ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ". Компенсаційний курс

Розділ І. Електричне поле

Рівновага й рух зарядів в електричному полі

Задачі на рівновагу і рух заряджених тіл в електричному полі принципово не відрізняються від подібних задач механіки. Тому при самостійному розв'язуванні рекомендованих задач за необхідності варто керуватися рекомендаціями посібника Механіка. Також нагадаємо, що при розгляді руху мікрочастинок (електронів, іонів, тощо) в зовнішніх електричних полях сили тяжіння є несуттєвими.

Задача 1.26. За уявленнями класичної механіки електрони в атомах рухаються навколо ядер по колових орбітах, як планети навколо Сонця. Виходячи з цього, визначити швидкість v руху електрона в атомі Гідрогену, якщо радіус його орбіти r = 53 пм.

Задача 1.27. Дві однойменно заряджені кульки з масами M і m та зарядами Q і q , що закріплені на лінії однорідного горизонтального електричного поля з напруженістю E, вивільняють. Визначити відстань між кульками на момент, коли їхні прискорення зрівняються.

Задача 1.28. У плоску смугу завтовшки d = 10 см із перпендикулярним до її межі електричним полем напруженістю E = 100 В/см під кутом $\alpha=30^{\circ}$ до напрямку поля влітає електрон, який пройшов прискорювальну напругу U₀ = 2 кВ (див. рис. 28 у розв'язанні). Визначити: 1. З якою швидкістю v та під яким кутом $\beta$ електрон вилетить з поля; 2. Найменшу напруженість поля E₀, при якій електрон не зможе подолати смугу.

Задача 1.29. Протон починає рухатись із енергією K = 200 еВ у напрямку віддаленого вільного протона, що перебуває в стані спокою. Визначити, на яку найменшу відстань r перший протон наблизиться до другого.

Задача 1.30. Дві кульки з масами m₁ = 50 г і m₂ = 25 г та зарядами q₁ = –120 мкКл і q₂ = 30 мкКл на кінцях невагомого стрижня довжиною l = 1 м із закріпленою віссю обертання, що проходить через середину, перебувають у спокої. Нехтуючи розміром кульок та тертям в осі, визначити, якої максимальної швидкості v_m вони набудуть після незначного поштовху, якщо йому передувало ввімкнення спрямованого донизу електричного поля напруженістю Е = 20 В/см.

Задача 1.26

За уявленнями класичної механіки електрони в атомах рухаються навколо ядер по колових орбітах, як планети навколо Сонця. Виходячи з цього,

визначити

швидкість v руху електрона в атомі Гідрогену, якщо радіус його орбіти r = 53 пм.

Дано:

r = 53 пм = 5,3·10^-11 м

v - ?

Розв'язання

Кулонівська сила (1.3а), надає електронові доцентрового прискорення ([I], ф-ли (1.28), (2.17)). Отже, за другим законом Ньютона

$\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}$ $\Rightarrow $ $v=\frac{e}{\sqrt{4\pi {{\varepsilon }_{0}}rm}}$.

Урахувавши довідкові дані e = 1,6·10^–19 Кл, m = 9,1·10^-31 кг і ε₀ = 8,85·10^–12 Ф/м, отримаємо числову відповідь:

v = 2,2·10⁶ м/с.

Задача 1.27

Дві однойменно заряджені кульки з масами M і m та зарядами Q і q , що закріплені на лінії однорідного горизонтального електричного поля з напруженістю E, вивільняють.

Визначити

відстань між кульками на момент, коли їхні прискорення зрівняються.

Дано:

M, m

Q, q

r - ?

Розв'язання

Рух кожної кульки після вивільнення визначається дією сили тяжіння $\vec{F}_{т}$, та електричної сили $\vec{F}_{e}$, що складається із кулонівської сили $\vec{F}_{k}$, що діє з боку іншої кульки, та сили $\vec{F}_{п}$, зумовленої дією зовнішнього поля:

$\vec{F}_{e}$ = $\vec{F}_{k}$ + $\vec{F}_{п}$.

Тож прискорення кульок складаються з двох компонент:

$\vec{a}$ = $\vec{g}$ + $\vec{a}_{e}$

і зрівнюються за умови $\vec{a}_{e1}$ = $\vec{a}_{e2}$, тобто, коли

$\vec{a}_{k1}$ + $\vec{a}_{п1}$ = $\vec{a}_{k2}$ + $\vec{a}_{п2}$.

(1)

Сила тяжіння обом кулькам надає однакового прискорення $\vec{g}$, тому в процесі руху вони лишаються на лінії зовнішнього поля $\vec{E}$ (рис. 27).

Тому, з урахуванням напрямків векторів, умову (1) можна переписати через модулі, як

|а_п1 – а_k1| = а_п2 + а_k2 $\Rightarrow$ |а_п1 – а_п2| = а_k₁ + а_k2.

