physics.zfftt.kpi.ua

У наведених прикладах задач, у яких фігурує прискорення вільного падіння, його значення приймається рівним g = 10 м/с². 

Задача 2.7. Для ванни необхідно приготувати V = 200 л води з температурою t = 46°C, змішуючи гарячу та холодну воду з температурами \(t_{1}\) = 90°C і \(t_{2}\) = 10°C. Визначити потрібні об'єми гарячої V₁ та холодної V₂ води.

Задача 2.8. Кусок припою (сплав олова зі свинцем) з температурою \({{t}_{1}}\) = 100°C опустили в калориметр із такою самою масою води при температурі \({{t}_{2}}\) =10°C. Визначити вміст олова η_o(%) і свинцю η_c(%) у припої, якщо в калориметрі встановилася температура \(t\) = 13,5 °C.

Задача 2.9. У термос із m = 2 кг льоду (питома теплота плавлення λ = 330 кДж/кг) при температурі t₀ = 0°C влили V = 1,5 л окропу (густина ρ = 1 г/см³, питома теплоємність c = 4,2 кДж/(кг·К)) з температурою t = 95°C. Визначити температуру $\theta $, що встановиться у термосі.

Задача 2.10.  У плавильній печі з коефіцієнтом корисної дії \(\eta\) = 40 % треба розплавити m = 50 т залізного брухту із початковою температурою t = 25°C. Визначити  потрібну для цього масу коксу m₁.

Задача 2.11. При інтенсивному відкачуванні теплоізольованої колби з водою при температурі 0°С і нормальному атмосферному тиску утворилася певна кількість льоду. Визначити, яка частина η(%) води при цьому випарувалася. Питома теплота плавлення льоду λ = 335 кДж/кг, питома теплота пароутворення r = 2,26 МДж/кг.

Задача 2.7

Для ванни необхідно приготувати V = 200 л води з температурою t = 46°C, змішуючи гарячу та холодну воду з температурами \(t_{1}\) = 90°C і \(t_{2}\) = 10 °C. 

Визначити

потрібні об'єми гарячої V₁ та холодної V₂ води.

Розв’язання

У процесі встановлення теплової рівноваги при змішуванні гаряча та холодна вода обмінюються однаковими кількостями теплоти, тож відповідно до формули (2.15) маємо:

cm₁(t₁ – t) = cm₂(t – t₂).

Виразивши маси гарячої m₁ і холодної m₂ води через густину та об'єми, отримаємо

V₁(t₁ – t) = V₂(t – t₂)

і, врахувавши, що V = V₁ + V₂, легко дістанемо відповідь:

\(V_{1}=\frac{t-t_{2}}{t_{1}-t_{2}}{V}=90\) л

\(V_{2}=V-V_{1}=\frac{t_{1}-t}{t_{1}-t_{2}}{V}=110\) л.

Задача 2.8

Кусок припою (сплав олова зі свинцем) з температурою \({{t}_{1}}\) = 100°C опустили в калориметр із такою самою масою води при температурі \({{t}_{2}}\) =10°C. Питомі теплоємності: води c = 4,2 кДж/(кг·К), олова c_o = 230 Дж/(кг·К), свинцю c_с = 130 Дж/(кг·К).

Визначити

вміст олова η_o(%) і свинцю  η_c(%) у припої, якщо в калориметрі встановилася температура \(t\) = 13,5 °C.

Розв’язання

У процесі встановлення теплової рівноваги олово і свинець охолоджуються, а вода нагрівається до заданої кінцевої температури t. Тож відповідно до рівняння теплового балансу (2.14a) і формули (2.15), можна записати:

де m – маса води в калориметрі, а m_о і m_c – маси олова і свинцю в сплаві.

Вміст компоненти η є відношенням її маси до загальної маси сплаву, тож, урахувавши, що за умовою маса припою збігається з масою води, маємо:  

Відтак, підставивши ці вирази в рівняння (1), отримаємо рівняння

\(\left( {{c}_{\text{o}}}{{\eta }_{\text{o}}}+{{c}_{\text{c}}}\left( 1-\eta_{\text{o}}  \right) \right)\left( {{t}_{1}}-t \right)={{c}_{\text{в}}}\left( t-{{t}_{2}} \right)\)

з якого дістанемо величину η_о, а по тому й η_с:

${{\eta }_{\text{o}}}=\frac{{{c}_{\text{}}}\left( t-{{t}_{2}} \right)}{\left( {{c}_{\text{o}}}-{{c}_{\text{c}}} \right)\left( {{t}_{1}}-t \right)}-\frac{{{c}_{\text{c}}}}{{{c}_{\text{o}}}-{{c}_{\text{c}}}}$;    η_с = (1 – η_о).

