ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. ЕЛЕМЕНТИ ОПТИКИ
Лекція 5.1. ВІДБИВАННЯ ТА ЗАЛОМЛЕННЯ СВІТЛА
1.СВІТЛОВІ ХВИЛІ
Загальні характеристики хвильових процесів, зокрема електромагнітних, а також і світлових хвиль, розглянуті в попередньому розділі (Лекції 4.7 і 4.9). Але для світла, на додачу, існує низка понять і величин, які пов’язані з його суб’єктивним сприйняттям.
Оптичне випромінювання. Інтервали частот n і довжин хвилі l електромагнітного випромінювання, яке ми сприймаємо як видим світло, дуже вузькі і дещо відрізняються у різних людей. Усереднено вони складають:
|
|
\(\nu=(0,75\div{0,4})\) ПГц, |
(1.1) |
|
|
\(\lambda=(0,4\div{0,75})\) мкм = \((400\div{750})\) нм. |
(Нагадаємо, що 1 ПГц = 1015 Гц, 1 мкм = 10-6 м, 1 нм = 10-9 м).
Суб’єктивно світло сприймається через відчуття яскравості джерела чи освітленої поверхні та через відчуття кольору. Об’єктивно яскравість та освітленість визначається інтенсивністю світлової хвилі, що потрапляє в око людини. За відчуття кольору відповідає частота світла, тож будь-якій частоті з означеного діапазону (1.1) формально відповідає один окремий колір. Тому світло, що характеризується однією частотою, називають монохроматичним («однокольоровим»). Одразу зазначимо, що поняття монохроматичного світла відіграє важливу роль у теорії, але є ідеалізацією. Насправді в будь-якому реальному випромінюванні присутні коливання із безліччю різних частот в певному інтервали \(\Delta\nu\), який визначає спектральну ширину цього випромінювання. Тому на практиці за монохроматичне приймають випромінювання з достатньо вузькою спектральною шириною. Слід також зауважити, що око не здатне розрізняти за кольором світло з дуже близькими частотами. Тому умовно виділяють усього сім «чистих» кольорів, які в напрямку зростання частоти світла утворюють відому послідовність: червоний, жовтогарячий (оранжевий, помаранчевий), жовтий, зелений, блакитний, синій та фіолетовий. Проте завдяки досить великій роздільній здатності ока та існуванню трьох типів рецепторів кольору («колбочок») із максимальною чутливістю до різних частот людина здатна розрізняти дуже широку гаму кольорів.
Швидкість світла. Показник заломлення. Теоретично в речовині швидкість електромагнітних хвиль, тож і світла, визначається її діелектричною \(varepcilon\) та магнітною \(\mu\) проникностями (Лекція 4.9, формула (9.4)). Але через сильне загасання електромагнітних коливань у провідних середовищах прозорими для світлових хвиль є тільки діелектрики, що в переважній більшості є немагнітними речовинами (\(\mu=1\). Тому практично швидкість світла в речовині визначається формулою
|
|
\(v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon}}\), |
(1.2) |
де \(c=3\cdot{10}^{8}\) м/с – швидкість світла у вакуумі.
Із зміною швидкості поширення світла при переході з одного середовища в інше пов'язаний один з основних оптичних ефектів – заломлення світла. Для його описання використовують величину
|
|
\(n=\sqrt{\varepsilon}=\frac{c}{v}\), |
(1.3) |
яку називають показником заломлення, або оптичною густиною прозорої речовини. Відтак, швидкість світла в речовині визначається формулою
|
|
\(v=\frac{c}{n}\). |
(1.4) |
Оскільки частота \(\nu\) і період T не залежать від середовища, в якому поширюється хвиля, то зміна швидкості \(v\) при переході світла з вакууму в речовину супроводжується зміною довжини хвилі. У вакуумі довжина хвилі \(\lambda_{0}=cT\), а в середовищі \(\lambda=cT\), отож
|
|
\(\lambda=\frac{\lambda_0}{n}\) і \(n=\frac{\lambda_0}{\lambda}\). |
(1.5) |
Співвідношення (1.3) та (1.5) можна розглядати як означення показника заломлення.
Монохроматична світлова хвиля. В усякі електромагнітній, тож і світловій хвилі, напруженості електричного \(\vec{E}(\vec{r},t\) та магнітного \(\vec{H}(\vec{r},t)\) полів визначаються ідентичними рівняннями (див. Лекція 4.9, п. 9.1.2). При цьому у вакуумі та вільному (такому, що не містить відбиваючих поверхонь), ізотропному середовищі величини полів пов’язані між собою співвідношенням:
|
|
\(\sqrt{\varepsilon_{0}\varepsilon}E(r,t)=\sqrt{\mu_{0}\mu}H(r,t) \). |
(1.6) |
До того ж, у переважній більшості оптичних явищ роль магнітного поля є не істотною. Тому зазвичай світлову хвилю описують тільки рівнянням для електричного поля, а вектор \(\vec{E}(\vec{r},t)\) називають світловим вектором.
