ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс
Приклади розв'язування задач
Збереження механічної енергії та імпульсу
Задача 4.28. Рухома шайба непружно стикається з нерухомою шайбою в k = 2 рази більшої маси. Визначити, яка частина η кінетичної енергії шайби перетворюється на тепло.
Задача 4.29. Дві кулі масами m1 і m2, що рухаються вздовж осі OX зі швидкостями →v1 і →v2, абсолютно пружно стикаються в лоб. Визначити швидкості куль u1 та u2 після зіткнення.
Задача 4.30. Куля, що мала швидкість v1=3м/с, після пружного зіткнення з нерухомою кулею продовжила рух у тому самому напрямі зі швидкістю u1=2м/с. Визначити відношення мас куль (m1/m2) та швидкість другої кулі u2 після зіткнення.
Задача 4.31. Дві однакові кульки, що рухались із швидкостями →v1 та →v2 під кутом α одна до одної, після пружного удару розлетілись із швидкостями →u1 та →u2. Визначити кут розльоту кульок β.
Задача 4.32. Куля масою m = 10 г, що горизонтально летить зі швидкістю v = 1000 м/с, вдаряє в центр підвішеного на шнурі дерев'яного куба, й застряє, заглибившись на d = 10 см. Відстань від точки підвісу до центра куба l = 1,5 м, його маса M = 5 кг. Визначити: 1. Максимальний кут відхилення α шнура від вертикалі та відстань S, яку при цьому проходить куб. 2. Силу F і тривалість удару τ, та відстань s, яку проходить за цей час куля.
Задача 4.33. Шматок м'якої глини масою m = 0,5 кг падає зі швидкістю v = 5 м/с на горизонтальну плиту масою M = 1 кг, що розташована на закріпленій вертикальній пружині жорсткістю k = 980 Н/м. Визначити максимальне стиснення хт пружини внаслідок удару.
Задача 4.34. Із закріпленої на залізничній платформі гармати роблять постріл удовж колії під кутом α = 60° до горизонту. Визначити відстань S, на яку відкотиться платформа, якщо коефіцієнт опору k = 0,5, відношення маси снаряду до маси платформи з гарматою η = 10–3 і швидкість вильоту снаряду v = 600 м/с.
Задача 4.35. Маленька шайба, що без тертя зісковзує з гірки висотою h = 90 см, плавно виїжджає на довгу дошку, котра лежить на гладкій горизонтальній поверхні. Визначити, на якій відстані S від краю дошки шайба зупиниться, якщо коефіцієнт тертя між нею й дошкою μ = 0,5 і відношення мас шайби й дошки η = 0,2.
Задача 4.36. Протон з кінетичною енергією W0 = 1,7·10-17 Дж при лобовому зіткненні з нерухомим атомом відбивається назад і переводить його в збуджений стан, утрачаючи при цьому η = 75% енергії. Визначити енергію збудження атома U, якщо відношення його маси M до маси протона m складає k = 4.
Задача 4.28
Рухома шайба непружно стикається з нерухомою шайбою в k = 2 рази більшої маси.
Визначити,
яка частина η кінетичної енергії шайби перетворюється на тепло.
Дано: (m2/m1) = k = 2 |
η - ? |
Розв’язання
При непружному зіткненні тіла пластично деформуються і далі рухаються як одне ціле. При цьому їхня кінетична енергія не зберігається, позаяк при пластичній деформації вона частково перетворюється на внутрішню енергію (див. п.4.6, (4.19)). Тож
W1=W2+Q, ⇒ Q=W1−W2, |
де W1, W2 – початкова та кінцева кінетична енергія шайб, Q – кількість тепла, що виділяється при зіткненні.
