ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА

У механізмах і машинах окрім тіл, які обертаються навколо нерухомої осі чи здійснюють плоскі рухи (колеса, маховики, шатуни), використовують і так звані гіроскопи – масивні симетричні обертові тіла, осі обертання яких не є жорстко закріплені й можуть змінювати напрям під час руху. За таких умов спостерігається низка специфічних і досить складних ефектів. Деякі з них спрощено розглядаються в наступних питаннях:

3.1.  Зв’язок між векторами \( \vec{L} \) і \( \vec{\omega} \)

3.2.  Гіроскопічний ефект

3.3.  Прецесія

         Контрольні запитання

3.1.Зв’язок між векторами \( \vec{L} \) і \( \vec{\omega} \)

  Симетричне тіло. Особливості поведінки гіроскопів є зумовлені специфікою  зв’язку   між моментом імпульсу та кутовою швидкістю в  обертових твердих тілах.

  Спочатку визначимо  вектор моменту імпульсу  \(\vec{L}\) симетричного однорідного тіла, що обертається  навколо осі симетрії із заданою кутовою швидкістю \(\vec{\omega}\).

Для цього розглянемо якусь і-ту пару  точок  тіла однакової маси Δm, що розташовані на відстані R_і від осі симетрії OZ, як на рис. 5.8а (контур тіла не показано).  Ці точки мають однакові швидкості v_i =v_i′ = ωR_i та імпульси p₁ = p′₁ = ΔmωR_i. Відтак і їхні моменти імпульсу відносно початку О теж однакові за модулем і, згідно з  означенням (1.1), дорівнюють L₁ = L₁′ = ΔmωR_ir_і. При цьому з міркувань симетрії випливає, що напрямки векторів \({\vec{L}_1}\)  і \({\vec{L}_1{'}}\) (на рисунку не показані) є симетричні відносно осі обертання OZ. Тому сумарний вектор моменту імпульсу \( \vec{L}_i\) такої пари точок за напрямом збігається із вектором \(\vec{\omega}\) і має модуль L_i = 2L_1z. 

Отже,  враховуючи вирази  (2.4) і  (2.5), маємо для моменту імпульсу пари точок \({\vec{L}_i}\)  і всього тіла \(\vec{L}=\sum{{{{\vec{L}}}_{i}}}\) :

\({{L}_{i}}=2\Delta mR_{i}^{2}\) = I_і\(\vec{\omega}\)

і

де \({{I}_{i}}=2\Delta mR_{i}^{2}\)  – момент інерції даної пари точок і I = \(\sum{{I_{i}}}\) – момент інерції всього тіла відносно осі обертання OZ.

При цьому, позаяк момент інерції тіла залежить від відстаней R_і, а не r_і, то при обертанні навколо осі симетрії момент імпульсу тіла не залежить від положення початку відліку на осі.

Асиметричне тіло. Якщо  вісь обертання не співпадає з віссю симетрії тіла, або воно є асиметричним, то вектор моменту імпульсу складає якийсь кут α з вектором \( \vec{\omega } \)^[6] (рис. 5.8б). Як наслідок, обертаючись разом із тілом, вектор \( \vec{L}\)
описує конус, а його кінець – коло в перпендикулярній до осі обертання площині. Тож вектор \( \vec{L} \) за будь-який елементарний проміжок часу dt набуває приросту \( \mathrm{d}\vec{L}\), напрям якого є дотичним до цього кола і перпендикулярним до осі обертання, (рис. 5.8б). А це, згідно з рівнянням (1.4), означає, що на тіло діє певний момент сил однакового з \( \mathrm{d}\vec{L} \) напрямку. Він створюється поперечними силами реакції опор (підшипників) \( {\vec{F}}'\) і \({\vec{F}}''\), які виникають через асиметрію в розподілі маси тіла відносно осі обертання. Відповідно, з боку осі на підшипники діють такі самі сили протилежного напрямку, котрі можуть спричинити швидкий знос чи навіть руйнування підшипників і викликають шкідливі вібрації пристрою, в якому вони закріплені. Тому обертові деталі та вузли механізмів і машин ретельно  балансують, аби забезпечити максимально симетричний розподіл маси відносно осі обертання.

3.2. Гіроскопічний ефект

Як говорилося, гіроскопом називається масивне симетричне тіло (маховик), яке може обертатися з великою швидкістю навколо осі симетрії. Зазвичай гіроскоп уміщують у так званий кардановий підвіс, який являє собою систему з трьох концентричних рухомих кілець^[9] (рис. 5.9а).

