ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. Компенсаційний курс

Міністерство освіти і науки України

Національний технічний університет України
«Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»

 

 

 

 

В. П. Бригінець, С. О. Подласов, О. В. Матвійчук

 

 

 

ФІЗИКА

вчимося розв’язувати задачі

Компенсаційний курс

 

 

Навчальний посібник

 

 

 

Рекомендовано Методичною радою КПІ ім. Ігоря Сікорського
як навчальний посібник для здобувачів ступеня бакалавра
за освітньою програмою «Комп’ютерне моделювання фізичних процесів»
спеціальності 104 Фізика та астрономія

 

 

Електронне мережеве навчальне видання

 

 

 

  

Київ

КПІ ім. Ігоря Сікорського 2025

Зміст

Автори укладачі

Вступ

Етапи розв'язування задач

МЕХАНІКА

МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА

ЕЛЕКТРИКА ТА МАГНЕТИЗМ

КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ

ОПТИКА

СУЧАСНА ФІЗИКА

Фізика - це наука, що вивчає найбільш загальні властивості об'єктів та явища, які відбуваються в оточуючій нас неживій природі. Важливість вивчення фізики зумовлена тим, що ця наука є основою наукового світогляду та універсальною базою техніки. Усіма досягненнями сучасної технічної цивілізації людство зобов'язано фізиці.

Реальні фізичні явища завжди зумовлені такою великою кількістю різних факторів, що їх повне врахування неможливе. Тому і в теорії і в задачах розглядаються фізичні моделі - ідеалізовані об’єкти та явища. У моделях не враховуються всі другорядні фактори, що не впливають на їх принципові властивості. Фізичні закони виражають зв’язки між певними властивостями саме моделей. Тому вони виявляються відносно простими, так що їх можна формулювати та досліджувати за допомогою математичних співвідношень та рівнянь - математичних моделей.

При вивченні фізики виняткове значення має розв’язування задач. Розв’язуючи задачі, учні краще розуміють та запам’ятовують фізичні закони, формули та означення, більш чітко усвідомлюють специфічні особливості явищ, межі застосовності законів, набувають досвід використання висновків теорії для виконання конкретних практичних завдань. Крім того, розв’язування задач часто використовують для контролю повноти та глибини засвоєння навчального матеріалу (при проведенні контрольних робіт, екзаменів, тощо).

У цьому посібнику наведені стислі теоретичні відомості, які необхідно знати для розв'язування задач та одержання відповідей на деякі з завдань ЗНО, рекомендації, які можуть бути корисними при спробі розв'язати задачі відповідного розділу, наведені приклади розв'язування задач, а також запропоновані задачі для самостійної роботи.

Перш ніж приступати до розв'язування задач рекомендуємо повторити теорію відповідного розділу і уважно прочитати рекомендації по організації роботи з розв'язування задач.

Кожна фізична задача є відображенням певного явища (або сукупності явищ), в якому невідомі й підлягають визначенню деякі зв’язки між фізичними величинами або якісь з цих величин.

У фізиці навіть для схожих задач не існує єдиного рецепту (алгоритму) розв’язування. Кожна задача потребує індивідуального підходу. Проте існують певні правила організації самого процесу розв’язування та оформлення розв’язку, які допомагають у роботі над задачами будь-якого розділу.

Розв'язання будь-якої задачі можна поділити на наступні етапи:

• вивчення умови задачі;
• розв’язування в загальному вигляді;
• аналіз вірогідності розв’язку;
• отримання кінцевої відповіді.

Розв’язування задачі починається з вивчення її змісту та скороченого запису умови.

