ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА: 2.5. Закони сил

ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА

Попередній: 2.4. Основне рівняння динаміки

2. ОСНОВНІ ЗАКОНИ ДИНАМІКИ

2.5. Закони сил

Для визначення закону руху точки необхідно мати повну інформацію про діючі на неї сили, а для цього треба знати властивості сил і їхні математичні вирази (закони сил).

У макроскопічному світі спостерігається багато різних сил, але всі вони є проявами лише двох фундаментальних взаємодій – гравітаційної та електромагнітної (фундаментальними називають такі взаємодії, які не зводяться ні до яких інших. Крім вказаних відомі ще два види фундаментальних взаємодій – сильна та слабка, – але в механічних явищах вони ніяк себе не виявляють). При цьому гравітація виявляє себе лишень у силі тяжіння, усі інші сили мають електромагнітну природу і зумовлені взаємодією між зарядженими частинками, з яких складаються молекули та атоми речовини. В механічних процесах найчастіше виявляють себе гравітаційна сила та сила тяжіння, пружна сила та вага тіла, сили тертя та опору.

Гравітаційна сила та сила тяжіння

Гравітаційна сила та сила тяжіння. Гравітаційна взаємодія є притаманною будь-яким матеріальним об’єктам і виявляється в тому, що всі тіла притягаються одне до одного. Згідно із законом всесвітнього тяжіння Ньютона гравітаційна сила притягання між двома матеріальними точками є прямо пропорційною їхнім масам \(m_1\), \(m_2\) і обернено пропорційною квадратові відстані r між ними:

\(F=G\frac{m_1 m_2}{r^2}\),

(3.8)

де величина G = 6,67·10^-11 м³/(кг·с²), яка називається гравітаційною сталою, показує “силу” гравітаційної взаємодії. А саме, G чисельно дорівнює силі притягання двох тіл масою по 1 кг на відстані 1 м одне від одного. Отже, гравітаційні сили є гранично слабкими і відіграють істотну роль лише тоді, коли хоча б одне з тіл має астрономічну масу (планети та зірки).

Гравітаційна сила діє вздовж прямої, що з’єднує тіла — партнери взаємодії.

Варто звернути увагу на те, що величини m₁ і m₂ в законі всесвітнього тяжіння визначають не інертність тіл, а їхню здатність до взаємного притягання, тобто вони є гравітаційними масами, на відміну від інертних мас тіл, що фігурують у другому законі Ньютона. Але в дослідах встановлено, що гравітаційна та інертна маси є строго прямо пропорційні одна одній. Тому гравітаційну та інертну маси не розрізняють і говорять просто про масу тіла та вимірюють в одних і тих самих одиницях. Отже, фізична величина "маса" є і мірою інертності тіл, і мірою їхньої здатності до гравітаційної взаємодії.

Використовуючи формулу (3.8), слід пам’ятати, що вона є придатною тільки для матеріальних точок, тобто для тіл, які розташовані одне від одного на дуже великій відстані порівняно з їхніми розмірами. Виняток складає притягання двох однорідних куль (або кулі та матеріальної точки). В цьому випадку r – це відстань між центрами куль (або центром кулі та матеріальною точкою). Зокрема, це стосується сили тяжіння, тобто сили гравітаційного притягання, що діє на тіла поблизу поверхні планети. Згідно з формулою (3.8) вона визначається як

\(F=G\frac{mM}{R^2}\),

(3.8а)

де m - маса тіла; М, R - маса і радіус планети.

Гравітаційна сила є прямо пропорційною масі тіла, на яке діє. Тому біля поверхні планети вона надає всім тілам однакового прискорення сили тяжіння або прискорення вільного падіння (це не зовсім точно, оскільки на прискорення вільного падіння тіла відносно Землі дещо впливає її добове обертання та орбітальний рух)

\(g= G\frac{M}{R^2}\),

(3.9)

яке напрямлене вертикально вниз. Для Землі наближено \(g=9,8\) м/с². З урахуванням (3.9) силу тяжіння записують у вигляді

\(\vec{F}=m\vec{g}\).

(3.10)

Пружна сила

Пружна сила (сила пружності) виникає при пружних деформаціях тіл, наприклад, при розтягу пружини, або еластичного шнура чи стержня (пружними називають деформації, котрі зникають після припинення дії сили, що їх спричинює). Вона зумовлена дією електромагнітних сил взаємодії між молекулами деформованого тіла. Пружна сила завжди напрямлена протилежно до напрямку деформації й за модулем є прямо пропорційною величині деформації (закон Гука). Для деформації розтягу чи стискання величина (модуль) пружної сили

\(F=k\Delta{l}\),

(3.11)

де \(\Delta{l}=\left|{l}-l_{0}\right|\) – величина деформації, \(l,\,\,\,l_0\) – довжина деформованої та недеформованої пружини, відповідно, і k - коефіцієнт пропорційності, який називають жорсткістю тіла.

Для стержня (шнура) або пружини довжиною l із сталим перерізом s

\(k=E\frac{s}{l}\),

(3.12)

де Е – так званий модуль Юнга, що є табличною характеристикою пружних властивостей речовини тіла. У такому разі вираз закону Гука можна подати у вигляді:

\(\sigma=E\epsilon\) або \(\epsilon=\frac{\sigma}{E}\),

(3.13)

де \(\epsilon=\Delta{l}/l_0\) – відносна деформація і \(\sigma=F/s\) – механічна напруга, що виникає в тілі внаслідок деформації.

