ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Із класичної електродинаміки Максвела відомо, що змінні електричне та магнітне поля мають здатність до взаємного перетворення. А саме, якщо в певному місці створити змінне електричне поле, то одразу ж виникне й відповідне змінне магнітне поле, котре створить нове електричне поле, воно — нове магнітне і так далі. Тож змінні електричне та магнітне поля є нерозривно пов’язані між собою й утворюють єдине електромагнітне поле, котре може існувати автономно, незалежно від зарядів або струмів, які були його першоджерелом. При цьому описаний процес взаємоперетворень полів не лишається локалізованим в околі джерела, а охоплює з часом все більшу й більшу область простору, тобто є хвильовим процесом. Отже, за Максвелом, змінне електромагнітне поле існує у формі електромагнітних хвиль (ЕМХ).

Зауваження. Таке уявлення є неповним. У дійсності електромагнітна енергія переноситься не неперервною хвилею, а потоком особливих елементарних частинок — квантів, які мають і хвильові, і корпускулярні властивості, (див. ЕЛЕМЕНТИ КВАНТОВОЇ ФІЗИКИ). Тут лише зазначимо, що прояви одних або інших властивостей залежать від частоти випромінювання. Зокрема, радіохвилі практично не показують ознак частинок, а гамма-промені — ознак хвиль. А ось випромінювання оптичного та рентгенівського діапазону в різних явищах проявляє як хвильові, так і квантові властивості.

Експериментально існування електромагнітних хвиль підтвердив Герц, який першим спостерігав електромагнітні хвилі радіочастотного діапазону, що виникали під час іскрового газового розряду. Електромагнітні хвилі утворюються також і в інших процесах й охоплюють дуже великий інтервал частот, який поділяють на декілька діапазонів, рис. 3.1.Не зрозуміло, треба продовжити шкалу

Далі розглядаються наступні питання:

3.1. Характеристики електромагнітних хвиль

3.2. Енергія електромагнітної хвилі

3.3. Властивості електромагнітних хвиль. Додаток

        Контрольні запитання

3.1. Характеристики електромагнітних хвиль

Всі властивості електромагнітних хвиль (ЕМХ) випливають із загальних рівнянь електромагнітного поля, але їхній теоретичний аналіз потребує серйозної математичної підготовки. Тому далі основні властивості ЕМХ розглядаються без доведення, а деякі необхідні для формального обґрунтування викладки наводяться в п. 3.3.

Швидкість поширення ЕМХ. У провідному середовищі електричне поле створює електричний струм, енергія якого перетворюється на тепло. Через це коливання електромагнітного поля швидко загасають, тож

електромагнітні хвилі реально можуть існувати тільки в діелектриках і вакуумі.

В цьому випадку з рівнянь Максвелла випливає, що за відсутності вільних зарядів вектори напруженості електричного \(\vec E\) та магнітного \(\vec H\) полів задовольняють диференціальні рівняння:

де \({\varepsilon _0}\), \({\mu _0}\) — електрична та магнітна сталі, \(\varepsilon\), \(\mu \) — діелектрична та магнітна проникності середовища. Ці рівняння, подібно до (1.4), є хвильовими рівняннями електромагнітного поля. Загальний розв’язок кожного з них \(\vec{E}( \vec{r},t )\) або \(\vec{H}( \vec{r},t )\) у випадку змінних полів являє собою рівняння відповідної хвилі. Але позаяк електричне та магнітне поля є органічно взаємопов’язані, рівняння (3.1) і (3.1а) в сукупності описують єдину електромагнітну хвилю.

У хвильовому рівнянні (1.4) коефіцієнт при часовій похідній дорівнює оберненому квадрату швидкості, отже у загальному випадку швидкість поширення електромагнітні хвилі

а у вакуумі (\(\varepsilon = 1\), \(\mu = 1\))

Підстановка у формулу (3.3) значень \(\varepsilon _{0}\) та \(\mu _{0}\) дає \(c=3\cdot {{10}^{8}}\) м/с, що збігається із швидкістю світла у вакуумі. Отже, із хвильових рівнянь (3.1) і (3.1а) випливає, що світло має електромагнітну природу. Це теоретичне відкриття Максвелла надалі було підтверджено всім розвитком фізичної оптики.

