physics.zfftt.kpi.ua

Задача 1.23. Двоє байкерів рухаються однією прямою дорогою відповідно до рівнянь: \( {x}_{1}={8t} \) і \( {x}_{2}=14+0,5t^{2}\). 1. Проаналізувати рух і показати графіки координат байкерів x(t). 2. Визначити: а) час t та місце зустрічі байкерів (відстань L від початку координат);  б) час τ, за який байкери подолають однаковий шлях і знайти його величину S.

Задача 1.24. Два тіла з однакової висоті над землею кинуто горизонтально у протилежних напрямах зі швидкостями \( {v}_{01}={4} \) м/с і \( {v}_{02}={9}\) м/с. Визначити, через який час t вектори швидкостей тіл стануть взаємно перпендикулярними.

Задача 1.25. З однієї точки одночасно і з однаковою швидкістю \( {v}\) = 20 м/с кидають вгору два тіла: одне вертикально, а інше – під кутом \( \alpha=50^{\circ}\) до горизонту. Визначити відстань L між тілами через час t = 0,5 c після початку руху.

Двоє байкерів рухаються однією прямою дорогою відповідно до рівнянь: \( {x}_{1}={8t} \) і \( {x}_{2}=14+0,5t^{2}\). 

1. Проаналізувати рух і показати графіки координат байкерів x(t).

2. Визначити:

а) час t та місце зустрічі байкерів (відстань L від початку координат); 

б) час τ, за який байкери подолають однаковий шлях і знайти його величину S.

Розв'язання

1. З умови випливає, що перший байкер рухається із сталою швидкістю v₁ = 8 м/с і при t = 0 знаходиться в початку координат. Одночасно другий байкер, перебуваючи попереду на відстані  x₂₀ = 14 м, починає рухатись  у тому самому напрямі з прискоренням a₂ = 1 м/с².

Для аналізу подальшого руху байкерів випишемо у загальному вигляді рівняння їхніх координат (1.16):

$\begin{align}  & {{x}_{1}}={{v}_{1}}t \\ & {{x}_{2}}={{x}_{20}}+\frac{{{a}_{2}}{{t}^{2}}}{2} \\\end{align}$

Відтак, наклавши умову x₂ = x₁, отримаємо рівняння, що визначає можливі моменти зустрічі байкерів:

Із виразу коренів цього рівняння

$ t=\frac{{{v}_{1}}\pm \sqrt{v_{1}^{2}-2{{a}_{2}}{{x}_{20}}}}{{{a}_{2}}}$

випливає, що на загал є три можливості:

1) $v_{1}^{2}<2{{a}_{2}}{{x}_{20}}$ корені не існують, тобто байкери взагалі не зустрінуться;

2) $v_{1}^{2}=2{{a}_{2}}{{x}_{20}}$ – байкери зустрінуться в момент t₀ = v₁/a₂;

3) $v_{1}^{2}>2{{a}_{2}}{{x}_{20}}$ – відбудеться дві зустрічі.

Сказане ілюструє рис. 23, на якому зображено графік  x₂(t), що являє гілку параболи з вершиною на осі ординат і три промені – графіки x₁(t) для випадків 1), 2) і 3), починаючи з нижнього.

Проаналізуємо  за графіками рух байкерів у кожному з наведених випадків, узявши до уваги, що відстань між байкерами визначається різницею ординат х, а швидкість руху – нахилом графіків до осі абсцис t (див. п. 1.4). Тож, як видно, в кожному випадку перший байкер спочатку наздоганяє другого, а від моменту, коли їхні швидкості порівнюються, – відстає. При цьому:

–  за малої швидкості v₁ (випадок 1) перший байкер починає відставати, ще не діставшись точки старту другого, тож ніколи його не наздожене;

–  у випадку 2 перший байкер у момент t₀ і в точці х₀ наздоганяє другого, але відразу починає відставати;

2а. При заданих значеннях  v₁ = 8 м/с,  x₂₀ = 14 м і a₂ = 1 м/с² виконується умова 3), і корені рівняння (1) становлять t₁ = 2 c, t₂ = 14 c. Отже, байкери зустрічаються  двічі – через 2 с та 14 с після старту другого і, згідно із заданими в умові рівняннями, на відстані L₁ = 16 м і  L₂ = 112 м від початку координат.  

2б. Пройдений кожним байкером шлях дорівнює зміні його координати. Тож, поклавши в заданих умовою задачі рівняннях  х₁ = х₂ = S і t = τ , отримаємо:

$\left\{ \begin{align}  & S=8\tau  \\ & S=0,5{{\tau }^{2}} \\\end{align} \right.\quad \Rightarrow \quad \tau =16\text{ c;}\quad S=128\text{ }\text{м.}$

Два тіла з однакової висоті над землею кинуто горизонтально у протилежних напрямах зі швидкостями \( {v}_{01}={4} \) м/с і \( {v}_{02}={9}\) м/с. 

Визначити,

через який час t вектори швидкостей тіл стануть взаємно перпендикулярними.