Якщо позначити як v початкову швидкість рухомої шайби, u – спільну швидкість шайб після зіткнення і врахувати задане відношення мас k, то шукана втрата кінетичної енергії
η=QW1=1−(k+1)(uv)2 |
(1) |
Відношення швидкостей визначається із закону збереження імпульсу:
m1v=(m1+m2)u⇒uv=1k+1 |
Відтак, урахувавши цей результат у вираз (1), отримаємо відповідь:
η =1−(k+1)v2(k+1)2v2 ⇒ η =kk+1=23. |
Варто звернути увагу на те, що частина втраченої кінетичної енергії зростає при збільшенні маси нерухомого тіла.
Дві кулі з масами m1 і m2, що рухаються вздовж осі OX зі швидкостями →v1 і →v2, абсолютно пружно стикаються в лоб.
Визначити
швидкості куль u1 та u2 після зіткнення.
Дано: m1, m2, →v1, →v2 |
u1, u2 - ? |
Розв’язання
При абсолютно пружному зіткненні тіла, не втрачають ані сумарного імпульсу, ані сумарної кінетичної енергії (рівняння (4.18)). За умовою зіткнення куль є лобовим, тобто вони рухаються по одній прямій, рис. 29. Отже, для проєкцій на вісь ОХ маємо:
m1v1x+m2v2x=m1u1x+m2u2x, |
(1) |
m1v21x2+m2v22x2=m1u21x2+m2u22x2. |
(2) |
Далі перегрупуємо ці вирази, як
m1(v1x−u1x)=m2(u2x−v2x), |
(1а) |
m1(v21x−u21x)=m2(u22x−v22x) |
(2а) |
та, згадавши формулу різниці квадратів і, поділивши рівняння (2а) на (1а), отримаємо:
|
v1x+u1x=u2x+v2x. |
|
Відтак об'єднаємо цей результат і рівняння (1а) в систему
{v1x+u1x=u2x+v2xm1(v1x−u1x)=m2(v2x−u2x), |
|
з якої знайдемо наступні вирази швидкостей куль після зіткнення:
u1x=2m2v2x+(m1−m2)v1xm1+m2, |
(3) |
u2x=2m1v1x+(m2−m1)v2xm1+m2. |
(4) |
Ці формули, на загал, відображають очевидне: величини та напрями швидкостей куль після зіткнення визначаються співвідношенням їхніх мас та величиною й напрямком початкових швидкостей. А от якими саме будуть швидкості, залежить від конкретних умов задачі.
Для прикладу розглянемо випадок, коли v2 = 0, тобто перше тіло налітає на нерухоме друге. В такому разі вирази (3) і (4) набувають вигляду:
u1x=(m1−m2)v1xm1+m2; u2x=2m1v1xm1+m2. |
(5) |
Тож маємо очевидне: u2х > 0, тобто друга куля відскочить в напрямку руху першої. Але напрям руху першої кулі після удару не є однозначним і залежить від співвідношення мас. Якщо перша куля є масивнішою (m1>m2), то u1x>0, тобто вона продовжить рух у тому самому напрямі, проте з меншою швидкістю. Відповідно, при m1<m2 перша куля після удару відскочить у зворотньому напрямі (u1x<0).
Наведені наслідки сприймаються як очевидні і пояснюються лобовим характером зіткнення. А ось при рівних масах куль (m1 = m2) із формул (3) і (4) випливає нетривіальний результат:
u1x=v2x, u2x=v1x. |
|
Отже, однакові пружні кулі при лобовому зіткненні обмінюються імпульсами та кінетичними енергіями. Зокрема, якщо одна з куль до зіткнення є нерухомою, то вона перебирає на себе увесь імпульс і енергію першої, а та зупиняється.
Куля, що мала швидкість v1=3м/с, після пружного зіткнення з нерухомою кулею продовжила рух у тому самому напрямі зі швидкістю u1=2м/с.
Визначити
відношення мас куль m1/m2 та швидкість другої кулі u2 після зіткнення.
