ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "СУЧАСНА ФІЗИКА". Компенсаційний курс

Задача 21.3. У приведених нижче рівняннях ядерних реакцій:

а) \({}_{13}^{27}\mathrm{Al}+{}_{0}^{1}n\to{X}+ {}_{2}^{4}\mathrm{He}\);

б) \({}_{6}^{12}\mathrm{C}+{X}\to{}_{6}^{13}\mathrm{C}\);

в) \({}_{25}^{56}\mathrm{Mn}\to\mathrm{X}+{}_{-1}^{0}e\).

Визначити не вказані частинки X.

Задача 21.4. За допомогою табличних значень мас ядер нуклідів та протона й нейтрона

(маси подані в а.о.м.). Визначити енергію Q наступних реакцій:

1) \({}_{3}^{7}\mathrm{Li}+{}_{1}^{1}p\to{}_{0}^{1}n+{}_{4}^{7}\mathrm{Be}\);

2) \({}_{8}^{16}\mathrm{O}+{}_{1}^{2}\mathrm{H}\to{}_{2}^{4}\mathrm{He}+{}_{7}^{14}\mathrm{N}\)

Задача 21.5. Вважаючи, що в одному акті поділу ядра \({}^{235}\mathrm{U}\) вивільняється енергія E = 200 МеВ, визначити: А) енергію W, що виділяється при поділі m_U = 1 кг урану \({}^{235}\mathrm{U}\); Б) масу m кам'яного вугілля з теплотворною здатністю q = 30 МДж/кг яка еквівалентна в тепловому відношенні одному кілограму  \({}^{235}\mathrm{U}\).

Задача 21.6. З ядер дейтерію (\({}^{2}\mathrm{H}\)) утворився гелій \({}^{4}\mathrm{He}\) масою m_He = 1 г. Визначити: А) енергію Q, що при цьому виділилася; Б) масу m кам'яного вугілля з теплотворною здатністю q = 30 МДж/кг, яку потрібно спалити для одержання такої ж кількості теплової енергії.

Задача 21.7. При бомбардуванні ядер Нітрогену \(\alpha-\)частинками (ядра гелію \({}_{2}^{4}\mathrm{He}\)) утворюються ядра Оксигену та протони:

\({}_{7}^{14}\mathrm{N}+{}_{2}^{4}\mathrm{He}\to{}_{1}^{2}p+{}_{8}^{17}\mathrm{O}\)

Визначити енергетичний вихід Q реакції, якщо кінетична енергія \(\alpha-\)частинки, що налітає, \(T_{\alpha}=4,0\) МеВ, а утворений протон вилітає під кутом \(\theta=60^{\circ}\) до напрямку руху \(\alpha-\)частинки і має кінетичну енергію Tp = 2,09 МеВ.

Задача 21.3

У приведених нижче рівняннях ядерних реакцій:

а) \({}_{13}^{27}\mathrm{Al}+{}_{0}^{1}n\to{X}+ {}_{2}^{4}\mathrm{He}\);

б) \({}_{6}^{12}\mathrm{C}+{X}\to{}_{6}^{13}\mathrm{C}\);

в) \({}_{25}^{56}\mathrm{Mn}\to\mathrm{X}+{}_{-1}^{0}e\).

Визначити

не вказані частинки X.

Розв’язання

У будь-якій ядерній реакції зберігаються зарядове Z і масове A числа:

\(\sum\limits_{i}Z_{ni}=\sum\limits_{i}Z_{ki}\),    \(\sum\limits_{i}Z_{ni}=\sum\limits_{i}A_{ki}\),

де індекс "n" відповідає початковому значенню, "k" – кінцевому. Виконавши відповідні підрахунки для заданих реакцій, знаходимо:

Задача 21.4

За допомогою табличних значень мас ядер нуклідів та протона й нейтрона

(маси подані в а.о.м.)

