ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс

Приклади розв'язування задач

Збереження механічної енергії та імпульсу

 

Задача 4.28. Рухома шайба непружно стикається з нерухомою шайбою в k = 2 рази більшої маси. Визначити, яка частина η кінетичної енергії шайби перетворюється на тепло.

Задача 4.29. Дві кулі масами m1 і m2, що рухаються вздовж осі OX зі швидкостями v1 і v2, абсолютно пружно стикаються в лоб. Визначити швидкості куль  u1 та u2 після зіткнення.

Задача 4.30. Куля, що мала швидкість v1=3м/с, після пружного зіткнення з нерухомою кулею продовжила рух у тому самому напрямі зі швидкістю u1=2м/с. Визначити відношення мас куль (m1/m2) та швидкість другої кулі u2 після зіткнення.

Задача 4.31. Дві однакові кульки, що рухались із швидкостями v1 та v2 під кутом α одна до одної, після пружного удару розлетілись із швидкостями u1 та u2. Визначити кут розльоту кульок β.

Задача 4.32. Куля масою m = 10 г, що горизонтально летить зі швидкістю v = 1000 м/с, вдаряє в центр підвішеного на шнурі дерев'яного куба, й застряє, заглибившись на  d = 10 см. Відстань від точки підвісу до центра куба l = 1,5 м, його маса M = 5 кг. Визначити: 1. Максимальний кут відхилення α  шнура від вертикалі та відстань S, яку при цьому проходить куб. 2. Силу F  і тривалість удару τ, та відстань s, яку проходить за цей час куля.

 Задача 4.33. Шматок м'якої глини масою m = 0,5 кг падає зі швидкістю v = 5 м/с на горизонтальну плиту масою M = 1 кг, що розташована на закріпленій вертикальній пружині жорсткістю k = 980 Н/м.  Визначити максимальне стиснення хт пружини внаслідок удару.

Задача 4.34. Із закріпленої на залізничній платформі гармати роблять постріл удовж колії під кутом α = 60° до горизонту. Визначити відстань S, на яку відкотиться платформа, якщо коефіцієнт опору k = 0,5, відношення маси снаряду до маси платформи з гарматою η = 10–3 і швидкість вильоту снаряду v = 600 м/с.

 Задача 4.35. Маленька шайба, що без тертя зісковзує з гірки висотою h = 90 см, плавно виїжджає  на довгу дошку, котра лежить на гладкій горизонтальній поверхні. Визначити, на якій відстані S від краю дошки шайба зупиниться, якщо коефіцієнт тертя між нею й дошкою μ = 0,5 і відношення мас шайби й дошки η = 0,2.

Задача 4.36.  Протон з кінетичною енергією W0 = 1,7·10-17 Дж при лобовому зіткненні з нерухомим атомом відбивається назад і переводить його в збуджений стан, утрачаючи при цьому η = 75% енергії. Визначити енергію збудження атома U, якщо відношення його маси M до маси протона m складає k = 4.

Задача 4.28

Рухома шайба непружно стикається з нерухомою шайбою в k = 2 рази більшої маси.

Визначити,

яка частина η кінетичної енергії шайби перетворюється на тепло.

Дано:

(m2/m1) = k = 2

η - ?

Розв’язання

При непружному зіткненні тіла пластично деформуються і далі рухаються як одне ціле. При цьому їхня кінетична енергія не зберігається, позаяк при пластичній деформації вона частково перетворюється на внутрішню енергію (див. п.4.6, (4.19)). Тож

W1=W2+Q, Q=W1W2,

де W1, W2 – початкова та кінцева кінетична енергія шайб, Q – кількість тепла, що виділяється при зіткненні.