Дано: v1 = 3 м/с u1 = 2 м/с |
m1/m2 - ? u2 - ? |
Розв’язання
Позаяк напрям першої кулі після зіткнення не змінився, воно є центральним (лобовим), і дана задача по суті є окремим випадком попередньо. Тож, увівши позначення m1/m2 = k і зробивши заміну m1 = km2, з першій формули (5) задачі 4.29 отримаємо:
u1=(k−1)v1k+1 ⇒ k=v1+u1v1−u1=5. |
|
Відтак із другої формули знайдемо швидкість:
u2=2kv1k+1=5 м/с. |
|
Дві однакові кульки, що рухались із швидкостями →v1 та →v2 під кутом α одна до одної, після пружного удару розлетілись із швидкостями →u1 та →u2.
Визначити
кут розльоту кульок β.
Дано: →v1, →v2, →u1, →u2, α
|
β - ? |
Розв’язання
Пружне зіткнення кульок відбувається із збереженням імпульсу та кінетичної енергії відповідно до рівнянь (4.18):
{m→v1+m→v2=m→u1+m→u2,mv212+mv222=mu212+mu222; ⇒ {→v1+→v2=→u1+→u2,v21+v22=u21+u22. |
(1) |
Вектори →v1+→v2 та →u1+→u2 являють собою діагоналі паралелограмів швидкостей (рис. 31), причому →v1+→v2=→u1+→u2. Отже, за теоремою косинусів маємо
v21+v22+2v1v2cos α =u21+u22+2u1u2cos β . |
|
Врахувавши друге рівняння системи (1), дістанемо:
v1v2cos α =u1u2cos β ⇒ cos β =v1v2u1u2cos α . |
|
В окремому випадку, коли одна з кульок (до прикладу, друга) перебуває в спокої, то cos β =0 і β =90∘, тобто кульки розлітаються під прямим кутом.
Куля масою m = 10 г, що горизонтально летить зі швидкістю v = 1000 м/с, вдаряє в центр підвішеного на шнурі дерев'яного куба, й застряє, заглибившись на d = 10 см. Відстань від точки підвісу до центра куба l = 1,5 м, його маса M = 5 кг.
Визначити:
1. Максимальний кут відхилення α шнура від вертикалі та відстань S, яку при цьому проходить куб.
2. Силу F і тривалість удару τ, та відстань s, яку проходить за цей час куля.
Дано:
m = 10 г
v = 1000 м/с
d = 10 см
l = 1,5 м
M = 5 кг
|
α - ?, S - ?; F - ?, τ - ?, s - ? |
Розв’язання
1. Куб відхиляється за рахунок енергії та імпульсу, отриманих при влучанні кулі. При цьому через масивність куба та велику силу опору, що діє на кулю, удар (заглиблення кулі в куб) триває дуже короткий проміжок часу, протягом якого імпульс системи куля-куб лишається практично незмінним:
mv=(m+M)u, ⇒ u=mvm+M, |
|
де u – початкова швидкість руху куба з кулею після удару.
За умовою m << M, отже, вираз u без утрати точності (похибка 0,2%) можна спростити, відкинувши у знаменнику величину m:
u=mMv = 2 м/с. |
(1) |
Подальший рух куба з кулею відбувається під дією сили тяжіння та поперечної сили натягу мотузки, що не виконує роботи. Тож відхилення куба відбувається без утрати механічної енергії, і максимальна висота h його підняття над початковим рівнем (рис. 4.32) визначається рівнянням
(m+M)u22=(m+M)gh ⇒ h=u22g, |
|
або з урахуванням виразу (1),
h = (mM)2v22g |
(2) |
Відтак можна визначити максимальний кут відхилення куба α. А саме, як зрозуміло з рис. 31,
h=l(1−cosα)=2lsin2α2, | (3) |
тож прирівнявши вирази (2) і (3), знайдемо:
sin α 2=mv2M√gl. |
Обчислення дають:
sin α 2=0,258 ⇒ α =30∘.
Пройдений при цьому кубом шлях складає:
S = lα = πl6 = 78,5 см.
