ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "СУЧАСНА ФІЗИКА". Компенсаційний курс

Розділ 4. Атомне ядро

Приклади розв'язування задач

Наведені в прикладах ядерні реакції можуть бути позірними й розглядаються за спрощеними схемами.

Задача 4.1. Вважаючи, що всі хімічні елементи мають однакову густину ρ ядерної речовини, знайти склад і питому енергію зв'язку w нуклонів у ядрі, що має на 4 нейтрони більше, ніж протонів, і в k = 2 рази більший за нуклід ⁶Li діаметр d.

Задача 4.2. Знайти масу M кам'яного вугілля із теплотворною здатністю Q = 50 МДж/кг, яка потрібна для отримання такої самої енергії, що й при удаваному синтезі m = 1 г ядер Карбону ¹²С із парами ядер Оксигену ¹⁶O.

Задача 4.3. При бомбардуванні ядра Нітрогену $_{7}^{14}\text{N}$ (азот) $\alpha$-частинкою з кінетичною енергією $T_{\alpha}=4,0$ МеВ утворилося нове ядро та протон, який відлетів із кінетичною енергією T_p = 2,09 МеВ під кутом θ = 60⁰ до напрямку руху $\alpha$-частинки. Визначити народжений нуклід $_{Z}^{A}X$ та величину v й напрям φ його швидкості.

Задача 4.4. В урановій руді разом із радіоактивним Ураном ${}^{238}\mathrm{U}$ є й кінцевий продукт низки його перетворень – Плюмбум ${}^{206}\mathrm{Pb}$ (свинець). Оцінити вік руди T₀, якщо Уран має період піврозпаду $T=4,5\cdot{10}^{9}$ років і за вмістом у руді в η = 2,8 раза перевищує Плюмбум.

Задача 4.5. У теплоізольовану посудину поклали препарат, який містить m = 1 мг $\beta$-активного ізотопу Натрію $_{11}^{24}Na$ з періодом піврозпаду T = 15 годин. Прийнявши, що при розпаді ядер утворювані$\beta$-частинки мають середню кінетичну енергію рівну $\eta=1/3$ максимально можливого значення, оцінити кількість теплоти Q, що виділиться в посудині за добу (t = 24 год.)

Задача 4.1

Вважаючи, що всі хімічні елементи мають однакову густину ρ ядерної речовини,

знайти

склад і питому енергію зв'язку w нуклонів у ядрі, що має на 4 нейтрони більше, ніж протонів, і в k = 2 рази більший за нуклід ⁶Li діаметр d.

Дано:

ρ = const

k = 2

w -?

Розв'язання

Енергія зв'язку нуклонів у ядрі визначається його дефектом маси (п.4.2, формули (4.1) – (4.3)), тобто різницею мас складових нуклонів і самого ядра. Тому ця задача по суті полягає в ідентифікації вказаного ядра – визначенні його масового A та зарядового Z чисел, що за даними умови не складає проблеми, а саме. При однаковій густині речовини ρ = (m/V) ядер відношення їхніх мас дорівнює відношенню об'ємів, отже, замінивши відношення мас на відношення масових чисел A (кількостей нуклонів), а об'ємів – на куб відношення діаметрів ядер d, отримаємо:

$\frac{A}{{{A}_{Li}}}=\frac{V}{{{V}_{Li}}}={{k}^{3}}$ $\Rightarrow $ $A={{k}^{3}}{{A}_{Li}}$.

де k = 2, A_Li = 6, отже, A = 48. У такому разі

(Z+4) + Z = 48 → Z = 22.

Отже, в задачі йдеться про нуклід Титану $_{22}^{48}Ti$.

Відтак, підставивши у вираз (4.2а) отримані величини $A$ та $Z$ і табличні значення мас нуклонів m_p = 1, 0073 а.о.м., m_n = 1, 0087 а.о.м. та ''розшифрованого'' нукліда m_я = 47, 948 а.о.м., знайдемо сумарну W та за формулою (4.3) шукану питому енергію зв'язку визначеного ядра $_{22}^{48}Ti$:

w = 8,5 МеВ/нук.

Варто звернути увагу на те, що отримана величина повністю корелює з наведеним у теоретичних відомостях (п. 4.2) графіком w(A).

Задача 4.2

Знайти

Знайти масу M кам'яного вугілля із теплотворною здатністю Q = 50 МДж/кг, яка потрібна для отримання такої самої енергії, що й при удаваному синтезі m = 1 г ядер Карбону ¹²С із парами ядер Оксигену ¹⁶O.

Дано:

Q = 50 МДж/кг

m = 1 г

M-?

Розв'язання

За умовою енергія згоряння шуканої маси M вугілля

${{E}_{1}}=MQ$

(1)

дорівнює енергії E₂, що має виділятися при синтезі маси m ядер $^{12}C$ :

${{E}_{2}}=\frac{m}{{{m}_{с}}}{{E}_{вих}}$,

(2)

де m_c – маса одного ядра ¹²C і E_вих – енергія, що виділяється при його злитті (синтезі) з двома ядрами ¹⁶O за схемою:

$_{6}^{12}C+2_{8}^{16}O$ → $_{22}^{44}Ti+{{E}_{вих}}$

(3)

в ядро Титану ⁴⁴Ti.