Враховуючи формулу (3.3), швидкість поширення електромагнітної хвилі у середовищі можна виразити як

Раніше відмічалося, що електромагнітні хвилі можуть існувати лишень у вакуумі та діелектриках, які переважно є немагнітними середовищами (\(\mu = 1\)). Тому швидкість електромагнітних хвиль у речовині реально визначається формулою

Поперечність ЕМХ і зв’язок між полями. В електромагнітній хвилі коливання напруженостей електричного \(\vec E\) та магнітного \(\vec H\) полів відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках, які в той же час є перпендикулярними й до напрямку поширення хвилі (до напрямку вектора \(\vec v\)). Отже,

електромагнітні хвилі є поперечними хвилями.

При цьому вказані вектори утворюють праву трійку, тобто в кожній з послідовностей \(( \vec{E},\vec{H},\vec{v} )\), \(( \vec{H},\vec{v},\vec{E} )\) або \(( \vec{v},\vec{E},\vec{H} )\) останній вектор є спрямований за правим гвинтом відносно перших двох, як показано на рис. 3.2 (вектори, які зображені косо, напрямлені “до нас”).

Поперечність електромагнітних хвиль виявляє себе в низці так званих поляризаційних ефектів, які знаходять широке практичне застосування.

Не лише напрямки, а й величини полів в електромагнітній хвилі не є довільними. Величина одного поля однозначно визначає величину іншого так, що за будь-яких умов амплітуди електричного \(E_0\) і магнітного \(H_0\) полів є пов’язані співвідношенням

А у вільній хвилі ця умова виконується і для миттєвих значень проекцій напруженостей в кожній точці простору:

Примітка. Під вільною мається на увазі хвиля, що поширюється у вільному просторі без відбивання від якихось “стінок”.

Це означає, що у вільній електромагнітній хвилі коливання електричного та магнітного полів є синфазними й описуються ідентичними рівняннями. Зокрема, гармонічна електромагнітна хвиля стандартно описується парою рівнянь:

Описаний зв’язок між полями ілюструє рис. 3.3, на якому показано розподіл напруженостей полів у якийсь момент часу в напрямку поширення плоскій електромагнітної хвилі, що поширюється в напрямі осі \(\mathrm{OX}\).

Зауважимо, що завдяки співвідношенню (3.5а), кожне з рівнянь (3.6) по суті містить повну інформацію про електромагнітну хвилю. Тому у багатьох задачах можна оперувати лишень одним із них.

3.2. Енергія електромагнітної хвилі

Вектор Пойнтінґа. Електромагнітна хвиля являє собою поширення у просторі змінного електромагнітного поля і тому переносить енергію, що складається з енергії електричного та магнітного полів хвилі. Цей процес у кожній точці простору й у кожен момент часу, як і в механічній хвилі, визначається вектором густини потоку енергії (2.11), який дорівнює добутку об’ємної густини енергії \(w\) хвилі та вектора її швидкості \(\vec v\). Із електродинаміки випливає, що

де враховані відомі вирази об’ємної густини енергії електричного та магнітного полів. За допомогою співвідношення (3.5а) цей вираз можна записати згорнуто:

Звідси, з урахуванням (3.2), виходить, що

Відтак величина густини потоку енергії (2.11), яку для електромагнітного поля позначимо літерою \(\Pi\), визначається, як

Напрям перенесення енергії співпадає з напрямом вектора швидкості поширення хвилі \(\vec v\), який пов’язаний із напрямками векторів \(\vec E\) і \(\vec H\) правилом правого гвинта (рис. 3.2). Тому вектор густини потоку енергії електромагнітної хвилі \(\vec \Pi\), який називається вектором Пойнтінґа, визначається векторним добутком векторів полів:

Інтенсивність електромагнітної хвилі. У випадку гармонічної хвилі (3.6) модуль вектора Пойнтінґа дорівнює

або, з урахуванням (3.5),

Частота електромагнітних хвиль, які знаходять застосування, \(\omega \geqslant {10^4}\ \text{c}^{ - 1}\), тож густина потоку енергії дуже швидко змінюється. Тому перенесення електромагнітної енергії в кожній точці простору реально визначається

середньою за період величиною густини потоку, яка називається інтенсивністю хвилі \(I\).