Для теорії велике значення мають монохроматичні світлові хвилі – ідеальні хвилі, в яких коливання полів відбувається за законом косинуса або синуса (Лекція 4.7, п. 7.2.1). Коливання світлового вектора в такій хвилі описується рівнянням
|
|
\(\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}_{0}\cos(\omega{t}-\vec{k}\cdot\vec{r}+\varphi_{0})\), |
(1.7) |
в якому:
|
|
- вектор \(\vec{E}_{0}\) визначає амплітуду E0 і напрям коливань напруженості електричного поля хвилі; |
||
|
|
- колова частота \(\omega\) (рад/с) (або лінійна частота \(\nu=\omega/2\pi\) (Гц), чи період \(T=1/\nu=2\pi/\omega\)) визначає часову циклічність змін поля хвилі в заданій точці простору; |
||
|
|
- поточна фаза \(\varphi(x,t)=\omega{t}-\vec{k}\cdot\vec{r}+\varphi_{0}\) визначає стан поля хвилі в будь-яку мит і в в будь-які точці; відповідно, початкова фаза визначає фазу в точці \(\vec{r}=0\) у момент часу t = 0; |
||
|
|
- [хвильовий вектор \(\vec{k}\) визначається виразом |
||
|
|
де \(v\) – величина швидкості, \(\vec{n}\) – одиничний вектор (орт) напрямку поширення хвилі в даній точці. Модуль хвильового вектора називають хвильовим числом; |
||
|
|
- довжина хвилі \(\lambda\) дорівнює найменшій відстані у напрямку поширення, на якій повторюється стан поля хвилів заданий момент часу; довжина хвилі є її просторовим періодом і дорівнює відстані, на яку поширюється хвиля за ча одного періоду коливань поля;
|
У випадку плоскої хвилі (Лекція 4.7, п.7.2.1) напрям поширення та амплітудний вектор \(\vec{E}_{0}\) однакові в усіх точках. Тому, спрямувавши координатну вісь у напрямку поширення, рівняння хвилі можна записати скалярно як
|
|
\(E(x,t)=E_{0}\cos(\omega{t}-kx+\varphi_{0})\), |
(1.10) |
де \(E_{0}\) – амплітуда, а \(E(x,t)\) – проекція миттєвої напруженості електричного поля \(\vec{E}\) на напрям амплітудного вектора \(\vec{E}_{0}\).
Хвильові поверхні та промені. Фазова швидкість. У загальному випадку розподіл поля та характер поширення хвилі в просторі відображають хвильові поверхні – сукупність точок, в яких миттєва фаза хвилі \(\varphi(x,t)=const\) (Лекція 4.7 п. 7.2.4). Для плоскої хвилі (1.10) вони мають форму площин перпендикулярних до напрямку поширення хвилі як показано штриховими лініями на рис. 1.1а. Для сферичних та циліндричних хвиль, які описуються рівняннями
\(E(r,t)=\frac{a}{r}\cos(\omega{t}-kr)\)
І
\(E(r,t)=\frac{a}{\sqrt{r}}\cos(\omega{t}-kr)\),
(тут r – відстань від точки, яка знаходиться на одиничній відстані від джерела, a – амплітудний множник) хвильові поверхні мають вигляд концентричних сфер або коаксіальних циліндрів (показані штриховими лініями на рис. 1.1б).
 |
Зображуючи на рисунку сімейство хвильових поверхонь для заданого моменту часу, можна отримати наочне уявлення про просторовий розподіл фаз, отже й величини поля хвилі в цей момент. У той же час, зображуючи положення хвильової поверхні в різні моменти, можна скласти уявлення про характер поширення хвилі часі. Але зазвичай для цього використовують світлові промені – лінії, дотичні до яких у кожній точці збігаються з напрямом поширення хвилі в цій точці (суцільні лінії на рис. 1.1). Із наведених прикладів видно, що в кожній точці хвиля поширюється по нормалі до хвильової поверхні, що проходить через цю точку. Тобто промені та хвильові поверхні розглянутих простих хвиль є взаємно ортогональними. В ізотропних середовищах така взаємні орієнтація зберігається і для більш складних хвиль.
Хвильові поверхні з часом перемішуються в просторі із швидкістю
|
|
\(v=\frac{\omega}{k}\), |
(1.11) |
яка називається фазовою швидкістю.
Порівнюючи вирази (1.11) та (1.8) бачимо, що для ідеальної монохроматичної хвилі фазова швидкість збігається зі швидкістю самої хвилі, тобто швидкість переміщення фази співпадає із швидкістю поширення самих коливань та швидкстю перенесення енергії. Але така хвиля є ідеалізацією. Реальна хвиля завжди характеризуться не однією частотою, а відповідним набором састот (спектром), для кожної з яких є своя фазова швидкістью Тому поширення коливань в реальних хвиялх визначається іншою, так званою, груповою швидкістю (детальніше див. Лекція 5.6).
Інтенсивність світла. Зорові відчуття людини визначаються світловою енергією, що потрапляє в око за 1 с безпосередньо від джерела, чи після відбивання від освітленої поверхні. Ця енергія залежить від інтенсивності світлової хвилі I, а інтенсивність світла в кожній точці дорівнює енергії, що переноситься за одиницю часу через одиницю площі поперечного перерізу світлового пучка. Інтенсивність світла можна виразити через показник заломлення та амплітуду світлового вектора:
|
|
\(I=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}nE_{0}^{2}\) \(\Rightarrow\) \(I~nE_{0}^{2}\). |
(1.12) |
В однорідному середовищі (n = const) розподіл інтенсивностей у просторі визначається тільки амплітудою хвилі. Тому, коли не потрібно знати абсолютні величини, замість інтенсивності оперують квадратом амплітуди світлового вектора:
|
|
\(I\thicksim{E}_{0}^{2}\). |
(1.12а) |
Зауважимо також, що завдяки співвідношенню (1.6) між полями у світловій хвилі інтенсивність можна аналогічно визначити й через амплітуду магнітного поля.