Маховик і кільця можуть вільно обертатися навколо взаємно перпендикулярних осей А′А, В′В і D′D (рис. 5.10б), що забезпечує можливість орієнтації осі гіроскопа А′А у будь-якому напрямі. Тому гіроскоп у кардановому підвісі називається вільним гіроскопом. Зазвичай одна з точок осі гіроскопа є закріпленою, і її називають точкою опори гіроскопа. У показаному на рис. 5.10 гіроскопі точкою опори є спільний центр кілець. Нарешті, якщо точка опори збігається з центром мас маховика, то гіроскоп називають зрівноваженим.

Очевидно, що сума моментів усіх зовнішніх сил, які діють на вільний зрівноважений гіроскоп, дорівнює нулю. Тому, згідно із законом збереження моменту імпульсу, напрям осі гіроскопа буде лишатися незмінним навіть, якщо його каркас буде рухатися довільним чином. На цьому базується робота гірокомпаса – приладу, який дозволяє визначати напрям у просторі, не використовуючи магнітне поле Землі.

З властивостями гіроскопа можна познайомитися, переглянувши наведені нижче фільми.

Якщо на гіроскоп почне діяти зовнішній момент сил, то його момент імпульсу буде змінюватись у відповідності до рівняння моментів :

При цьому вісь гіроскопа поводиться досить несподівано. Якщо у зображеному на рис. 5.10а вільному зрівноваженому гіроскопі (кардановий підвіс не показано) спробувати повернути вісь гіроскопа АА' за годинниковою стрілкою вертикальній  площині навколо перпендикулярної горизонтальної осі ВВ', приклавши пару сил \({{\vec{F}}_{1}}\) – \({{\vec{F}}_{2}}\), то, всупереч очікуванню, вісь гіроскопа повернеться не навколо  осі ВВ', а в горизонтальній площині навколо вертикальної осі DD'.

Така поведінка осі гіроскопа під дією зовнішніх сил називається гіроскопічним ефектом. Хоча цей ефект психологічно важко сприймається, він прямо випливає з рівняння моментів. Справді, прикладена пара сил створює відносно точки опори гіроскопа О момент \(\vec{M}\), який за правилом правого гвинта напрямлений уздовж горизонтальної осі ВВ' (рис. 5.10а). Тож за з рівнянням (3.2) такий самий напрям має і вектор приросту моменту імпульсу гіроскопа \(d\vec{L}\). А це означає, що вектор \(\vec{M}\), а з ним і вісь гіроскопа АА' , повертається в горизонтальній площині навколо вертикальної осі DD′.

Уявімо тепер ситуацію, коли  вутрішнє кільце підвісу та вісь гіроскопа А-А', вимушено обертаються в  горизонтальній площині навколо вертикальної осі DD′ (рис. 5.10б). У такому разі вектори моменту імпульсу гіроскопа \(\vec{M}\) та його приросту \(d\vec{L}\) теж обертається в горизонтальній площин, причому \(d\vec{L}\) є перпендикулярним до \(\vec{M}\).  Згідно з (3.2), це означає, що при вимушеному обертанні осі гіроскопа на нього діє якийсь напрямлений горизонтально момент сил. Цей момент створюється вертикальними силами реакції підшипників F₁-F₂ в осі гіроскопа (рис. 5.10б). У свою чергу такі самі протилежно напрямлені сили F₁′-F₂′  діють з боку осі на підшипники. Ці сили називають гіроскопічними силами, а створюваний ними момент – гіроскопічним моментом. Значні гіроскопічні сили виникають, наприклад, у підшипниках масивних роторів турбін кораблів при різких змінах курсу та у штормову погоду, або в підшипниках карданних валів автомобілів на крутих віражах, що може спричинити руйнування підшипників.

Але гіроскопічний ефект знаходить і корисні застосування, зумовлені тим, що гіроскоп чинить спротив зміні напрямку осі обертання. Приміром, масивні гіроскопи використовують для стабілізації положення корабля, або вагонів монорейкової залізниці. Прояви гіроскопічного ефекту спостерігаються й при їзді на велосипеді чи мотоциклі, позаяк колеса швидко обертаються і “працюють” як гіроскопи. Це не дає байкеру падати при русі по прямій. При поворотах він також використовує гіроскопічний ефект. Відхиляючись при повороті від вертикалі, велосипедист повертає вісь переднього (кермового) колеса у вертикальній площині навколо напрямку руху, внаслідок чого виникає гіроскопічний момент, який повертає вісь колеса в горизонтальній площині, спонукаючи велосипед повертати в бік нахилу велосипедиста.