Отже, за означенням \(I=\langle\Pi \rangle \) і, згідно з (3.9),

\(I = {E_0}{H_0}\bigl\langle {{{\cos }^2}( {\omega t - \vec k\vec r} )} \bigr\rangle = \frac{1}{2}{E_0}{H_0}\bigl\langle {1 + \cos \bigl( {2(\omega t - \vec k\vec r)} \bigr)} \bigr\rangle.\)

Оскільки величина

\(\bigl\langle {1 + \cos \bigl( {2(\omega t - \vec k\vec r)} \bigr)} \bigr\rangle = 1 + \bigl\langle {\cos \bigl( {2(\omega t - \vec k\vec r)} \bigr)} \bigr\rangle = 1,\)

то для інтенсивності електромагнітної хвилі маємо:

Аналогічно з (3.9а):

Позаяк для вакууму або однорідного середовища величина радикала в усіх точках є однаковою, розподіл інтенсивності в просторі повністю визначається квадратом амплітуди поля:

\(I \sim E_0^2.\)

Це дозволяє в багатьох випадках замість інтенсивності \(I\) оперувати величиною \(E_0^2\).

Формула (3.11) дозволяє визначити інтенсивність електромагнітної хвилі тільки через величину електричного поля. Ця обставина широко використовується в оптиці, де більшість ефектів зумовлена саме електричним полем світлової хвилі. Але за допомогою співвідношення (3.5) інтенсивність хвилі при необхідності можна виразити й через амплітуду магнітного поля:

3.3. Властивості електромагнітних хвиль. Додаток

Хвильові рівняння. Існування і загальні властивості електромагнітних хвиль (ЕМХ) можна теоретично довести за допомогою основних рівнянь електромагнітного поля (рівнянь Максвела) в операторній формі (див. ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ, частина V, п. 2.4.3). У випадку однорідного ізотропного діелектрика за відсутності вільних зарядів ці рівняння мають вигляд:

Наведені рівняння містять тільки перші похідні, тоді як загальне хвильове рівняння (розділ ІІ, п. 1.3) пов’язує другі координатні та часові похідні відповідної характеристики хвилі. Тому спочатку “продиференціюємо по координатах” рівняння (3.12), взявши ротор від лівої та правої частин :

\( \bigl[ {\vec \nabla [ {\vec \nabla \vec E} ]} \bigr] = - {\mu _0}\mu \left[ {\vec \nabla,\frac{{\partial \vec H}}{{\partial t}}} \right]\quad \Rightarrow \quad \bigl[ {\vec \nabla [ {\vec \nabla \vec E} ]} \bigr] = - {\mu _0}\mu \frac{\partial }{{\partial t}}[ {\vec \nabla \vec H} ]. \)

(У правій частині використано те, що диференціювання по незалежних змінних можна проводити в довільному порядку.)

Далі, врахувавши рівняння (3.14), запишемо:

І нарешті розкриємо ліву частину за відомим правилом “бац мінус цаб” для подвійного векторного добутку: \(\bigl[ {\vec {a}[ {\vec {b}\vec {c}} ]} \bigr] = \vec {b}( {\vec {a}\vec {c}} ) - \vec {c}( {\vec {a}\vec {b}} )\). Відтак отримаємо:

\( \bigl[ {\vec \nabla [ {\vec \nabla \vec E} ]} \bigr] = \vec \nabla ( {\vec \nabla \vec E} ) - ( {\vec \nabla \vec \nabla } )\vec E. \)

Урахувавши, що в цьому виразі \((\vec \nabla \vec E) = 0\), згідно з (3.13), і \(( {\vec \nabla \vec \nabla } ) = {\nabla ^2}\) — оператор Лапласа, отримуємо з (3.16) хвильове рівняння (3.1) для вектора \(\vec E\):

\( {\nabla ^2}\vec E = {\varepsilon _0}\varepsilon {\mu _0}\mu \frac{{{\partial ^2}\vec E}}{{\partial {t^2}}}. \)

Так само виводиться й рівняння (3.1а) для магнітного вектора електромагнітної хвилі.