1)	Умову треба не просто читати, а саме вивчати, вникаючи в зміст так, щоб врешті отримати детальне уявлення про описані процеси та поставлені завдання. Не досягнувши такого рівня розуміння умови задачі, писати якісь формули та викладки - це блукати з зав’язаними очима.
2)	При читанні задачі всі поняття та терміни повинні бути знайомі та зрозумілі. Наявність незрозумілих слів не дозволяє усвідомити суть задачі, а відтак, і розв’язати її. Для з’ясування значення термінів користуйтеся підручниками, довідниками, енциклопедіями.
3)	Звичайно, в умові задачі немає зайвої інформації, а також і "зайвих слів". Тому треба бути уважним до тексту, оскільки здавалося б другорядне слово може нести важливу, а то й ключову інформацію.
4)	У переважній більшості задач для аналізу та розв’язування дуже корисно зробити необхідні схематичні рисунки (креслення). Рисунок, як правило, робить умову задачі більш наочною і полегшує розв’язання. Але для цього рисунок має бути достатньо крупним і чітким, з приблизним дотриманням пропорцій між відображеними на ньому величинами. Недбалий рисунок замість допомоги може спровокувати на помилки[1]. Слідкуйте також, щоб одні й ті самі величини на рисунку та в тексті мали однакові позначення.
5)	Зробивши рисунки, ще раз перегляньте умову і з’ясуйте, які з величин відомі, а які треба знайти. Числові значення всіх відомих величин в одиницях СІ разом з розмірностями запишіть у колонку, використавши для позначення загальновживані символи. При записі числових значень використовуйте показникову форму[2]. В цю ж колонку запишіть шукані величини, відокремивши їх від відомих. Досить часто в задачах згадуються певні речовини або тіла. В такому випадку всі дані, що стосуються властивостей цих речовин або тіл, вважаються відомими, і при необхідності їх беруть з довідкових таблиць.
6)	Попередню роботу над умовою доцільно закінчити аналізом того, як і від яких величин може залежати в даній задачі шукана величина. При такому підході на наступному етапі розв'язування шлях до відповіді буде логічним, і кожен крок буде підказувати наступний.

 Розв’язування в загальному вигляді - це отримання відповіді без використання числових значень величин, тобто у вигляді алгебраїчного виразу (формули). Уміння розв’язувати задачі в загальному вигляді є дуже важливим з багатьох причин.

По-перше, розв’язок у загальному вигляді є розв’язком не лише даної задачі, а й цілого класу подібних задач. При будь-яких інших вхідних даних для отримання відповіді досить лише підставити нові числа в готову формулу, а не робити все з початку.

По-друге, сам процес розв’язування у загальному вигляді наочно демонструє сутність та властивості розгляданих явищ, відтак допомагає їх глибше зрозуміти і краще засвоїти матеріал[3].

По-третє, розв’язок у загальному вигляді певною мірою дає змогу перевірити правильність одержаної відповіді, і про це далі буде сказано окремо.

Приступаючи безпосередньо до розв’язування задачі, не слід пробувати відразу вгадати готову формулу, в яку необхідно підставити числа для одержання відповіді. Пам’ятайте - кожну задачу слід послідовно і логічно[4] розв’язувати, незалежно від її дійсної чи уявної простоти.

1)	Вивчивши умову задачі, з'ясуйте, які закони фізики відображують дане явище і згадати математичний вираз цих законів. При цьому корисно мати перед собою (звісно, якщо це не екзамен чи контрольна робота) зведення основних формул з відповідного розділу чи розділів фізики.
2)	При розв’язуванні задачі використання того чи іншого закону повинно бути обґрунтованим. Пам’ятайте, що кожний фізичний закон має межі своєї застосованості. Наприклад, закон збереження імпульсу справедливий тільки в ізольованій системі тіл, тому, перш ніж його застосовувати, необхідно пересвідчитись, чи можна дану систему тіл розглядати як ізольовану.
3)	Встановіть логічні зв’язки між всіма відомими та шуканими величинами і запишіть їх у вигляді математичних рівнянь, що виражають відповідні фізичні закони. При цьому не треба боятися вводити необхідні проміжні параметри, тобто тимчасово вважати відомими деякі величини, що не задані в умові задачі. Без них у більшості випадків неможливо встановити зв’язки між заданими та шуканими величинами. В процесі розв’язування, на певному етапі, ці параметри або самі собою "зникнуть", або стане зрозуміло, як їх знайти. Складання системи рівнянь є останнім, але чи не найбільш важливим і складним "фізичним" етапом розв’язування задачі. Після його подолання фізична задача перетворюється на суто математичну.
4)	Математичний запис фізичних законів та співвідношень виконуйте у загальному вигляді, тобто за допомогою літерних позначень усіх вихідних, допоміжних та шуканих величин. Якщо закон формулюється у векторній формі, то запишіть його у векторній формі, після чого оберіть систему координат і запишіть відповідні рівняння для проекцій векторів на осі.
5)	У випадку складної задачі, спробуйте розділити її на окремі "самостійні" частини. Попереднє розв’язання таких часткових задач дозволяє легше одержати остаточну відповідь.
6)	Після складання рівнянь практично завжди виникає необхідність виконати певні математичні перетворення. Всі ці перетворення охайно фіксуйте на папері, а не намагайтеся виконати їх подумки. Це значно зменшить розумове навантаження та ймовірність помилок.