Розв'язання

Умова задачі містить інформацію про початкові та кінцеві швидкості двох тіл, які одночасно починають рух із однаковим прискоренням \( \vec{g}\). Тож шуканий час  можна знайти за допомогою рівнянь  (1.14):

\( \vec{v}_{1}(t)=\vec{v}_{01}+\vec{g}{t}\),

 \( \vec{v}_{2}(t)=\vec{v}_{02}+\vec{g}{t}\)

одним із двох способів.

І спосіб. Згадаємо, що скалярний добуток векторів \( \vec{b}\) і \( \vec{c}\) визначається як \( \vec{b}\cdot\vec{c}=b{c}\cos\alpha \), де \( \alpha \) – кут між векторами. Для взаємно перпендикулярних векторів  він дорівнює нулю, отже:

\( \vec{v}_{1}(t)\vec{v}_{2}(t)=\left(\vec{v}_{01}+\vec{g}t\right)\left(\vec{v}_{02}+\vec{g}t\right){=}\)

\( {=}\vec{v}_{01}\vec{v}_{02}+\vec{v}_{01}\vec{g}t+\vec{v}_{02}\vec{g}t+\vec{g}t\vec{g}{t}={0}\).

За умовою задачі кут між векторами \( \vec{v}_{01}\) та \( \vec{v}_{02}\) дорівнює \( {\pi}\). Отже,

\( \vec{v}_{01}\vec{v}_{02}=-v_{01}{v}_{02}\).

При цьому кути між векторами \( \vec{v}_{01}\) і \( \vec{g}\) та  \( \vec{v}_{02}\) і \( \vec{g}\) дорівнюють \( \pi{/2}\), тому\( \vec{v}_{01}\vec{g}=\vec{v}_{02}\vec{g}={0}\).

Крім того, скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля: \( \vec{g}\cdot\vec{g}=g^{2}\). Таким чином,

\( \vec{v}_{1}\vec{v}_{2}=-v_{01}{v}_{02}+g^{2}t^{2}={0}\),

і

\( {t}=\frac{\sqrt{v_{01}v_{02}}}{g}={0,6}\) c.

ІІ спосіб. Оскільки вектори \( \vec{v}_{01},\,\vec{v}_{02}\) (див. рис. 23) є перпендикулярні до вектора \( \vec{g}\), то для швидкостей тіл у будь-який момент часу (див. рис. 23) можна записати:

З іншого боку, позаяк за умовою вектори \( \vec{v}_{1}\) і \( \vec{v}_{2} \) (рис. 23б) є взаємно перпендикулярні, то

\( {v}_{1}^{2}+v_{2}^{2}=(v_{01}+v_{02})^{2}\).

Підставивши сюди вирази (1), дістанемо:

\( {v}_{01}^{2}+2(gt)^{2}+v_{02}^{2}=v_{01}^{2}+2v_{01}v_{01}+v_{02}^{2}\)       \( \Rightarrow \)     

\( {gt}=\sqrt{v_{01}v_{02}}\)       \( \Rightarrow \)       \( {t}=\frac{\sqrt{v_{01}v_{02}}}{g}={0,6}\) c.

З однієї точки одночасно і з однаковою швидкістю \( {v}\) = 20 м/с кидають вгору два тіла: одне вертикально, а інше – під кутом \( \alpha=50^{\circ}\) до горизонту. 

Визначити

відстань L між тілами через час t = 0,5 c після початку руху.

Розв'язання

Залежно від вибору системи відліку, задачу можна розв'язати двома способами.

І спосіб. Оберемо координатну систему XOY з початком у точці кидання (рис. 24), в якій початкові координати обох тіл дорівнюють нулю, а проєкції початкових швидкостей \( {v}_{1x}={0}\), \( {v}_{1y}={v}\) і  \( {v}_{2x}=v\cos\alpha\),  \( {v}_{2y}=v\sin\alpha \). Координати тіл на момент часу t визначаються рівняннями (1.16а):

Відстань між двома точками через їхні координати виражається формулою:

\( {L}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\).

Тож, підставивши сюди вирази (1) для координат, після простих перетворень отримаємо:

$L=vt\sqrt{{{\cos }^{2}}\alpha +{{\left( \sin \alpha -1 \right)}^{2}}}=vt\sqrt{2\left( 1-\sin \alpha  \right)}$

Обчислення дають

L = 6,84 м.

ІІ спосіб. Пов'яжемо з першим тілом рухому систему відліку, швидкість V якої відносно нерухомої (земна поверхня) складає \( \vec{V}\) = \( \vec{v}_{1}\).  Тоді швидкість другого тіла відносно першого (швидкість в  рухомій системі відліку) визначається  формулою (1.11а):

Отже, позаяк прискорення тіл однакові, їхній відносний рух є рівномірним прямолінійним, і відстань між ними змінюється з часом, як

 Величину $u=\left| {{{\vec{v}}}_{02}}-{{{\vec{v}}}_{01}} \right|$ знайдемо за теоремою косинусів (див. рис. 24):

\( {u}=\sqrt{v^{2}+v^{2}-2vv\cos^{2}\beta}\) =  v\(\sqrt{2\left( 1-\cos \beta  \right)}\) = \( {L}=vt\sqrt{2(1-\sin\alpha)}\).