Отже, з урахуванням другого закону Ньютона та те, що сили кулонівської взаємодії кульок мають однаковий модуль F_k, останню рівність можна записати, як

$\left| \frac{{{F}_{n1}}}{M}-\frac{{{F}_{n2}}}{m} \right|={{F}_{k}}\left( \frac{1}{M}+\frac{1}{m} \right)$.

(1)

Відтак, виразивши сили F_пі F_k за формулами (1.2) і (1.3а), після простих перетворень отримаємо співвідношення

$\left| Qm-qM \right|E=\frac{Qq\left( M+m \right)}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}$

та наступну відповідь:

$r=\sqrt{\frac{Qq\left( M+m \right)}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}\left| Qm-qM \right|E}}$.

Задача 1.28

У плоску смугу завтовшки d = 10 см із перпендикулярним до її межі електричним полем напруженістю E = 100 В/см під кутом $\alpha=30^{\circ}$ до напрямку поля влітає електрон, який пройшов прискорювальну напругу U₀ = 2 кВ.

Визначити:

1. З якою швидкістю v та під яким кутом $\beta$ електрон вилетить з поля;

2. Найменшу напруженість E₀, при якій електрон не зможе подолати смугу.

Дано:

d = 10 см

E = 100 В/см

$\alpha=30^{\circ}$

U₀ = 2 кВ

v - ? E₀ - ?

Розв'язання

1. Кінетична енергія електрона на вході W₀ дорівнює роботі прискорювального поля, а на виході її значення W є меншим на величину роботи електрона проти гальмівного поля. Отже, відповідно до формули (1.13),

$W=e\left( {{U}_{0}}-U \right)$,

(1)

де U – напруга (різниця потенціалів) між кінцевим та початковим положеннями електрона. За умовою гальмівне поле є однорідним і перпендикулярним до поверхонь смуги. Тому величина U не залежить від відстані між початковою та кінцевою точками переміщення електрона в смузі й за співвідношенням (1.20) складає $U=Ed$. Отже, враховуючи формулу кінетичної енергії, з виразу (1), маємо:

${{v}^{2}}=\frac{2e}{m}\left( {{U}_{0}}-Ed \right)$ $\Rightarrow $ $v=\sqrt{\frac{2e\left( {{U}_{0}}-Ed \right)}{m}}$.

(2)

Обчислення дають

v = 1,88·10⁷ м.

Кут вильоту електрона β (див. рис. 28-1) знайдемо, взявши до уваги, що електричне поле не впливає на перпендикулярну складову вектора швидкостізарядженої частинки:

$v\sin \beta ={{v}_{0}}\sin \alpha $ $\Rightarrow $ $\sin \beta =\frac{{{v}_{0}}}{v}\sin \alpha $,

(3)

де початкова швидкість

${{v}_{0}}=\sqrt{\frac{2{{W}_{0}}}{m}}=\sqrt{\frac{2e{{U}_{0}}}{m}}$.

(4)

Звідси для кута вильоту β маємо:

$\sin \beta =\sqrt{\frac{U}{U-Ed}}\sin \alpha $ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow $ β = 45°.

2. Аби електрон не зміг подолати смугу гальмівного поля, його максимальне зміщення x уздовж напрямку поля має задовольняти умову:

x ≤ d.

(5)

Величина x залежить від модуля v₀ (вираз (4)) і напрямку (кута α) початкової швидкості та величини прискорення електрона

$a=\frac{F}{m}=\frac{eE}{m}$,

і за законами кінематики (див. [І], ф-ла (1.18)) визначається рівнянням:

$v_{0}^{2}{{\cos }^{2}}\alpha =2ax$ $\Rightarrow $ $x=\frac{U}{E}{{\cos }^{2}}\alpha $.

Таким чином, у згоді з умовою (5),

$\frac{U}{E}{{\cos }^{2}}\alpha $ ≤ d $\Rightarrow $ E ≥ $\frac{U}{d}{{\cos }^{2}}\alpha $.

Обчислення дають E ≥ 1,5 кВ, тож мінімальна напруженість у смузі гальмівного поля, при якій електрон не зможе її подолати, складає

Е₀ = 150 В/см.

Задача 1.29

Протон починає рухатись із енергією K₀ = 200 еВ у напрямку віддаленого вільного протона, що перебуває в стані спокою.

Визначити,

на яку найменшу відстань r₀ перший протон наблизиться до другого.

Дано:

K₀ = 200 еВ = 3,2·10^–17 Дж

r₀ - ?

Розв'язання

Через кулонівське відштовхування перший протон буде рухатися сповільнено, а другий – прискорено без початкової швидкості. Отже, вони спочатку будуть наближатись, а згодом – віддалятись один від одного і на момент максимального зближення матимуть однакові імпульси ${{p}_{1}}$ та кінетичні енергії ${{K}_{1}}=\left( p_{1}^{2}/2m \right)$.