Обчислення дають

η_о = 40%;  η_с = 60%.

Задача 2.9

У термос із m = 2 кг льоду (питома теплота плавлення λ = 330 кДж/кг) при температурі t₀ = 0°C влили V = 1,5 л окропу (густина ρ = 1 г/см³, питома теплоємність c = 4,2 кДж/(кг·К)) з температурою t₁ = 95°C.

Визначити

температуру θ, що встановиться у термосі.

Розв’язання

Шукана температура θ знаходиться з рівняння теплового балансу (2.14а), в якому віддане тепло за формулою (2.15) складає

${{Q}_{в}}=c\rho V\left( t-\theta  \right)$,

де ρV – маса влитого окропу, а отримане

${{Q}_{о}}=\lambda m+cm\left( \theta -{{t}_{0}} \right)$,

де m – маса розплавленого льоду та утвореної з нього води.

Отже, для визначення кінцевої температури в термосі маємо рівняння:

При цьому, коли підставити нього задану в умові величину m = 2 кг, то обчислення дають θ = –51°C, тобто виходить, що при заливанні окропу лід у термосі не тане, а глибоко заморожується, що є абсурдом. Але його причину неважко збагнути: залитого окропу є замало для розплавлення всього льоду. І справді, за формулою (2.16) для розплавлення 2 кг льоду потрібно 660 кДж тепла, тоді як за формулою (2.15) окріп масою ρV = 1,5 кг при охолодженні до θ = 0°C  віддає вього ≈ 600 кДж. Тож розплавляється тільки частина льоду, масу котрої m′ можна визначити, поклавши в рівнянні (1) θ = 0:

$m′ =\frac{cm{{t}}}{\lambda }$ = 1,8 кг.

Отже, маємо таку відповідь задачі:

після встановлення рівноваги термос буде містити воду з кусочком льоду масою 200 г при температурі

θ = 0°C.

Порада. Аби за наявності в системі фазових переходів (змін агрегатного стану) при складанні рівняння теплового балансу запобігти подібній до зробленої тут умисно помилки, варто попередньо підрахувати та з'ясувати сумісність із умовою задачі кількостей теплоти, що потрібні для повної зміни агрегатного стану відповідних речовин.

Задача 2.10

У плавильній печі з коефіцієнтом корисної дії η = 40 % необхідно розплавити m = 50 т залізного брухту, що має початкову температуру t = 25°C. Температура плавлення заліза t_п = 1425°C, питома теплоємність c = 460 Дж/(кг·К), питома теплота плавлення λ = 82 кДж/кг. Теплотворність коксу  q = 35 МДж/кг.

Визначити

потрібну для цього масу коксу m₁.

Розв’язання

Згідно з формулою (2.18), потрібна маса кокусу m₁ визначається його теплотворністю q та кількістю теплоти Q₁, що є необхідна для нагрівання й плавлення брухту: 

При цьому корисною (що йде безпосередньо на нагрівання та плавлення) є тільки частка Q = ηQ₁ всієї виділеної при згорянні коксу кількості теплоти. Тож

де величина Q визначається формулами (2.15) і (2.16). Таким чином, 

 \({{m}_{1}}=\frac{(c({{t}_{}}-t)+\lambda )m}{\text{ }\!\!\eta\!\!\text{ }q}\) ≈ 2,6 т.

Задача 2.11. При інтенсивному відкачуванні теплоізольованої колби з  водою при температурі 0°С і нормальному атмосферному тиску утворилася певна кількість льоду.

Визначити,

яка частина η(%) води при цьому випарувалася. Питома теплота плавлення льоду λ = 335 кДж/кг, питома теплота пароутворення r = 2, 26 МДж/кг.

Розв’язання

При пароутворенні рідину покидають "гарячі" молекули, енергія теплового руху котрих є достатня для подолати сил зв'язку з іншими молекулами. Через це рідина охолоджується і при інтенсивному випаровуванні без підведення  тепла іззовні може навіть тверднути.

За умовою вода в колбі із самого початку перебуває при температурі тверднення. Тому при відкачуванні колби вода відразу починає замерзати, тож усе тепло, що при цьому виділяється, йде на пароутворення. Отже, згідно з формулами (2.16) і (2.17),

  rm_п = λm_л,

де m_п – маса води, що випарувалась, і m_л = m – m_п– маса утвореного льоду при початковій масі води в колбі m. Тобто,

\(\lambda \left( m-{{m}_{\text{п}}} \right)=r{{m}_{\text{п}}}\quad \Rightarrow \quad \lambda m=\left( \lambda +r \right){{m}_{\text{}}}\).

Отже, частка η = (m_п/m) води, що перетворилася на пару, складає:

$\eta =\frac{λ}{r+\lambda }$ = 13%.