Визначити

енергію Q наступних реакцій:

1) \({}_{3}^{7}\mathrm{Li}+{}_{1}^{1}p\to{}_{0}^{1}n+{}_{4}^{7}\mathrm{Be}\);

2) \({}_{8}^{16}\mathrm{O}+{}_{1}^{2}\mathrm{H}\to{}_{2}^{4}\mathrm{He}+{}_{7}^{14}\mathrm{N}\)

Розв’язання

Згідно з наведеними числовим даними, енергетичний вихід ядерної реакції слід визначати за формулою (21.7a), враховуючи при цьому енергетичний еквівалент \(c^{2}\cdot{1}\) а.о.м. = 931,5 МеВ

\(Q=\Delta{m}\cdot{931,5}\) МеВб

де \(\Delta{m}=m_{1}-m_{2}\) – різниця сумарних мас вихідних та кінцевих ділянок учасників реакції.

Для реакції 1)

Q = ((7,01601 + 1,00728) – (1,00867 + 7,01693))·931,5 = -1,64 МеВ.

Знак "–" свідчить про те, що дана реакція йде з поглинанням енергії (ендотермічна реакція), тобто вихідним продуктам необхідно надавати енергію, щоб дана реакція стала можлива. Звичайно кінетичну енергію надають більш легким частинкам (тут це протон), розганяючи їх в прискорювачах.

Для випадку 2)

Q = ((15,99491 + 2,01410) – (4,0026 + 14,00307)·931,5 = 3,11 МеВ.

В цій реакції енергія виділяється, і її називають екзотермічною реакцією.

Задача 21.5

Вважаючи, що в одному акті поділу ядра \({}^{235}\mathrm{U}\) вивільняється енергія E = 200 МеВ,

визначити:

А) енергію W, що виділяється при поділі m_U = 1 кг урану \({}^{235}\mathrm{U}\);

Б) масу m кам'яного вугілля з теплотворною здатністю q = 30 МДж/кг яка еквівалентна в тепловому відношенні одному кілограму  \({}^{235}\mathrm{U}\).

Розв’язання

Енергія, що виділяється при поділі одного кілограма урану дорівнює

де N – кількість атомів, що розпалися.

Число N знайдемо на підставі виразів (7.3) і (7.6):

де \(M=235\cdot{10}^{-3}\) кг/моль – атомна маса урану, \(N_{0}=6,02\cdot{10}^{23}\) 1/моль – стала Авагадро. Підставивши значення N (формула (2)) у вираз (1), одержимо:

\(W=\frac{m_{U}}{M}N_{0}\cdot{E}=\frac{1}{235\cdot{10}^{-3}}\cdot{6,02}\cdot{10}^{23}\cdot{200}=5,12\cdot{10}^{26}\) МеВ = \(8,2\cdot{10}^{13}\) Дж.

При згорянні вугілля маси m виділяється кількість тепла (формула (8.18))

Q = qm    \(\Rightarrow\)    \(m=\frac{Q}{q}\).

За умовою енергії, що виділяються, однакові Q = W, тому еквівалентна маса вугілля

\(m=\frac{W}{q}=\frac{8,2\cdot{10}^{13}}{30\cdot{10}^{6}}=2,37\cdot{10}^{6}\) кг = 2733 т.

Задача 21.6

З ядер дейтерію (\({}^{2}\mathrm{H}\)) утворився гелій \({}^{4}\mathrm{He}\) масою m_He = 1 г.

Визначити:

А) енергію Q, що при цьому виділилася;

Б) масу m кам'яного вугілля з теплотворною здатністю q = 30 МДж/кг, яку потрібно спалити для одержання такої ж кількості теплової енергії.

Розв’язання

Реакція утворення більш важких нуклідів з легких називається реакцією синтезу. Схема цієї реакції має вигляд:

\({}_{1}^{2}\mathrm{H}+{}_{1}^{2}\mathrm{H}\to{}_{2}^{4}\mathrm{He}\).

Енергія реакції дорівнює

E = (2m_H - m_He)·931,5 МеВ,

де m_H = 2,01410 а.о.м. – маса ядра дейтерію, m_He = 4,0026 а.о.м. – маса ядра гелію.

