ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс: 1.1. Основні поняття та величини кінематики

ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс

◄ Предыдущая: 1. Теоретичні відомості. Следующая: 1.2. Відносність руху ►

Розділ І. КІНЕМАТИКА

1.1. Основні поняття та величини кінематики

Основні поняття й величини кінематики кількісно характеризують просторове положення та рух тіла.

Положення точки у просторі задається її радіус-вектором або координатами, зміна положення — траєкторією, шляхом і переміщенням, а сам процес руху — швидкістю та прискоренням.

Радіус-вектор $ \vec{r} $ – це вектор проведений з початку відліку в дану точку. Радіус-вектор визначає положення рухомої точки (тіла) в даний момент часу. Координати точки є проєкціями радіус-вектора на осі координат (рис.1.1):

r_x = x; r_y = y.

Траєкторією називається неперервна лінія у просторі, вздовж якої рухається матеріальна точка. Можна також сказати, що траєкторія – це лінія, яку описує кінець радіус-вектора рухомої точки (рис.1.2). Довжина відрізка траєкторії між заданими двома точками називається шляхом S, пройденим тілом за відповідний проміжок часу. Шлях є скалярною додатньою величиною, що в процесі руху невпинно зростає.

Переміщення $ \Delta\vec{r} $ – це вектор, проведений з початкового (1) у кінцеве (2) положення тіла, рис.1.2. Переміщення визначає зміну положення тіла в просторі за заданий проміжок часу. На відміну від шляху, величина (модуль) переміщення в процесі руху може як збільшуватися, так і лишатися незмінним, або зменшуватись.

Із рис. 1.2 видно, що переміщення дорівнює зміні радіус-вектора, а його проєкції є змінами координат рухомої точки:

$ \Delta\vec{r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1} $.

(1.1)

$ \Delta{r}_{x}=x_{2}-x_{1}=\Delta{x} $;

$ \Delta{r}_{y}=y_{2}-y_{1}=\Delta{y} $.

(1.1а)

Середня швидкість переміщення $ \langle{\vec{v}}\rangle $, або вектор середньої швидкості, – це відношення переміщення $ \Delta\vec{r} $ до проміжку часу Δt = t₂ – t₁, за який воно відбулося:

$ \langle{\vec{v}}\rangle=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta{t}}$.

(1.2)

Модуль вектора середньої швидкості дорівнює:

$ \left|\langle\vec{v}\rangle\right|=\frac{\left|\Delta\vec{r}\right|}{\Delta{t}} $.

(1.2а)

Напрям вектора $ \langle\vec{v}\rangle $ збігається з напрямом вектора $ \Delta\vec{r} $.

Середня шляхова швидкість (або просто середня швидкість) $ \langle{v}\rangle $ це відношення шляху S до проміжку часу його проходження Δt:

$ \langle{v}\rangle=\frac{S}{\Delta{t}} $.

(1.3)

Середні швидкості (1.2) і (1.3) не містять інформації про стан руху тіла в кожен момент часу (або в кожній точці траєкторії). Таку інформацію містить миттєва швидкість.

Миттєва швидкість $ \vec{v}$ (у контексті вектор швидкості, або просто швидкість) – це границя відношення переміщення $ \Delta\vec{r} $ до відповідного проміжку часу Δt при його необмеженому зменшенні. Іншими словами

миттєва швидкість є похідною радіус-вектора рухомої точки по часу:

$ \vec{v}=\underset{\Delta t\to{0}}\lim\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta{t}}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\equiv {\vec{r}}^{\prime}{(t)}$.

(1.4)

(Примітка. Тут наведені два прийняті позначення похідної функції f(t): f′(t) і df/dt; те ж саме стосується й другої похідної: f″(t) та ${{{d}^{2}}f}/{d{{t}^{2}}}\;$).

Можна сказати, що миттєва швидкість дорівнює відношенню гранично малого переміщення $d\vec{r}$ точки до відповідного гранично малого проміжку часу dt. Тому вектор швидкості $ \vec{v}$ завжди є спрямований вздовж дотичної до траєкторії (рис. 1.2).

Проєкції швидкості на координатні осі є похідними відповідних координат по часу:

$ {v}_{x}=x^{\prime}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$;

$ {v}_{y}=y^{\prime}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$.

(1.4a)

У довільному русі швидкість точки неперервно змінюється як за величиною, так і за напрямом . Мірою такої зміни є середнє та миттєве прискорення.

Середнє прискорення $ \langle\vec{a}\rangle $ – то є відношення зміни вектора швидкості $ \Delta\vec{v}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1} $ до проміжку часу $ \Delta{t} $, за який сталася ця зміна:

$ \langle\vec{a}\rangle=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta{t}}$

(1.5)

Миттєве прискорення є точною характеристикою зміни вектора швидкості в кожен момент часу і визначається аналогічно до миттєвої швидкості:

$ \vec{a}=\underset{\Delta t\to{0}}\lim\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta{t}}=\vec{v}^{\prime}(t)=\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t}$

(1.6а)

або

$ \vec{a}=\vec{r}^{\prime\prime}(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}\vec{r}}{\mathrm{d}t^{2}}$.

(1.6б)

Іншими словами,

миттєве прискорення є першою похідною вектора швидкості або другою похідною радіус-вектора по часу.

Проєкції вектора прискорення на осі координат визначаються аналогічно через проєкції швидкості та координат точки:

${{a}_{x}}={{{v}'}_{x}}(t)=\frac{d{{v}_{x}}}{dt}$

${{a}_{y}}={{{v}'}_{y}}(t)=\frac{d{{v}_{y}}}{dt}$

(1.7)

${{a}_{x}}={x}''(t)=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}$

${{a}_{y}}={y}''(t)=\frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}$

(1.8)

При русі точки з постійним прискоренням воно будь-якої миті визначається формулою (1.5).

◄ Предыдущая: 1. Теоретичні відомості. Следующая: 1.2. Відносність руху ►