За умовою E₁= E₂, тож із співвідношень (1) і (2), випливає:

$MQ=\frac{m}{{{m}_{c}}}{{E}_{вих}}$ $\Rightarrow $ $M=\frac{{{E}_{вих}}}{Q}\cdot \frac{m}{{{m}_{c}}}$.

(4)

Отриманий вираз по суті є загальною відповіддю задачі, бо величина E_вих визначається формулою (4.4б):

${{E}_{вих}}=\left( {{m}_{c}}+2{{m}_{o}}-{{m}_{Ti}} \right){{c}^{2}}$

і є неявно заданою через табличні значення мас нуклідів: m_О = 15,995 а.о.м., m_Тi = 43,960 а.о.м. і m_с = 12 а.о.м.. Отож, із урахуванням співвідношення 1 а.о.м. = (1/12 )m_с= 1,66·10^–27кг

${{E}_{вих}}$ ≈ 4,5·10^–12 Дж

і за виразом (4)

$M$ ≈ 4,5·10³ кг.

Отримана відповідь означає, що при масі ядер m′ = 1 кг шукана маса вугілля мала би складати M′ = 4,5·10⁶ кг. Тож, узагальнюючи отриманий результат, можна констатувати, що вихід енергії при ядерному синтезі є в мільйони разів більший, ніж при хімічному синтезі – об'єднанні атомів у молекули, що дає наочне уявлення про співвідношення між ядерними та електромагнітними силами.

Задача 4.3

При бомбардуванні нукліду ядра Нітрогену $_{7}^{14}\text{N}$ (азот) $\alpha$-частинкою з кінетичною енергією $T_{\alpha}=4,0$ МеВ утворилося нове ядро та протон, який відлетів із кінетичною енергією T_p = 2,09 МеВ під кутом θ = 60⁰ до напрямку руху $\alpha$-частинки.

Визначити

народжений нуклід $_{Z}^{A}X$ та величину v й напрям φ його швидкості.

Дано:

T_α = 4,0 МеВ

θ = 60°

T_p = 2,09 МеВ

v -?, φ -?

Розв'язання

Передовсім зауважимо, що при кінетичній енергії 4 МеВ швидкість $\alpha$-частинки складає тільки близько 5% швидкості світла c, тож кінетична енергія та імпульс частинок визначаються співвідношеннями класичної механіки.

Ядерні реакції відбуваються зі збереженням заряду та кількості нуклонів. Тому, враховуючи, що $\alpha$-частинка є ядром ізотопу Гелію $_{2}^{4}He$, для утвореного нукліду маємо Z = 8 і A = 17, тобто він є ізотопом Оксигену $_{8}^{17}\text{O}$ (кисню).

Отже, описане перетворення відбувається за схемою:

$_{7}^{14}\text{N}+_{2}^{4}\text{He}\quad \to \quad _{1}^{1}p+_{8}^{17}\text{O}$

і з виконанням закону збереженням власної mc² і кінетичної T енергії та імпульсу $\vec{p}$:

$\left( {{m}_{N}}+{{m}_{\alpha }} \right){{c}^{2}}+{{T}_{\alpha }}=\left( {{m}_{O}}+{{m}_{p}} \right){{c}^{2}}+{{T}_{O}}+{{T}_{p}}$

(1)

${{\vec{p}}_{\alpha }}={{\vec{p}}_{\alpha }}+{{\vec{p}}_{o}}$.

(2)

Із векторної діаграми (рис. 1), яка відображає рівняння (2), зрозуміло, що поперечні складові імпульсу протона та кисню однакові:

${{p}_{p}}\sin \theta ={{p}_{O}}\sin \varphi $.

Звідси, врахувавши, що $p=\sqrt{2mT}$, виразимо кут відльоту як

$\sin \varphi =\sqrt{\frac{{{m}_{p}}{{T}_{p}}}{{{m}_{O}}{{T}_{O}}}}\cdot \sin \theta $

і через означення імпульсу – швидкість $v=\left( p/m \right)$ ядра кисню:

$v=\sqrt{\frac{2{{T}_{O}}}{{{m}_{O}}}}$.

В отриманих виразах кінетична енергія протона є задана, а маси за таблицями складають (а.о.м.):

m_p = 1,oo73, m_α = 4,oo26, m_N = 14,oo31 i m_O = 16,9991.

Отже, для отримання числових значень φ і α не вистачає кінетичної енергії кисню T_O, яка, згідно з рівнянням (1) й енергетичним еквівалентом атомної одиниці маси 931,5 МеВ/а.о.м., для ядра $_{8}^{17}\text{O}$ складає

T_O = 1,258 МеВ.