Якщо позначити як v початкову швидкість рухомої шайби, u – спільну швидкість шайб після зіткнення і врахувати задане відношення мас k, то шукана втрата кінетичної енергії

η=QW1=1(k+1)(uv)2

(1)

Відношення швидкостей визначається із закону збереження імпульсу:

m1v=(m1+m2)uuv=1k+1

Відтак, урахувавши цей результат у вираз (1), отримаємо відповідь:

 η =1(k+1)v2(k+1)2v2           η =kk+1=23.

Варто звернути увагу на те, що частина втраченої кінетичної енергії зростає при збільшенні маси нерухомого тіла.

 

Задача 4.29

Дві кулі з масами m1 і m2, що рухаються вздовж осі OX зі швидкостями v1 і v2, абсолютно пружно стикаються в лоб. 

Визначити

швидкості куль u1 та u2 після зіткнення.

Дано:

m1, m2v1,  v2 

u1, u2 - ?

Розв’язання

При абсолютно пружному зіткненні тіла, не втрачають  ані сумарного імпульсу, ані сумарної кінетичної енергії (рівняння (4.18)). За умовою зіткнення куль є лобовим, тобто вони рухаються по одній прямій, рис. 29. Отже, для проєкцій на вісь ОХ маємо:

m1v1x+m2v2x=m1u1x+m2u2x,

(1)

m1v21x2+m2v22x2=m1u21x2+m2u22x2.

(2)

Далі перегрупуємо ці вирази, як

m1(v1xu1x)=m2(u2xv2x),

(1а)

m1(v21xu21x)=m2(u22xv22x)

(2а)

та, згадавши формулу різниці квадратів і, поділивши рівняння (2а) на (1а),  отримаємо:

 

v1x+u1x=u2x+v2x.

 

Відтак  об'єднаємо цей результат і рівняння (1а) в систему

{v1x+u1x=u2x+v2xm1(v1xu1x)=m2(v2xu2x),

 

з якої знайдемо наступні вирази швидкостей куль після зіткнення:

u1x=2m2v2x+(m1m2)v1xm1+m2,

(3)

u2x=2m1v1x+(m2m1)v2xm1+m2.

(4)

Ці формули, на загал, відображають очевидне: величини та напрями швидкостей куль після зіткнення  визначаються співвідношенням їхніх мас  та величиною й напрямком початкових швидкостей. А от якими саме будуть швидкості, залежить від конкретних умов задачі.

Для прикладу розглянемо випадок, коли v2 = 0, тобто перше тіло налітає на нерухоме друге. В такому разі вирази (3) і (4) набувають вигляду:

u1x=(m1m2)v1xm1+m2;      u2x=2m1v1xm1+m2.

(5)

Тож маємо очевидне: u2х > 0, тобто друга куля відскочить в напрямку руху першої. Але напрям руху першої кулі після удару не є однозначним і залежить від співвідношення мас. Якщо перша куля є масивнішою (m1>m2), то u1x>0, тобто вона продовжить рух у тому самому напрямі, проте з меншою швидкістю. Відповідно, при  m1<m2 перша куля після удару відскочить у зворотньому напрямі (u1x<0).

Наведені наслідки сприймаються як очевидні і пояснюються лобовим характером зіткнення. А ось при рівних масах куль (m1 = m2)  із формул (3) і (4) випливає  нетривіальний результат:

u1x=v2x,      u2x=v1x.

 

Отже, однакові пружні кулі при лобовому зіткненні обмінюються імпульсами та кінетичними енергіями. Зокрема, якщо одна з куль до зіткнення є нерухомою, то вона перебирає на себе увесь імпульс і енергію першої, а та зупиняється.

 

 

Задача 4.30

Куля, що мала швидкість v1=3м/с, після пружного зіткнення з нерухомою кулею продовжила рух у тому самому напрямі зі швидкістю u1=2м/с.

Визначити 

відношення мас куль m1/m2 та швидкість другої кулі u2 після зіткнення.

Дано:

v1 = 3 м/с

u1 = 2 м/с 

m1/m2 - ?

u2 - ?

