ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "СУЧАСНА ФІЗИКА". Компенсаційний курс

Розділ 18. Елементи спеціальної теорії відносності

18.6. Закон взаємозв'язку маси і енергії

У теорії відносності встановлюється також закон взаємозв'язку між масою та енергією, з якого, зокрема, випливає формула кінетичної енергії релятивістської частинки.

У природі діє універсальний закон взаємозв'язку між масою та енергією, відповідно до якого будь-яке тіло має енергію

\(E=mc^{2}\),	(18.6)
або
\(E=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\),	(18.6а)

де m – релятивістська маса тіла, m₀ – маса спокою, c – гранична швидкість.

Величина E називається повною релятивістською енергією. Вона включає кінетичну енергію тіла і всі види внутрішньої енергії, але не включає "зовнішню" потенціальну енергію, тобто потенціальну енергію тіла у зовнішньому полі (наприклад, гравітаційному або електричному) і енергію взаємодії даного тіла з іншими тілами.

Цей закон універсальний: він виконується для будь-яких матеріальних об'єктів, включаючи елементарні частинки, і за будь-яких умов. Зокрема, нерухома частинка має відповідну енергію спокою E₀:

\(E_{0}=m_{0}c^{2}\).

(18.6б)

Це означає, що будь-яка частинка має певний запас енергії тільки завдяки самому факту свого існування, тобто

енергія є невід'ємною характеристикою матерії.

Відповідно до співвідношення (18.6), будь-якій зміні енергії \(\Delta{E}\) відповідає еквівалентна зміна маси \(\Delta{m}\), і навпаки:

\(\Delta{m}=\Delta{E}/c^{2}\),	(18.7)
і
\(\Delta{E}=c^{2}\Delta{m}\).	(18.7а)

Це стосується як енергії, так і маси спокою (формула (18.6б)), тобто енергія (і маса) спокою повинні при відповідних умовах перетворюватися в інші форми. Так і є в дійсності. Наприклад, при утворенні атомного ядра виділяється дуже велика енергія, і маса спокою ядра будь-якого елемента менша за суму мас спокою часток (нуклонів), з яких воно складається.

Закон взаємозв'язку маси і енергії дозволяє одержати вираз для кінетичної енергії релятивістської частинки.

Кінетична енергія T – це енергія руху. Тому вона дорівнює різниці повної енергії (формула (18.6)) і енергії спокою (18.6a) частинки:

\(T=(m-m_{0})c^{2}\),

(18.8)

або, відповідно до формули (18.5),

\(T=m_{0}c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}-1\right)\).

(18.9)

Ця формула теж суттєво відрізняється від класичної, але при \(v/c\ll{1}\) перетворюється на неї:

\(T=\frac{m_{0}v^{2}}{2}\).

(У цьому можна переконатися, використавши у виразі (18.9) відому з математики формулу наближених обчислень \((1+x)^{n}=1+nx\), якщо \(x\ll{1}\). У нас \(x=-v^{2}/c^{2}\), \(n=-1/2\)).