physics.zfftt.kpi.ua

Роботу колового процесу (циклу) зручно визначати через площу його графіка, зобразивши його при потребі на діаграмі (P,V).

Задача 2.12. Із незмінною кількістю ідеального газу проведено заданий коловий процес (рис. 12. у розв'язанні). Побудувати графіки залежності тиску від 1) температури P(T) та  2) об'єму P(V) у цьому процесі.

Задача 2.13. З незмінною кількістю одноатомного газу проводять заданий прямий цикл (див. рис. у розв'язанні), в якому максимальний і мінімальний тиски співвідносяться як P₂ = nP₁, n = 8. Визначити коефіцієнт корисної дії циклу \(\eta\).

Задача 2.14. Парова машина потужністю N = 12 кВт витрачає за час τ = 1 год  m = 8 кг палива з теплотворністю q = 36 МДж/кг. Пара подається в циліндр машини при температурі t₁ = 200 °C, а викидається в конденсатор (холодильник) при температурі t₂ = 100 °C. Визначити ККД η машини та  порівняти його з ККД  η_к ідеального теплового двигуна (машини Карно), що працює при тих самих температурах нагрівника та холодильника.

Задача 2.15. ККД ідеального теплового двигуна η теоретично можна збільшити або підвищенням температури нагрівача, або зниженням температури холодильника. Визначити, в якому випадку й на скільки ε(%) приріст ККД буде більшим?

Задача 2.12.

Із незмінною кількістю ідеального газу проведено заданий коловий процес (цикл), показаний на рис. 12.

Побудувати

графіки залежності тиску від 1) температури P(T) та 2) об'єму P(V) у цьому циклі.

Розв’язання

Із заданого графіка циклу видно, що він складається з ізохор (1→2), (3→4), ізотерми 2→3, та ізобари 4→1.

1). Залежність Р(T). Задля зручності побудови графіка розміщуємо систему координат (Р,Т), як показано на рис. 12-1, і з точок 1, 2, 3  і 4 на рис. 12а) опускаємо проєктуючі вертикалі на рис. 12б) та вибираємо на ньому початкову точку 1. Відтак з початку координат проводимо промінь через т.1 до перетину з вертикаллю Т₂₃ і стрілк0ю зображуємо початкову ділянку циклу 1→2. (Примітка. Позаяк числові дані, зокрема Р₁, в умові не вказані, положення т.1 вибираємо довільно, проте так, аби т.2 не виходила за межі креслення).

Далі, враховуючи, що на ділянці 4→1 процес є ізобарним, проводимо горизонталь через т.1 і на її перетині з вертикаллю Т₄ відмічаємо точку 4. Після цього, врахувавши, що ділянка 3→4 є ізохорою, проводимо промінь із початку координат через т.4 до перетину з вертикаллю Т_2,3 і знаходимо положення т.3. Відтак, спорядивши стрілками ділянки 2→3→4→1, завершуємо побудову графіка залежності Р(T).

2. Залежність Р(V)  на графіку будуємо за такою самою схемою шляхом "проєктування" щойно отриманого графіка Р(Т). Для цього координатну систему (Р,V) розміщуємо праворуч (рис. в)) й переносимо на вісь абсцис значення V₁₂ і V₃₄  з рис. а). По тому проводимо з цих точок проєктуючі вертикалі, а з точок Р₁₄, Р₃ і  Р₂ – горизонталі. Відтак на перетинах проєктуючих відмічаємо відповідні точки й показуємо графік циклу, як на рис. в).

Задача 2.13

З незмінною кількістю одноатомного газу проводять прямий цикл заданий прямий цикл (рис. 13), у якому максимальний і мінімальний тиски співвідносяться як P₂ = nP₁, n = 8.

Визначити

коефіцієнт корисної дії циклу \(\eta\).

Розв’язання

Відповідно до рис. 13, заданий цикл складається з ізохори \(1\to {1}'\), ізобари \({1}'\to 2\) і ділянки \(2\to {1}\), на якій тиск і об'єм перебувають у прямо пропорціональному зв'язку.

Коефіцієнт корисної дії циклу визначається як

де A – робота газу в циклі, Q₁, – кількість тепла, отримана ним на гілці 1 → 1′ → 2.

Величина A чисельно дорівнює площі виділеного трикутника на рис. 13 (див. п. 2.1) і складає

Теплота Q₁ за першим законом термодинаміки йде на зміну внутрішньої енергії газу, що згідно з виразом (2.4), складає

 та на роботу розширення газу на ділянці 1′ → 2, яка відповідно до формули (2.7) дорівнює

Тож підставивши ці значення у вираз (2.9a), після викладок дістанемо:

${{Q}_{1}}=\frac{1}{2}\left( 5{{n}^{2}}-2n-3 \right){{P}_{1}}{{V}_{1}}$.

Відтак за формулою (1) отримаємо відповідь:

Задача 2.14.

Парова машина потужністю N = 12 кВт витрачає за час τ = 1 год  m = 8 кг палива з теплотворністю q = 36 МДж/кг. Пара подається в циліндр машини при температурі t₁ = 200 °C, а викидається в конденсатор (холодильник) при температурі t₂ = 100 °C.

Визначити

ККД η машини та  порівняти його з ККД  η_к ідеального теплового двигуна (машини Карно), що працює при тих самих температурах нагрівника та холодильника.

Розв’язання

Коефіцієнт корисної дії теплової машини (двигуна)

\( \eta=\frac{A}{Q}\),

де A – виконана робота, Q – отримана кількість тепла. З умови задачі зрозуміло, що

\( {A}=N\tau \)   і   \( {Q}=qm, \)

отже

\( \eta=\frac{N\tau }{qm}=0,15=15 \) %.

ККД машини Карно (ідеального теплового двигуна) при вказаних температурі  нагрівника та холодильника за формулою (2.24) складає:

\( \eta_{ід}=1-\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=21 \) %.

Отже,  ККД даного теплового двигуна є менший, ніж ККД відповідного ідеального двигуна, як про те й трактує теорія.

Задача 2.15. ККД ідеального теплового двигуна η теоретично можна збільшити або підвищенням температури нагрівача, або зниженням температури холодильника.

Визначити,

в якому випадку й на скільки ε(%) приріст ККД буде більшим?

Розв’язання

Згідно з теорією (п. 2.4), ККД ідеального теплового двигуна визначається формулою (2.24). Тож при підвищенні температури нагрівника на якусь величину ΔТ він набуде значення

${{\eta }_{1}}=\frac{\left( {{T}_{1}}+\Delta T \right)-{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}+\Delta T}$.

Якщо ж замість цього на таку саму величину понизити температуру холодильника, то ККД стане рівним

${{\eta }_{2}}=\frac{{{T}_{1}}-\left( {{T}_{2}}-\Delta T \right)}{{{T}_{1}}}$.

Як видно, в отриманих виразах чисельники однакові, отже для підвищення ККД є більш ефективно  зменшувати температуру холодильника. На скільки саме, показує величина

$\varepsilon =\frac{{{\eta }_{2}}-{{\eta }_{1}}}{{{\eta }_{1}}}=\frac{{{\eta }_{2}}}{{{\eta }_{1}}}-1$,

для якої після підстановки виразів η₁ і η₂ дістанемо:

$\varepsilon =\frac{\Delta T}{{{T}_{1}}}$.

Слід сказати, що отриманий результат практичного значення не має, бо всі реальні теплові двигуни (приміром, автомобільні) за холодильник мають довкілля. Причина цього полягає в тому, що як доводить теорія, затрачена на примусове охолодження холодильника енергія принципово не може бути меншою за отриманий через підвищення ККД виграш.