Розв’язання

Позаяк напрям першої кулі після зіткнення не змінився, воно є центральним (лобовим), і дана задача по суті є окремим випадком попередньо. Тож, увівши позначення m1/m2 = і зробивши заміну m1 = km2, з першій формули (5) задачі 4.29 отримаємо:

u1=(k1)v1k+1                k=v1+u1v1u1=5.

 

Відтак із другої формули знайдемо швидкість:

u2=2kv1k+1=5 м/с.

 

 

 

Задача 4.31

Дві однакові кульки, що рухались із швидкостями v1 та v2 під кутом α одна до одної, після пружного удару розлетілись із швидкостями u1 та u2.

Визначити

кут розльоту кульок β.

Дано:

v1, v2, u1, u2, α 

β - ?

Розв’язання

Пружне зіткнення кульок відбувається із збереженням імпульсу та кінетичної енергії відповідно до рівнянь (4.18):

{mv1+mv2=mu1+mu2,mv212+mv222=mu212+mu222;    {v1+v2=u1+u2,v21+v22=u21+u22.

(1)

Вектори v1+v2 та u1+u2 являють собою діагоналі паралелограмів швидкостей (рис. 31), причому v1+v2=u1+u2. Отже, за теоремою косинусів маємо

v21+v22+2v1v2cos α =u21+u22+2u1u2cos β .

 

Врахувавши друге рівняння системи (1), дістанемо:

v1v2cos α =u1u2cos β                 cos β =v1v2u1u2cos α  .

 

В окремому випадку, коли одна з кульок (до прикладу, друга) перебуває в спокої, то cos β =0  і   β =90, тобто кульки розлітаються під прямим кутом.

 

 

Задача 4.32

Куля масою m = 10 г, що горизонтально летить зі швидкістю v = 1000 м/с, вдаряє в центр підвішеного на шнурі дерев'яного куба, й застряє, заглибившись на  d = 10 см. Відстань від точки підвісу до центра куба l = 1,5 м, його маса M = 5 кг.

Визначити:

1. Максимальний кут відхилення α  шнура від вертикалі та відстань S, яку при цьому проходить куб.

2. Силу F  і тривалість удару τ, та відстань s, яку проходить за цей час куля.


 

Дано:

m = 10 г
v = 1000 м/с
d = 10 см
l = 1,5 м
M = 5 кг

α - ?,  S - ?;

F - ?, τ - ?, s - ? 

Розв’язання

1. Куб відхиляється за рахунок енергії та імпульсу, отриманих при влучанні кулі.  При цьому через масивність куба та велику силу опору, що діє на кулю, удар (заглиблення кулі в куб) триває дуже короткий проміжок часу, протягом якого  імпульс системи куля-куб лишається практично незмінним:

mv=(m+M)u,                u=mvm+M,

 

де u – початкова швидкість руху куба з кулею після удару.

За умовою m << M, отже, вираз u без утрати точності (похибка 0,2%) можна спростити, відкинувши  у знаменнику величину m:

u=mMv = 2 м/с.

(1)

 

Подальший рух куба з кулею відбувається під дією сили тяжіння та  поперечної сили натягу мотузки, що не виконує роботи. Тож відхилення куба відбувається без утрати механічної енергії, і максимальна висота h його підняття над початковим  рівнем (рис. 4.32) визначається рівнянням

(m+M)u22=(m+M)gh                h=u22g,

 

або з урахуванням виразу (1),

 h = (mM)2v22g

(2)

Відтак можна визначити максимальний кут відхилення куба α.  А саме, як зрозуміло з рис. 31,

h=l(1cosα)=2lsin2α2, (3)

тож прирівнявши вирази (2) і (3), знайдемо:

sin α 2=mv2Mgl.

Обчислення дають:

sin α 2=0,258            α =30.

Пройдений при цьому кубом шлях складає:

S = lα = πl6 = 78,5 см.