3.3. Прецесія

Ще одним проявом гіроскопічного ефекту є так званий прецесійний рух осі гіроскопа, або просто прецесія. Розглянемо це явище на прикладі відомої дитячої іграшки дзиґи – симетричного тіла, яке може швидко обертатись навколо власної осі на горизонтальній опорі як незрівноважений гіроскоп. Поставлена вертикально нерухома дзиґа неодмінно завалюється під дією сили тяжіння. Але розкручена дзиґа, навіть відхилена, не падає – її вісь описує конус навколо вертикалі (рис. 5.12). Такий рух називається прецесією осі.

Поведінка осі дзиґи принципово не відрізняється від поведінки осі зрівноваженого гіроскопа і повністю пояснюється рівнянням моментів. Справді, сила тяжіння \( {m}\vec{g}\) , яка прикладена в центрі мас дзиґи, створює зовнішній момент \(\vec{M}\) відносно точки опори О. Вектор \(\vec{M}\), тож і вектор приросту моменту імпульсу \( {d}\vec{L}\) , весь час є перпендикулярними до вертикальної площини, в якій лежить вісь дзиґи та збіжний із нею за напрямом вектор \( \vec{L}\). Тому вектор моменту імпульсу та вісь дзиґи під дією сили тяжіння не наближаються до площини точки закріплення, а прецесують – описують конуси навколо вертикалі ОZ із незмінним кутом розкриття^[7].

Знайдемо кутову швидкість (частоту) прецесії Ω, скориставшись рис. 5.12 (початок вектора \(\vec{L}\) знаходиться в т. О). За час dt кінець вектора \(\vec{L}\), який рухається навколо осі ОZ по колу радіуса Lsinα, повертається на кут dφ = dL/Lsinα. А за рівнянням моментів dL = Mdt . Звідси для кутової швидкості прецесії Ω = dφ/dt виходить:

Модуль моменту сили тяжіння відносно точки О дорівнює добутку її величини на відстань від центра мас дзиґи до осі OZ (плече), отже, у виразі (3.3) M = mgbsinα, де b – відстань від точки опори О до центра мас дзиґи С. Зваживши також на те, що модуль моменту імпульсу \({L=I\omega}\), де ω – кутова швидкість обертання дзиґи навколо власної осі, отримаємо вираз кутової швидкості прецесії дзиґи

Варто зауважити, що завдяки прецесії кожна точка гіроскопа, крім обертання навколо власної осі із кутовою швидкістю ω, рухається ще і з кутовою швидкістю прецесії Ω навколо осі, що проходить через точку опори. Тому використаний при виведенні формули (3.4) вираз є наближеним. Але при великій частоті обертання Ω << ω, і похибка є неістотною.

Зрозуміло, що вираз (3.3) чинний не лише для дзиґи, на яку діє момент сил тяжіння, а й для будь-якого незрівноваженого гіроскопа, що перебуває під дією зовнішнього моменту сил \(\vec{M}\). Тож, узявши до уваги взаємну ортогональність векторів \(\vec{L}\), \(\vec{M}\) і \(\vec{\Omega}\), загальне співвідношення між ними можна записати у вигляді:

Із цього виразу випливає цікава особливість прецесійного обертання осі гіроскопа: зовнішній момент сил визначає не кутове прискорення, як для "звичайного" тіла, а саму кутову швидкість прецесії. Отже, щойно зникає зовнішній момент, одразу припиняється й прецесія. Тому таку прецесію називають вимушеною.

Контрольні запитання

1. Який напрям має та якою формулою визначається вектор моменту імпульсу симетричного тіла, що обертається навколо осі симетрії?

2. Доведіть, що момент імпульсу симетричного тіла, що обертається навколо осі симетрії, не залежить від положення початку відліку на осі обертання.

3. Поясніть, чому при обертанні навколо заданої осі асиметричного тіла напрям вектора його моменту імпульсу не збігається із напрямом вектора кутової швидкості.

4. У чому полягає гіроскопічний ефект? Як він пояснюється?

5. Що таке гіроскопічні сили? Який напрям вони мають і від чого залежить їхня величина?

6. Що таке прецесія осі гіроскопа? Поясніть, як вона виникає та чим визначається її кутова швидкість?

7. Наведіть та поясніть відомі вам приклади застосування іроскопів.

[1] Це правило гласить: якщо обертати правий гвинт від напрямку вектора \(\vec{r}\)  до напрямку вектора \(\vec{p}\) , то він буде вгвинчуватись у напрямку вектора \(\vec{L}\).