Відтак після обчислень за виразами (3) і (4) отримаємо:

$\sin \varphi =0,283$ $\Rightarrow $ φ = 16,4^о

і, враховуючи співвідношення 1 МеВ = 1,6·10^–13Дж,

v = 3,3·10⁶ м/с ≈ 0,01 с.

Задача 4.4

В урановій руді разом із радіоактивним Ураном ${}^{238}\mathrm{U}$ є й кінцевий продукт низки його перетворень – Плюмбум ${}^{206}\mathrm{Pb}$ (свинець).

Оцінити

вік руди T₀, якщо Уран має період піврозпаду $T=4,5\cdot{10}^{9}$ років і за вмістом у руді в η = 2,8 раза перевищує Плюмбум.

Дано:

η = 2,8

T= 4,5·10⁹ р.

T₀ - ?

Розв’язання

Шуканий вік руди – то є час T₀, протягом якого в ній існує уран. Отже, згідно із законом радіоактивного розпаду (4.11),

${{N}_{U}}={{N}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{{{T}_{0}}}{T}}}$,

(1)

де N_U – наявна кількість атомів урану в руді і N₀ – їхня кількість на час виникнення руди. Відповідно, кількість утворених атомів свинцю N_Pb = N₀ – N_U складає

${{N}_{Pb}}={{N}_{0}}\left( 1-{{2}^{-\frac{{{T}_{0}}}{T}}} \right)$.

(2)

Відтак, поділивши вирази (1) і (2), дістанемо

$\eta =\frac{{{N}_{\text{U}}}}{{{N}_{\text{Pb}}}}=\frac{1}{{{2}^{-\frac{{{T}_{0}}}{T}}}-1}\text{ }$ $\Rightarrow$ ${{2}^{\frac{{{T}_{0}}}{T}}}$ = $\text{ 2}\cdot \frac{\eta +1}{\eta }$

і, прологарифмувавши отримане співвідношення, знайдемо відповідь:

${{T}_{0}}=T\left( \frac{\ln \frac{\eta +1}{\eta }}{\ln 2} \right)$= 2·10⁹ років.

Задача 4.5

У теплоізольовану посудину поклали препарат, який містить m = 1 мг $\beta$-активного ізотопу натрію $_{11}^{24}Na$ з періодом піврозпаду T = 15 годин.

Прийнявши,

що при розпаді ядер утворювані $\beta$-частинки мають середню кінетичну енергію рівну $\eta=1/3$ максимально можливого значення, оцінити кількість теплоти Q, що виділиться в посудині за добу (t = 24 год.)

Дано:

m = 1 мг = 10^-6 кг

T = 15 годин

η = 1/3

t = 24 год

Q - ?

Розв’язання

Схема $\beta$-розпаду ядра $_{11}^{24}Na$

${}_{11}^{24}\mathrm{Na}\to{}_{12}^{24}\mathrm{Mg}+{}_{-1}^{0}e$ + ${{E}_{вих}}$,

(1)

що відповідає спрощеній загальній схемі (4.6) є неповною, бо не відображує того, що в такій реакції разом із електроном утворюється ще й особлива частинка – антинейтрино. Ця частинка має гранично малу масу та гранично велику проникність і відносить із посудини неконтрольовану частку енергії виходу Е_вих. Через це $\beta$-частинки вилітають із ядер із різною кінетичною енергією, середня величина котрої складає

$\left\langle T \right\rangle =\eta {{E}_{вих}}$.

Тож у посудині за заданий час виділяється кількість теплоти

$Q=\left( {{N}_{0}}-N \right)\eta {{E}_{вих}}$,

де N₀ – початкова кількість радіоактивних ядер у препараті й N – їхня кількість через час t, що за законом розпаду (4.9) дорівнює

$N={{N}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{t}{T}}}$.

Отже, шукана величина Q визначається загальним виразом

$Q={{N}_{0}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)\eta {{E}_{вих}}$,

(2)

в якому, згідно з основними положеннями молекулярно-кінетичної теорії (ФІЗИКА2, формули (1.3), (1.7)) початкова кількість ядер N₀ визначається їхньою загальною m = 1 г і молярною M = 24 г/моль масою та сталою Авогадро N_А = 6,025· 10²³ 1/моль і дорівнює

$N_{0}=\frac{m}{M}N_{A}$ = 2,51·10¹⁹.

Відповідно, енергія виходу E_вих реакції (1) визначається дефектом мас (формула (4.4)):

${{E}_{вих}}=\left( {{m}_{Na}}-{{m}_{Mg}} \right){{c}^{2}}$,

де, згідно з таблицями, m_Na= 23,991 а.о.м. і m_Mg = 23,985 а.о.м.. Тож, ураховуючи енергетичний еквівалент атомної одиниці маси 931, 5 МеВ/(а.о.м.), виходить

E_вих = 5,59 МеВ.

Відтак, згідно із співвідношенням 1 еВ = 1,6·10^–19 Дж, із виразу (2) знайдемо числову відповідь задачі:

Q = 5 МДж.

Задля наочності отриманого результату варто зауважити, що такою кількістю теплоти можна нагріти від 20до 100^оС 15 літрів води.