2. Силу удару знайдемо через сумарну роботу А сил тертя між кубом і кулею, котра (див. задачу 4.2) визначається добутком сили тертя, що діє лише на кулю, та її переміщення відносно бруса:
A=−Fd. |
|
Згідно з (4.4), ця робота дорівнює зміні кінетичної енергії системи, отже,
(M+m)u22−mv22 = −Fd |
|
Підставивши вираз u з формули (1), після перетворень дістанемо наступний практично точний результат:
F = mv22d=5⋅104 H |
|
Отже, сила удару є дуже велика: вона дорівнює силі тиску на горизонтальну опору вантажу масою 5 т.
Тривалість удару τ теж легко оцінити, позаяк за час руху всередині куба куля майже повністю втрачає швидкість (формула (1)), так що середня швидкість кулі за час удару складає <v> = (v/2).
Отже, тривалість удару
τ=2dv = 2·10–4 c = 0,2 мс.
При цьому куб, рухаючись із середньою швидкістю (u/2), за час τ проходить шлях
s=uτ2=0,2мм .
Насамкінець відмітимо, що отримані значення τ і s переконливо доводять зроблене на початку припущення про "миттєвий" характер зіткнень тіл.
Шматок м'якої глини масою m = 0,5 кг падає зі швидкістю v = 5 м/с на горизонтальну плиту масою M = 1 кг, що розташована на закріпленій вертикальній пружині жорсткістю k = 980 Н/м.
Визначити
максимальне стиснення х пружини внаслідок удару.
Дано: m = 0,5 кг
M = 1 кг
k = 980 Н/м
v = 5 м/с
|
xm - ? |
Розв’язання
Змістовно й за алгоритмом розв'язування ця задача є аналогом попередньої. Отже, можна вважати, що прилипання глини до пластини відбувається без зміни імпульсу системи й задовольняє рівняння:
mv=(m+M)u, ⇒ u=mvm+M, |
(1) |
де u – швидкість руху плити разом з глиною одразу після.
Те саме можна сказати й про енергію: позаяк за умовою сили тертя не враховуються, в процесі стискання пружини відбувається лише перетворення кінетичної енергії на потенціальну без зміни загальної кількості.
Для наступних викладок є логічним обрати нульовий рівень гравітаційної потенціальної енергії в початковому положенні пластини (рис. 4.33), а для пружини – коли вона ще не була навантажена плитою. В такому разі початкова енергія системи W1 складається з кінетичної енергії пластини з глиною та потенціальної енергії пружини, що деформована вагою пластини на певну величину x0 = (mg/k). Тоді, врахувавши вираз (1), маємо:
W1=m2v22(m+M)+(Mg)22k. |
(2) |
В кінцевому (найнижчому) положенні енергія системи W2 складається тільки з потенціальних енергій пружини, деформованої на максимальну величину xm = x0 + x, та пластини з глиною масою M+m, що опустилися на відстань х від нульового рівня:
W2=k(x+x0)22−(m+M)gx. |
(3) |
(Знак "–" стоїть тому, що кінцева потенціальна енергія тіл є від'ємна).
За законом збереження енергії W1 = W2, тож, прирівнявши вирази (2) та (3) після спрощень отримаємо:
kx2−2mgx−(mv)2m+M=0. |
|
З цього рівняння визначаємо додаткове
x=mg+√(mg)2+k(mv)2m+Mk |
|
і повне xm=x0+x стиснення пружини:
xm=1k((m+M)g+√(mg)2+k(mv)2m+M). |
|
Обчислення дають:
хт = 8 см.
Із закріпленої на залізничній платформі гармати роблять постріл удовж колії під кутом α = 60° до горизонту.
Визначити
відстань S, на яку відкотиться платформа, якщо коефіцієнт опору μ = 0,5, відношення маси снаряду до маси платформи з гарматою η = 10–3 і швидкість вильоту снаряду v = 600 м/с.