Поперечність ЕМХ. Для спрощення викладок розглянемо довільну плоску хвилю, що поширюється в напрямку координатної осі ОХ і, отже, має плоскі хвильові поверхні перпендикулярні до вказаної осі. Тому поля \(\vec E\) і \(\vec H\) залежать тільки від координати \(x\) і їхні похідні по \(y\) та по \(z\) дорівнюють нулю. Тоді наведені рівняння спрощуються і в координатній формі записуються, як:

де \({\vec e_x}\), \({\vec e_y}\), \({\vec e_z}\) — орти (одиничні вектори) координатних осей.

Проаналізуємо ці рівняння. Вектори в лівих частинах рівнянь (3.17) і (3.19) не мають \(x\)-компонент, отже, не мають їх і вектори в правих частинах. Тому \((\partial {H_x} / {\partial t}) = ( \partial {E_x} / {\partial t}) = 0\), і, врахувавши (3.18) і (3.20), маємо:

\(\left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial {E_x}}}{{\partial x\mathstrut}} = 0,\qquad \frac{{\partial {E_x}}}{{\partial t}} = 0; \hfill \\ \frac{{\partial {H_x}}}{{\partial x}} = 0,\qquad \frac{{\partial {H_x}}}{{\partial t}} = 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Це означає, що \({E_x}( {x,t} ) = \textrm{const}\) і \({H_x}( {x,t} ) = \textrm{const}\), тобто складові в напрямку осі \(\mathrm{OX}\) можуть мати лишень однорідні та стаціонарні (статичні) електричне й магнітне поля. Поля в електромагнітній хвилі такими не є, отже, в електромагнітній хвилі, що розглядається,

\(\left\{ \begin{gathered} {E_x} = 0\quad \Rightarrow \quad \vec E \bot {{\vec e}_x}, \hfill \\ {H_x} = 0\quad \Rightarrow \quad \vec H \bot {{\vec e}_x}. \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Таким чином, обидва поля є перпендикулярними до напрямку поширення електромагнітної хвилі, тобто, вона є поперечною.

Аби з’ясувати взаємну орієнтацію векторів \(\vec E\) і \(\vec H\), уявімо, що електричне поле хвилі напрямлене вздовж осі \(\mathrm{OY}\): \(\vec E = {\vec e_y}{E_y}\), тож \({E_x} = {E_z} = 0\). Тоді рівняння (3.17) і (3.19) набувають вигляду:

Оскільки у векторному рівнянні напрямки векторів у лівій та правій частинах мають бути однакові, робимо висновок, що в (3.21)

\({H_y} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec H = {\vec e_z}{H_z}.\)

Отже, якщо \(\vec E = {\vec e_y}{E_y}\), то \(\vec H = {\vec e_z}{H_z}\). Таким чином, вектори \(\vec E\) і \(\vec H\) є взаємно перпендикулярними та перпендикулярними до напрямку поширення хвилі й утворюють праву трійку, як показано на рис. 3.2.

Хвильові рівняння і швидкість поширення. У щойно розглянутому випадку рівняння (3.21) набувають вигляду:

Продиференціювавши перше рівняння по координаті, а друге по часу, дістанемо:

\( \left\{ \begin{gathered} \frac{{{\partial ^2}{E_y}}}{{\partial {x^2}}} = - {\mu _0}\mu \frac{{{\partial ^2}{H_z}}}{{\partial x\partial t\mathstrut}}, \hfill \\ - \frac{{{\partial ^2}{H_z}}}{{\partial x\partial t}} = {\varepsilon _0}\varepsilon \frac{{{\partial ^2}{E_y}}}{{\partial {t^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad \Rightarrow \quad \frac{{{\partial ^2}{E_y}}}{{\partial {x^2}}} = {\varepsilon _0}\varepsilon {\mu _0}\mu \frac{{{\partial ^2}{E_y}}}{{\partial {t^2}}}, \)