Вага і невагомість

Якщо тіло лежить на опорі (чи підвішене на шнурі), то через його притягання до Землі виникає деформація як опори (підвісу), так і самого тіла. Як наслідок, з’являються сили взаємодії між тілом і опорою (підвісом).

Сила, що діє з боку тіла на горизонтальну опору або вертикальний підвіс унаслідок притягання до Землі називається вагою тіла \( \vec{P} \) (рис. 3.3).

Відповідно, сила, що діє на тіло з боку опори (підвісу) називається реакцією опори \(\vec{N} \) або підвісу \(\vec{T}\). Отже вага тіла прикладена не до нього, а до опори чи підвісу. Якщо опора (підвіс), отож і тіло, не має прискорення відносно інерціальної системи відліку, то \( m\vec{g}+\vec{N}=0 \) i, оскільки \(\vec{N}=-\vec{P} \),

\(\vec{P}=m\vec{g},\)

(3.14)

тобто, вага тіла дорівнює силі тяжіння, що діє на нього (з цієї причини силу тяжіння інколи теж називають вагою). Але, коли опора (підвіс) має прискорення \(\vec{a}\), то згідно з другим і третім законами Ньютона \( m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{N}=m\vec{g}-\vec{P} \), і

\(\vec{P}=m(\vec{g}-\vec{a}). \)

(3.14а)

Отже, вага залежить від прискорення опори і може бути або більшою (при русі вгору), або меншою (при русі вниз), ніж mg. Зокрема, коли опора (підвіс) рухається вниз із прискоренням \(\vec{a}=\vec{g}\) , то \(\vec{P}=0 \), і тіло перебуває в невагомості. При цьому \(\vec{N}=0 \), тобто в стані невагомості на тіло діє тільки сила тяжіння. Із залежністю ваги від прискорення опори ми повсякденно стикаємося в ліфті, але особливо відчутно це для космонавтів: вони зазнають великих перевантажень при виході ракети на орбіту та перебувають у невагомості протягом усього часу орбітального польоту.

Сили тертя та опору

З дослідів відомо, що при ковзанні даного тіла по поверхні іншого, або ж при спробах такого руху виникає сила, що перешкоджає рухові. Цю силу називають силою сухого тертя. Якщо при спробі примусити одне тіло ковзати по поверхні іншого закріпленого тіла перше залишається у спокої, то тертя, що виникає, називають тертям спокою. Якщо ж тіла рухаються одне відносно одного, то залежно від характеру руху говорять про тертя ковзання, або тертя кочення. Тертя між частинами одного й того ж тіла при їх відносному русі, наприклад, тертя між сусідніми шарами рідини чи газу, що рухаються із різними швидкостями, називають внутрішнім тертям.

Властивості сили тертя визначаються умовами, за яких вона виникає. Зокрема, сила тертя спокою \(\vec{F}_c \) дорівнює сумі векторів решти сил (рівнодійній), що діють на дане тіло, взятій зі знаком мінус:

\( \vec{F}_{c}= -\sum\vec{F}_{i} \)

(3.15)

(У цьому легко впевнитися на основі другого закону Ньютона. Якщо тіло знаходиться у спокої, то його прискорення \(\vec{a}=0 \),отже і сума сил, що діють на тіло \(\Sigma(\vec{F}_i+\vec{F}_c)=0 \), звідси і випливає вираз (3.15)).

Окрім того, в дослідах встановлено, що величина сили тертя спокою не може перевищувати певного максимального значення

\( F_{c\,\max}=\mu{N}, \)

(3.16)

де \(\mu\) – коефіцієнт тертя, який залежить від природи і стану дотикових поверхонь (зокрема їхньої шерхлості), N – сила нормального тиску, що притискає дане тіло до поверхні іншого.

Якщо рівнодійна решти сил, прикладених до тіла, перевищує значення \(F_{c\,\max}\), то це тіло починає рухатися по поверхні іншого, і тертя спокою змінюється на тертя ковзання. Величина сили тертя ковзання F_т досить складно залежить від відносної швидкості тіл (рис. 3.4а), але при достатньо малих швидкостях її можна вважати сталою (рис.3.4б) і рівною максимальній силі тертя спокою

	\(F_{т}=\mu{N}\),	(3.16а)

Сила опору \(\vec{F}_{оп}\) виникає при русі тіла в газоподібному чи рідкому середовищі й зумовлена взаємодією його молекул із молекулами поверхні тіла та тертям між шарами самого середовища (в’язкістю). При цьому через велику рухливість молекул газу та рідини при русі в середовищі немає тертя спокою.

Сила опору спрямована проти руху тіла й істотно залежить від його швидкості відносно середовища. При малих швидкостях можна вважати, що

\({{\vec{F}}_{on}}={{\alpha }}v{{\vec{e}}_{v}}\)

(3.17)

де α – стала величина (коефіцієнт опору), залежна від характеристик тіла і середовища, \( \vec{e}_{v} \) – орт вектора швидкості. При великих швидкостях ця залежність є близькою до квадратичної, а при надзвукових — до кубічної

Характерною властивістю сил опору є їхня велика залежність від форми рухомого тіла. Тому рухомим апаратам (авто, літаки, ракети, тощо) надають специфічної обтічної форми.