Дано: α = 60° |
S - ? |
Розв’язання
При пострілі під кутом повний імпульс системи "платформа-снаряд" не зберігається, проте зберігається його проекція на напрям копії ОХ (див. задачу 3.5). Отже,
−Mu+mvcos α =0 ⇒ u=nvcos α , |
(1) |
де u – початкова швидкість відкочування платформи після пострілу, M і m – маси платформи з гарматою та снаряда.
Унаслідок пострілу платформа отримує кінетичну енергію W=Mu22, яку потім витрачає на роботу проти сили опору F=μmg на шляху S. Отже:
Mu22= μ mgS ⇒ S=u22 μ g. |
|
Врахувавши вираз (1), отримуємо відповідь:
S=(nvcos α )22 μ g = 9 см. |
|
Маленька шайба, що без тертя зісковзує з гірки висотою h = 90 см, плавно виїжджає на довгу дошку, котра лежить на гладкій горизонтальній поверхні.
Визначити,
на якій відстані S від краю дошки шайба зупиниться, якщо коефіцієнт тертя між нею й дошкою μ = 0,5 і відношення мас шайби й дошки η = 0,2.
Дано: h = 0,9 м
μ = 0,5
η = 0,2
|
S - ? |
Розв’язання
За умовою шайба зісковзує без тертя, отже без втрат механічної енергії. Тому,
mv22 =mgh ⇒ v=√2gh, |
(1) |
де v – швидкість шайби в момент виходу на дошку.
Ковзаючи далі по дошці, шайба під дією сили тертя гальмується, а дошка, навпаки, прискорюється. Внаслідок цього через певний час їхні швидкості зрівняються, і ковзання шайби по дошці припиниться. Рух шайби й дошки відбувається із збереженням імпульсу системи, позаяк зовнішні сили тяжіння та реакції опори є компенсовані. Це дозволяє визначити кінцеву швидкість дошки з шайбою u:
mv=(m+M)u ⇒ u=mvm+M ⇒ u=nv1+n. |
(2) |
Ковзання шайби по дошці супроводжується зміною кінетичної енергії системи, рівною сумарній роботі сил тертя:
(m+M)u22− mv22=Aт. |
(3) |
Згідно з результатом задачі 4.2,(формула (2)), ця сумарна робота дорівнює добутку сили тертя, що діє на шайбу, на її переміщення відносно дошки: Aт=− μ mg. Після підстановки цього виразу й виразу (2) в рівняння (3) та елементарних перетворень отримаємо:
S=v22(1+n) μ g, |
|
або, з урахуванням виразу (1),
S=h(1+n) μ =1,5 м. |
|
Протон з кінетичною енергією W0 = 1,7·10-17 Дж при лобовому зіткненні з нерухомим атомом відбивається назад і переводить його в збуджений стан, утрачаючи при цьому η = 75% енергії.
Визначити
енергію збудження атома U, якщо відношення його маси M до маси протона m складає k = 4.
Дано: W0 = 1,7·10-17 Дж
η = 75%
k = 4
|
U - ? |
Розв’язання
При зіткненні втрачена протоном енергія
W=ηW0
передається атому у формі кінетичної енергії Wа, а решта переходить у внутрішню енергію атома (енергію збудження U):
ηW0 = Wа + U ⇒ U = ηW0 – Wа.
Зіткнення протона з атомом відбувається із збереженням імпульсу. Тому в записаному співвідношенні величину Wа є доцільно виразити через імпульс pa і масу M атома:
U=ηW0−p2a2M |
(1) |
За законом збереження імпульсу (3.3) з урахуванням напрямків (рис. 36)
p0 = –p + ра ⇒ pa=32p0,
де взято до уваги, що кінцевий імпульс протона р дорівнює половині початкового, бо за умовою після зіткнення у нього лишається чверть початкової кінетичної енергії. В такому разі, згідно з виразом (1) і заданим співвідношенням мас M = km, після елементарних перетворень отримуємо наступну відповідь:
U=(η−94k)W0≈3,2⋅10−18Дж.