У переважній більшості фізичних задач розв’язання слід проводити до кінця у "загальному" вигляді, тобто без використання числових даних. При цьому відповідь буде отримана у "загальному вигляді", тобто у вигляді алгебраїчного виразу-формули, що визначає шукану величину через символи заданих в умові величин та фізичних й математичних констант[5].

 

В умовах екзамену, контрольної роботи чи олімпіади відповіді до задач не даються. Тому отримані результати потребують обов’язкової перевірки[6].

На жаль, в фізиці не існує простих методів перевірки розв’язку задачі. Гарантію може дати лише розв’язання даної задачі іншим незалежним методом. Але часто це буває нереально, або взагалі неможливо. Тому доводиться використовувати непрямі методи, які дозволяють оцінити вірогідність розв’язку.

1)

Перш за все - це перевірка розмірності результату. Для цього в формулі-відповіді відкидають всі цифрові коефіцієнти та безрозмірні константи і величини (наприклад, число p, тригонометричні функції, тощо), а замість символів розмірних величин пишуть їх розмірності. Далі, спрощуючи отриману символічну формулу, переконуються, чи співпадає її розмірність з розмірністю шуканої величини. Якщо так, то це суттєво підвищує (хоча й не гарантує) вірогідність відповіді. У той же час невірна розмірність є свідченням помилки. Виконуючи дії з розмірностями, не слід забувати, що: в сумі доданки обов’язково мають однакові розмірності, тому в формулу підставляється розмірність всієї суми, а не кожного доданку; під знаком логарифма та тригонометричних функцій, а також у показнику степеня не може стояти розмірна величина.

2)

Інший корисний прийом полягає в аналізі "поведінки" отриманої формули-відповіді. Для цього треба подивитись, як буде змінюватись шукана величина при зміні тих величин, які входять у формулу-відповідь. Це може відразу вказати на принципову помилку в розв’язку. Наприклад, якщо в задачі на визначення шляху кульки, пущеної вгору по похилій площині, з отриманої формули виходить, що шлях зростає при збільшенні кута нахилу площини, то це відразу вкаже на неправильність розв’язку (скажімо, замість функції  помилково записана функція . Зауважимо, що в такому разі розмірність цієї помилкової відповіді буде правильною. Отже вірна розмірність ще не гарантує правильної відповіді).

Кожен з розглянутих аналізів окремо не дає гарантії, але в сукупності вони забезпечують досить високу надійність перевірки правильності загального розв’язку.

Якщо вихідні дані подані у числовому вигляді, то заключним етапом розв’язування задачі є отримання кінцевого числового результату. Для цього в загальну формулу на місце символьних позначень величин підставляють їх числові значення (без розмірностей) і проводять обчислення. Природно, значення всіх величин повинні бути виражені в основних одиницях (СІ), інакше числова відповідь буде невірною.

Всі числові та довідкові дані, які використовуються у задачах, мають обмежену кількість цифр. Тому кінцеву відповідь слід розумно округлити так, щоб вона відображувала точність вихідних та табличних даних. Можна порадити у відповіді залишати на одну цифру більше, ніж у вихідних даних. При обчисленнях зручно користуватися показниковою формою зображення чисел. Відповідь теж слід подати у показниковій формі, або з використанням частинних та кратних одиниць[7] і вказати її розмірність (наприклад, замість 10000 Па записати 10⁴ Па  або 10 кПа ).

З одержаних числових значень у деяких випадках також можна зробити висновок про вірогідність відповіді. Наприклад, якщо швидкість тіла перевищує швидкість світла, або людина кидає камінь на відстань 10 км, то можна з упевненістю говорити про помилку чи то у фізичній моделі, чи то в обчисленнях.