частково перекриваються.
Визначити
довжину хвилі \(\lambda_{2}\) у спектрі другого порядку (m2 = 2), на яку накладається фіолетова (\(\lambda_{3}=400\) нм) межа спектра третього порядку (m3 = 3).
|
Дано: m2 = 2
m3 = 3
λ3 = 400 нм
|
|
λ3 - ?
|
Розв’язання
З умови задачі зрозуміло, що кути дифракції \(\varphi\) для хвиль \(\lambda_{2}\) та \(\lambda_{3}\) однакові. Тому, згідно з умовою (17.9), маємо:
\(d\sin\varphi=m_{2}\lambda_{2}\); \(d\sin\varphi=m_{3}\lambda_{3}\)
Прирівнюючи праві частини цих виразів, одержимо
\(m_{2}\lambda_{2}= m_{3}\lambda_{3}\) \(\Rightarrow\) \(\lambda_{2}=\frac{m_{3}}{m_{2}}\lambda_{3}=\frac{3}{2}\cdot{400}=600\) нм.
Задача 17.5
Монохроматичне світло нормально падає на дифракційну гратку, яка має 45 штрихів на кожний міліметр довжини. Кут між напрямками на максимуми другого (m1 = 2) та третього (m2 = 3) порядків \(\Theta=1,6^{\circ}\).
Визначити
довжину хвилі світла \(\lambda\).
|
Дано: N = 45 1/мм
m1 = 2
m2 = 3
Θ = 1,6°
|
|
λ - ?
|
Розв’язання
Відповідно до умови головних максимумів дифракційної гратки (формула (17.9)), і з урахуванням умови задачі для максимумів порядку m1 і m2 можна записати:
|
|
\(\d\sin\varphi=m_{1}\lambda\), |
(1) |
|
|
\(\d\sin(\varphi+\Theta)=m_{2}\lambda\), |
(2) |
де \(\varphi\) – кут між нормаллю до ґратки і напрямком на максимум порядку m1 (рис.1), d – період гратки, що зв'язаний з числом штрихів на одиницю довжини співвідношенням
\(d=\frac{1}{N}\).
Представимо вираз (2) у вигляді
|
|
\(\frac{m_{2}\lambda}{d}=\sin\varphi\cos\Theta+\sin\Theta\cos\varphi\). |
(3) |
Оскільки кут \(\Theta\ll{1}\) (1,6° = 0,028 рад), то можна прийняти \(\cos\Theta=1\) та \(\sin\Theta=\Theta\) (рад). Крім того
\(\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^{2}\varphi}\).
Зробивши ці підстановки у вираз (3), одержимо
\(\frac{m_{2}\lambda}{d}=\sin\varphi+\Theta\sqrt{1-\sin^{2}\varphi}\).
Підставивши вираз \(\sin\varphi=m_{1}\lambda/d\) з формули (1) в останній вираз, після перетворень знаходимо:
\(\lambda=\frac{\Theta}{N\sqrt{(m_{2}-m_{1})^{2}+m_{1}^{2}\Theta}}=\frac{\Theta}{N\sqrt{1+\Theta^{2}}}\approx\frac{\Theta}{N}\).
Обчислення дають:
\(\lambda=\frac{0,028}{45}\approx{620}\) нм.