ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "СУЧАСНА ФІЗИКА". Компенсаційний курс

Розділ ІІІ. Будова атома

3.3. Атом Гідроґену

Згідно зпланетарною моделлю, атом водню являє собою протон навколо якого по коловій траєкторії рухається електрон. В такій моделі, спираючися на закони класичної механіки та постулати Бора, можна отримати наступні вирази для дозволених радіусів електронних орбіт

${{r}_{n}}=\frac{{{\hbar }^{2}}}{k{{m}_{e}}{{e}^{2}}}\cdot {{n}^{2}}$

(3.4)

та енергетичних рівнів атома водню:

${{E}_{n}}=-\frac{{{k}^{2}}{{m}_{e}}{{e}^{4}}}{2{{\hbar }^{2}}}\cdot \frac{1}{{{n}^{2}}}$, n = 1, 2, ...

(3.5)

де m_e, e – маса і заряд електрона, $\hbar=1,054\cdot{10}^{-34}$ Дж·с – зведена стала Планка, $k=\left( 1/4\pi {{\varepsilon }_{0}} \right)=9\cdot {{10}^{9}}$ м/Ф – електрична стала, а параметр n = 1, 2, … визначає порядковий номер рівня й називається головним квантовим числом.

Зазвичай формулу (3.5) записують у вигляді:

${{E}_{n}}=-\frac{{{E}_{1}}}{{{n}^{2}}}$,

(3.5а)

де величина ${{E}_{1}}=\frac{{{k}^{2}}{{m}_{e}}{{e}^{4}}}{2{{\hbar }^{2}}}$ = 13,6 еВ, як видно з формули й рис. 20.1, дорівнює енергії, що необхідна для переведення електрона з основного рівня n = 1 на рівень n → ∞, якому за формулою (3.4) відповідає віддалення електрона від ядра на необмежену відстань r → ∞, тобто іонізація атома.

На енергетичні рівні n > 1, атом може переходити тільки внаслідок зовнішнього впливу, приміром, опромінення світлом, і називаються збудженими рівнями. Відповідні стани атома є нестабільні: в них атом перебуває тільки протягом часу $\tau\sim{10}^{-8}$ c й потому прямо, або каскадно переходить в основний стан із випусканням низки фотонів відповідних частот та довжин хвилі, повний набір яких складає оптичний спектр атома.

Оптичний спектр водню визначається узагальненою формулою Бальмера, що випливає з умови (3.2) та формули (3.5) і має вигляд:

$\nu=R\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right)$, n₂ > n₁,

(3.6)

де величина

$R=\frac{k^{2}me^{4}}{2\pi\hbar^{3}}=3,29\cdot{10}^{15}$ c^–1

(3.7)

називається сталою Рідберґа, а n₁і n₂– номери рівнів, між якими відбувається перехід.

Всі частоти випромінювання природньо групуються у спектральні серії – сукупності, що відповідають переходам електрона на заданий енергетичний рівень n₁ з усіх більш високих рівнів, як схематично показано на рис. 20.1 для перших трьох серій.

Частоти у спектрі поглинати визначаються тією самою формулою (3.6) із знаком ''–''.

На завершення зауважимо, що борівська теорія стосується й так званих ''водньоподібних атомів'' – іонів із зарядом ядра Zе, які мають тільки один валентний електрон. Прикладом може слугувати іон $H{{e}^{+}}$, або $L{{i}^{++}}$. У такому разі в наведених формулах величину ${{e}^{2}}$ слід замінити на $Z{{e}^{2}}$.