2.  Силу удару знайдемо через сумарну роботу А сил тертя між кубом і кулею, котра (див. задачу 4.2) визначається добутком сили тертя, що діє лише на кулю, та її переміщення відносно бруса:

A=Fd.

 

Згідно з (4.4), ця робота дорівнює зміні кінетичної енергії системи, отже,

(M+m)u22mv22 = Fd

 

Підставивши вираз u з формули (1), після перетворень дістанемо наступний практично точний результат:

F = mv22d=5104 H

 

Отже, сила удару є дуже велика: вона дорівнює силі тиску на горизонтальну опору вантажу масою 5 т.

Тривалість удару τ теж легко оцінити, позаяк за час руху всередині куба куля майже повністю втрачає швидкість (формула (1)), так що середня швидкість кулі  за час удару  складає <v> = (v/2).

Отже, тривалість удару

τ=2dv = 2·10–4 c = 0,2 мс.

При цьому куб, рухаючись із середньою швидкістю (u/2), за час τ проходить шлях

s=uτ2=0,2мм .

Насамкінець відмітимо, що отримані значення τ і s переконливо доводять зроблене на початку припущення про "миттєвий" характер зіткнень тіл.


Задача 4.33

Шматок м'якої глини масою m = 0,5 кг падає зі швидкістю v = 5 м/с на горизонтальну плиту масою M = 1 кг, що розташована на закріпленій вертикальній пружині жорсткістю k = 980 Н/м.  

Визначити 

максимальне стиснення х пружини внаслідок удару.

 

Дано:

m = 0,5 кг
M = 1 кг
k = 980 Н/м
v = 5 м/с

xm - ?

Розв’язання

Змістовно й за алгоритмом розв'язування  ця задача є аналогом попередньої. Отже, можна вважати, що прилипання глини до пластини відбувається  без зміни імпульсу системи й задовольняє рівняння:

mv=(m+M)u,                u=mvm+M,

(1)

де u – швидкість руху плити разом з глиною одразу після.                                                                              

Те саме можна сказати й про енергію: позаяк за умовою сили тертя не враховуються, в процесі стискання пружини відбувається лише перетворення кінетичної енергії на потенціальну без зміни загальної кількості.

Для наступних викладок є логічним обрати нульовий рівень гравітаційної потенціальної енергії в початковому положенні пластини (рис. 4.33), а для пружини – коли вона ще не була навантажена плитою. В такому разі початкова енергія системи W1 складається з кінетичної енергії пластини з глиною та потенціальної енергії пружини, що деформована вагою пластини на певну величину x0 = (mg/k). Тоді, врахувавши вираз (1), маємо:

W1=m2v22(m+M)+(Mg)22k.

(2)

В кінцевому (найнижчому) положенні  енергія системи W2 складається тільки з потенціальних енергій пружини, деформованої на максимальну величину xm = x0 + x, та пластини з глиною масою M+m, що опустилися на відстань х від нульового рівня:

W2=k(x+x0)22(m+M)gx.

(3)

(Знак "–" стоїть тому, що кінцева потенціальна енергія тіл є від'ємна).

За законом збереження енергії W1 = W2, тож, прирівнявши вирази (2) та (3) після спрощень отримаємо:

kx22mgx(mv)2m+M=0.

 

З цього рівняння визначаємо додаткове

x=mg+(mg)2+k(mv)2m+Mk

 

і повне xm=x0+x стиснення пружини:

xm=1k((m+M)g+(mg)2+k(mv)2m+M).

 

Обчислення дають:

хт = 8 см.

 

 

Задача 4.34

Із закріпленої на залізничній платформі гармати роблять постріл удовж колії під кутом α = 60° до горизонту.

Визначити

відстань S, на яку відкотиться платформа, якщо коефіцієнт опору μ = 0,5, відношення маси снаряду до маси платформи з гарматою η = 10–3 і швидкість вильоту снаряду v = 600 м/с.

Дано:

α = 60°
μ = 0,5
η = 10–3
v = 600 м/с

S - ?