а це є хвильове рівняння для електричної компоненти електромагнітної хвилі. Аналогічно отримується й хвильове рівняння для магнітної компоненти електромагнітної хвилі:

\( \frac{{{\partial ^2}{H_z}}}{{\partial {x^2}}} = {\varepsilon _0}\varepsilon {\mu _0}\mu \frac{{{\partial ^2}{H_z}}}{{\partial {t^2}}}, \)

При цьому для фазової швидкості виходить вираз (3.2):

\(v = \frac{1}{{\sqrt {\varepsilon {\varepsilon _0}\mu {\mu _0}} }}.\)

Зв’язок між полями. Наостанку на прикладі гармонічної хвилі знайдемо зв’язок між величиною полів \(E\) та \(H\). Нехай електричне поле хвилі визначається, як

\( {E_y}( {x,t} ) = {E_0}\cos (\omega t - kx). \)

Тоді з першого рівняння (3.15а) маємо:

\(\frac{{\partial {H_z}}}{{\partial t}} = \frac{{k{E_0}}}{{{\mu _0}\mu }}\sin (\omega t - kx).\)

Отже, коливання магнітного поля в якійсь заданій точці \(x = {x_0}\) задовольняють рівняння:

\(\frac{{\operatorname{d}\! {H_z}}}{{\operatorname{d}\! t}} = \frac{{k{E_0}}}{{{\mu _0}\mu }}\sin (\omega t - {\varphi _0}),\qquad {\varphi _0} = k{x_0}.\)

Проінтегрувавши це рівняння, знайдемо залежність магнітного поля хвилі від часу:

\({H_z}( {t,{x_0}} ) = \frac{{k{E_0}}}{{{\mu _0}\mu }}\int {\sin ( {\omega t - {\varphi _0}} )\operatorname{d}\! t} = \frac{k}{{{\mu _0}\mu \omega }}{E_0}\cos ( {\omega t - {\varphi _0}} ) = \frac{k}{{{\mu _0}\mu \omega }}{E_y}( {t,{x_0}} ).\)

Із виразів (1.4) і (3.2) випливає, що

\(\frac{k}{{{\mu _0}\mu \omega }} = \sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}\varepsilon }}{{{\mu _0}\mu }}},\)

отже,

Даний результат є чинним при будь-яких значеннях \({x_0}\), тому в будь-якій точці простору й у будь-яку мить між величинами електричного та магнітного полів у гармонічній існує співвідношення (3.15а):

\(\sqrt {\varepsilon {\varepsilon _0}} E( {x,t} ) = \sqrt {\mu {\mu _0}} H( {x,t} ).\)

Звернімо увагу й на те, що знаки проекцій \({E_y}\) і \({H_z}\) у (3.22) завжди однакові. А це означає, що у вільній електромагнітній хвилі коливання полів відбуваються в однаковій фазі.

На завершення вкажемо, що такі самі результати можна отримати й для вільної хвилі і з довільним законом коливань \(E = f\left( {\omega t - kx} \right)\).

Контрольні запитання

1. Від чого залежить швидкість електромагнітних хвиль? Скориставшись довідковими даними, обчисліть швидкість поширення електромагнітних хвиль у вакуумі.
2. До якого типу належать електромагнітні хвилі? Яка взаємна орієнтація векторів полів \(\vec E\), \(\vec H\) і швидкості поширення \(\vec v\) в електромагнітній хвилі?
3. Запишіть співвідношення між амплітудами електричного та магнітного поля електромагнітної хвилі. Чи завжди воно виконується?
4. Запишіть співвідношення між миттєвими значеннями електричного та магнітного поля електромагнітної хвилі. Чи завжди воно виконується?
5. Який зміст має вектор Пойнтінґа та як він визначається? Що таке інтенсивність електромагнітної хвилі?
6. Запишіть вираз інтенсивності електромагнітної хвилі через амплітуду напруженості електричного поля хвилі. Знайдіть величину та розмірність числового коефіцієнта в цьому виразі.