Позаяк зовнішні сили на протони не діють, їхній сумарний імпульс не змінюється й дорівнює початковому імпульсові першого ${{p}_{0}}$. Тому на момент максимального зближення імпульс кожного протона складає

${{p}_{1}}=\frac{{{p}_{0}}}{2}$,

а кінетична енергія

К₁ = $\frac{1}{4}{{W}_{0}}$.

Отже, за законом збереження енергії

${W}_{0}=2\frac{1}{4}{{W}_{0}}+{{W}_{вз}}$ $\Rightarrow$ ${{W}_{вз}}=\frac{{{W}_{0}}}{2}$,

де ${{W}_{вз}}$ – енергія кулонівської взаємодії протонів, яка виражається формулою (1.28). Тож

$\frac{k{{e}^{2}}}{{{r}_{\operatorname{m}}}}=\frac{{{W}_{0}}}{2}$.

Звідси для шуканої найменшої відстані між протонами маємо:

$r_{min}=\frac{2ke^{2}}{W_{0}}$.

Підставивши значення констант k = 9·10⁹ м/Ф і e = 1,6·10^–19 Кл, отримаємо наступну числову відповідь:

r_min= 14, 4·10^–12 м = 14, 4 пм.

Задача 1.30. Дві кульки з масами m₁ = 50 г і m₂ = 25 г та зарядами q₁ = –120 мкКл і q₂ = 30 мкКл на кінцях невагомого стрижня довжиною l = 1 м із закріпленою віссю обертання, що проходить через середину, перебувають у спокої. Нехтуючи розміром кульок та тертям в осі,

визначити,

якої максимальної швидкості v_m вони набудуть після незначного поштовху, якщо йому передувало ввімкнення спрямованого донизу електричного поля напруженістю Е = 20 В/см.

Дано:

m₁ = 50 г

m₂ = 25 г

q₁ = –120 мкКл

q₂ = 30 мкКл

l = 1 м

Е = 20 В/см

v_m - ?

З механіки відомо ([І], розд. V]), що тіло із закріпленою віссю обертання є зрівноваженим, коли сумарний момент діючих сил відносно неї дорівнює нулю. При цьому рівновага є стійкою, якщо при виведенні тіла з положення рівноваги з'являється момент сил, який протидіє цьому. Тож спочатку важча кулька є розташована знизу на одній вертикалі з легшою, рис. 30а. Але після ввімкнення поля до сил тяжіння додаються ще й спрямовані вниз електричні сили (рис. 30б), причому, як легко підрахувати, для важчої кульки результуюча сила$\vec{F}_{1}$ виявляється меншою, ніж для легшої $\vec{F}_{2}$. Тому після зміщення при поштовху від вертикалі кульки почнуть прискорено обертатися навколо осі О й досягнуть максимальної швидкості, коли стрижень повернеться на 180° .

Швидкість кульок визначається їхньою кінетичною енергією, що за механікою ([І], розд. IV]) дорівнює сумарній роботі сил тяжіння A_T і електричних сил A_E:

$\frac{\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right){{v}^{2}}}{2}={{A}_{T}}+{{A}_{E}}$ $\Rightarrow $

$v=\sqrt{\frac{2\left( {{A}_{T}}+{{A}_{E}} \right)}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}$

(1)

Таким чином, для визначення максимальної швидкості кульок треба знайти сумарну роботу вказаних сил на момент повороту стрижня на 180°, коли величина переміщення кожної кулька складе ${l}$. Тож, урахувавши напрямки переміщень та сил отримаємо:

для роботи сил тяжіння ([I], ф-ла (4.1а),

${{A}_{T}}=\left( {{m}_{2}}-{{m}_{1}} \right)gl$,

і для електричних сил (ф-ла (1.13))

${{A}_{E}}$= $\left( {{q}_{2}}+\left| {{q}_{1}} \right| \right)El$.

Відтак, підставивши ці величини у вираз (1), отримаємо наступну загальну відповідь:

${{v}_{m}}=\sqrt{\frac{2l}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}\left( \left( {{m}_{2}}-{{m}_{1}} \right)g+\left( {{q}_{2}}+\left| {{q}_{1}} \right| \right)E \right)}$.

Обчислення дають

v_m = 1,15 м/с.

Наостанок варто зауважити таке. Після повороту стрижня на 180° (рис. 30в ) знаки моментів сил змінюються на протилежні, й рух кульок стає сповільненим. Тож за відсутності тертя вони мали би повернутися у початкове положення з вихідною швидкістю й продовжити рух, як було розглянуто. І так знов і знов. Але насправді через невідворотні втрати механічної енергії кульки трохи не дістануться початкового положення й почнуть рухатися у зворотньому напрямі. Тому стрижень буде не обертатися, а здійснювати коливання, котрі через тертя поступово загасатимуть і згодом припиняться. При цьому кульки опиняться в незвичному рівноважному положенні, в якому важка розташована над легкою.