ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. ЕЛЕМЕНТИ ОПТИКИ

Накладання лінійно поляризованих хвиль. Як було сказано раніше, крім лінійної існують ще два види поляризації – еліптична та колова, при яких світловий вектор \(\vec{E}\) обертається навколо променя. Покажемо, що ці види поляризації можна розглядати як результат суперпозиції плоско поляризованих хвиль.

Нехай дві когерентні плоскі хвилі з амплітудами \(E_{01}\) та \(E_{02}\) і частотою \(\omega\), які поляризовані у взаємно перпендикулярних площинах XOZ і YOZ (рис. 5.4), поширюються «до нас», тобто в додатному напрямку осі OZ. Тоді в якійсь площині перпендикулярній осі OZ хвилі створюють коливання світлового вектора, котрі задамо рівняннями:

де \(\delta\) – не залежно від часу різниця фаз.

«Координати» \(E_x\) та \(E_y\) визначають модуль і напрям результуючого вектора \(\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2\) в будь-який момент часу. Тому, виключивши з рівнянь (5.6) параметр \(t\) (час), можна отримати траєкторію руху кінця вектора \(\vec{E}\). Для цього друге рівняння (5.6) перепишемо як

\(\frac{E_y}{E_{02}}=(\cos\omega{t}\cos\delta-\sin\omega{t}\sin\delta)\)    \(\Rightarrow\)    \(\frac{E_y}{E_{02}}=\left(\cos\omega{t}\cos\delta-\sqrt{1-\cos^2\omega{t}}\cdot\sin\delta\right)\)

і підставимо вираз \(\cos\omega{t}=E_{x}/E_{01}\) з першого рівняння. Тоді дістанемо:

\(\frac{E_y}{E_{02}}=\frac{E_x}{E_{01}}\cos\delta-\sin\delta\sqrt{1-\left(\frac{E_x}{E_{01}}\right)^2}\).

Після піднесення до квадрату і нескладних перетворень отримаємо:

Це рівняння є загальним рівнянням еліпса. Отже, при накладанні вказаних лінійно поляризованих хвиль в загальному випадку утворюється результуюча хвиля, в якій світловий вектор обертається навколо променя і змінюється так, що проекція його кінця описує еліпс, тобто виникає еліптично поляризоване світло.

Конкретні параметри поляризації залежать від амплітуд \(E_{01},{}E_{02}\) і різниці фаз \(\delta\) хвиль, що накладаються. Зокрема, залежно від знаку \(\sin\delta\) поляризація може бути правою або ліво. У цьому легко переконатися, знайшовши з (5.6) похідну по часу:

\((\mathrm{d}E_x/\mathrm{d}t)=-\omega{E}_{01}\sin\omega{t}\),   \((\mathrm{d}E_{y}/\mathrm{d}t)=-\omega{E}_{02}\sin(\omega{t}+\delta)\).

При \(t=0\) \((\mathrm{d}E_x/\mathrm{d}t)=0\) і \((\mathrm{d}E_y/\mathrm{d}t)=-\omega{E}_{02}\sin\delta\). Тож при спостереженні проти ходу променя у випадку \(0\lt\delta\lt\pi\) вектор \(\vec{E}\) обертається за годинниковою стрілкою і світло є право поляризованим. Відповідно, при \(-\pi\lt\delta\lt{0}\) поляризація ліва.

Окремі випадки. Величина різниці фаз та співвідношення амплітуд визначають орієнтацію еліпса (5.7) і його ексцентриситет («сплющеність»). При цьому є декілька важливих окремих випадків.

1)      \(\delta=\pm\pi/2\). У цьому випадку рівняння (5.7) надуває вигляду

\(\frac{E_{x}^{2}}{E_{01}^{2}}+\frac{E_y^2}{E_{02}^2}=1\),

тобто осі еліпса орієнтовані вздовж осей координат. Якщо \(E_{01}\gt{E}_{02}\), то еліпс сплющений уздовж осі OY, а при \(E_{01}\lt{E}_{02}\) – уздовж осі OX.

2)      За умови \(E_{01}=E_{02}=E_0\) рівняння (5.7) перетворюється на рівняння кола

\(E_{x}^{2}+E_{y}^{2}=E_{0}^{2}\).

Отже якщо накладаються когерентні плоско поляризовані хвилі із зсувом фаз у чверть періоду та однаковою амплітудою, то можна отримати хвилю, що поляризована по колу в той або інший бік.

3)      \(\delta=0,{}\pm\pi\). У цьому випадку з рівняння (5.7) випливає, що

\(E_{y}=\pm\frac{E_{02}}{E_{01}}E_x\),

і еліпс вироджується у відрізок прямої. Тож кінець вектора \(\vec{E}\) здійснює коливання вздовж фіксованого напрямку і першій і третій (при \(\delta=0\)) або другій та четвертій чвертях (при \(\delta=\pm\pi\). Напрям коливань визначається амплітудами \(E_{01}\) та \(E_{02}\), зокрема, при \(E_{01}=E_{02}\) він складає кут \(45^{\circ}\) з осями координат. Отже, вибираючи потрібне співвідношення \(E_{01}/E_{02}\), можна отримати бажану орієнтацію площини поляризації результуючої хвилі.