Виконаємо обчислення

E = (2·2,01410 – 4,00260)·931,5 = 23,846 МеВ.

В одному грамі гелію міститься кількість атомів (дивись формули (7.3), (7.6))

\(N=\frac{m_{\mathrm{He}}}{M}N_{0}=\frac{10^{-3}}{3\cdot{10}^{-3}}\cdot{10}^{23}=1,505\cdot{10}^{23}\),

тому загальна енергія, що виділилася, складає

\(Q=E\cdot{N}=3,59\cdot{10}^{24}\) МеВ =\(5,74\cdot{10}^{11}\)  Дж.

Для одержання такої ж енергії з вугілля, необхідно спалити масу вугілля

\(m=\frac{Q}{q}=\frac{5,74\cdot{10}^{11}}{3\cdot{10}^{7}}=19140\) кг = 19,14 т.

Зауваження. Якщо порівняти результати цієї і попередньої задач, то стане очевидно, що термоядерна реакція (реакція синтезу) у багато разів ефективніша, ніж реакція поділу урану.

Задача 21.7

При бомбардуванні ядер Нітрогену \(\alpha-\)частинками (ядра гелію \({}_{2}^{4}\mathrm{He}\)) утворюються ядра Оксигену та протони:

\({}_{7}^{14}\mathrm{N}+{}_{2}^{4}\mathrm{He}\to{}_{1}^{2}p+{}_{8}^{17}\mathrm{O}\)

Визначити

енергетичний вихід Q реакції, якщо кінетична енергія \(\alpha-\)частинки, що налітає, \(T_{\alpha}=4,0\) МеВ, а утворений протон вилітає під кутом \(\theta=60^{\circ}\) до напрямку руху \(\alpha-\)частинки і має кінетичну енергію T_p = 2,09 МеВ.

Розв’язання

Енергетичний вихід ядерної реакції можна визначити як різницю сумарної кінетичної енергії частинок, що утворилися в реакції, і сумарної кінетичної енергії вихідних ядер (формула (21.16а)):

Тут враховано, що ядро Нітрогену до реакції перебувало у спокої.

Таким чином, для отримання відповіді необхідно визначити кінетичну енергію ядра \({}^{17}\mathrm{O}\). Для цього скористаємося законом збереження імпульсу:

де \(\vec{p}_{\alpha}\), \(\vec{p}_{p}\), \(\vec{p}_{O}\) – вектори імпульсу відповідно \(\alpha-\)частинки, протона і Оксигену. Векторному рівнянню (2) відповідає діаграма імпульсів на рис.7. З неї очевидно, що модуль вектора \(\vec{p}_{O}\) легко визначити за теоремою косинусів:

\(p_{O}^{2}=p_{\alpha}^{2}-2p_{p}p_{\alpha}\cos\theta\).

Модуль імпульсу і кінетична енергія T зв'язані співвідношенням \(p^{2}=2mT\) (див. формулу (4.3б)), тому

\(2m_{O}T_{O}=2m_{p}T_{p}-4\sqrt{m_{\alpha}m_{p}T_{\alpha}T_{p}}\cos\theta\).

Звідси

\(T_{0}=\eta_{p}T_{p}+\eta_{\alpha}T_{\alpha}-2\sqrt{\eta_{\alpha}\eta_{p} T_{\alpha} T_{p}}\cos\theta\),

де введені позначення \(\eta_{p}=\frac{m_{p}}{m_{O}}=5,9287\cdot{10}^{-2}\), \(\eta_{\alpha}=\frac{m_{\alpha}}{m_{O}}\) = 0,23546.

Підставивши вираз T_O в формулу (1), знаходимо

\(Q=(1+\eta)T_{p}-(1-\eta_{\alpha})T_{\alpha}-2\sqrt{\eta_{\alpha}\eta_{p}T_{\alpha}T_{p}}\cos\theta=-1,2\) МеВ.