Розв’язання

При пострілі під кутом повний імпульс системи "платформа-снаряд" не зберігається, проте зберігається його проекція на напрям  копії ОХ (див. задачу 3.5). Отже,

Mu+mvcos α =0                u=nvcos α ,

(1)

де u – початкова швидкість відкочування платформи після пострілу, M і m – маси платформи з гарматою та снаряда.

Унаслідок пострілу платформа отримує кінетичну енергію W=Mu22, яку потім витрачає на роботу проти сили опору F=μmg на шляху S. Отже:

Mu22= μ mgS                S=u22 μ g.

 

Врахувавши вираз (1), отримуємо відповідь:

S=(nvcos α )22 μ g = 9 см.

 

Задача 4.35.

Маленька шайба, що без тертя зісковзує з гірки висотою h = 90 см, плавно виїжджає  на довгу дошку, котра лежить на гладкій горизонтальній поверхні.

Визначити,

на якій відстані S від краю дошки шайба зупиниться, якщо коефіцієнт тертя між нею й дошкою μ = 0,5 і відношення мас шайби й дошки η = 0,2.

Дано:

h = 0,9 м
μ = 0,5
η = 0,2

S - ?

Розв’язання

За умовою шайба зісковзує без тертя, отже без втрат механічної енергії. Тому,

mv22 =mgh                v=2gh,

(1)

де v – швидкість шайби в момент виходу на дошку.

Ковзаючи далі по дошці, шайба під дією сили тертя гальмується, а дошка, навпаки, прискорюється. Внаслідок цього через певний час їхні швидкості зрівняються, і ковзання шайби по дошці припиниться. Рух шайби й дошки відбувається із збереженням імпульсу системи, позаяк зовнішні сили тяжіння та реакції опори є компенсовані. Це дозволяє визначити кінцеву швидкість дошки з шайбою u:

mv=(m+M)u                u=mvm+M                 u=nv1+n.

(2)

Ковзання шайби по дошці супроводжується зміною кінетичної енергії системи, рівною сумарній роботі сил тертя:

(m+M)u22 mv22=Aт.

(3)

Згідно з результатом задачі 4.2,(формула (2)), ця сумарна робота дорівнює добутку сили тертя, що діє на шайбу, на її переміщення відносно дошки: Aт= μ mg. Після підстановки цього виразу й виразу (2) в рівняння (3) та елементарних перетворень отримаємо:

S=v22(1+n) μ g,

 

або, з урахуванням виразу (1),

S=h(1+n) μ =1,5 м.

 

 

 

Задача 4.36.

Протон з кінетичною енергією W0 = 1,7·10-17 Дж при лобовому зіткненні з нерухомим атомом відбивається назад і переводить його в збуджений стан, утрачаючи при цьому η = 75% енергії.

Визначити 

енергію збудження атома U, якщо відношення  його маси M до маси протона m складає k = 4.

Дано:

W0 = 1,7·10-17 Дж
η = 75%
k = 4

U - ?

Розв’язання

При зіткненні втрачена протоном  енергія

W=ηW0

передається атому у формі кінетичної енергії Wа, а решта переходить у внутрішню енергію атома (енергію збудження U):

 ηW0 = Wа + U           U = ηW0 – Wа.

Зіткнення протона з атомом відбувається із збереженням імпульсу. Тому в записаному співвідношенні величину Wа є доцільно виразити через імпульс pa і масу M атома:

U=ηW0p2a2M

(1)

 За законом збереження імпульсу (3.3) з урахуванням напрямків (рис. 36)

p0 = –p + ра        pa=32p0,

де взято до уваги, що кінцевий імпульс протона р дорівнює половині початкового, бо за умовою після зіткнення у нього лишається чверть початкової кінетичної енергії. В такому разі, згідно з виразом (1) і заданим співвідношенням мас M = km, після елементарних перетворень отримуємо наступну відповідь:

U=(η94k)W03,21018Дж.