ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ОПТИКА". Компенсаційний курс

Рекомендації до теми

Задача 16.17. Рефлектор прожектора являє собою угнуте сферичне дзеркало з радіусом кривизни R = 30 см. Визначити на якій відстані l  від фокуса дзеркала треба розташувати на головній оптичній осі точкове джерело світла, щоб одержати конічний пучок відбитих променів, що сходиться в точку на відстані L = 10 м від полюса дзеркала.

Задача 16.18. Мурашка повзе зі швидкістю v = 5  мм/с уздовж головної оптичної осі опуклого дзеркала. Визначити швидкість руху зображення мурашки u у момент, коли вона знаходиться на відстані d = 1,5F від дзеркала (F – фокусна відстань).

Задача 16.19. Малий предмет розглядають, приклавши до ока збірну лінзу (лупу) з фокусною відстанню F = 5 см так, що утворюється пряме зображення предмета, розміщене на відстані найкращого зору L = 25 см від лінзи. Визначити положення d предмета та збільшення \(\Gamma\) зображення.

Задача 16.20. Відстань між предметом та його зображенням у розсіювальній лінзі l = 5 см, а збільшення \(\Gamma=0,5\). Визначити фокусну відстань F та оптичну силу лінзи D.

Задача 16.21.Збірна лінза має фокусну відстань F. Визначити: А) при якій відстані d₀ між предметом та лінзою, відстань між предметом та його дійсним зображенням буде найменшою L = L_min; Б) величину L_min.

Задача 16.22. Світна точка S та екран E розташовані на відстані L = 1 м одне від одного. Збірна лінза, вміщена між ними, дає чітке зображення \(\mathrm{S}^{\prime}\) на екрані при двох положеннях, відстань між якими l = 60 см (див. схематичний рис. 22). Визначити фокусну відстань лінзи F.

Задача 16.23. Промені збіжного конічного пучка, що проходять крізь розсіювальну лінзу з фокусною відстанню F = 30  см, перетинаються в точці В головної оптичної осі на відстані L = 60 см від центра лінзи O (рис.23). Визначити відстань l  на яку, зміститься точка перетину променів, якщо лінзу прибрати.

Задача 16.24. Короткозорий хлопець читає книжку, тримаючи її на відстані d₀ = 16 см від очей. Визначити оптичну силу Dл окулярів, які потрібні хлопцеві для корекції зору.

Задача 16.25. Оптична система складається із збірної лінзи Л₁ з відомою фокусною відстанню F₁ і розсівної лінзи Л2, що розміщена у фокальній площині лінзи Л₁ так, що головні оптичні осі лінз співпадають (рис.25). Предмет AB розташований на відстані d₁ = 3F₁ перед збиральною лінзою. Визначити фокусну відстань розсіювальної лінзи F2, якщо система дає дійсне зображення предмета із збільшенням \(\Gamma=2\).

Задача 16.17

Рефлектор прожектора являє собою угнуте сферичне дзеркало з радіусом кривизни R = 30 см.

Визначити

на якій відстані l від фокуса дзеркала треба розташувати на головній оптичній осі точкове джерело світла, щоб одержати конічний пучок відбитих променів, що сходиться в точку на відстані L = 10 м від полюса дзеркала.

Розв’язання

Положення вершини відбитого пучка S′ (рис.17) і джерела S зв'язані формулою дзеркала (16.9). Оскільки дзеркало угнуте і точка S′ є дійсним зображенням точки S, усі величини у формулі (16.9) мають знак «+» (див. правило знаків). Відповідно до тексту задачі f = L і d = F + l, де F – головна фокусна відстань дзеркала. Тому формула (16.9) здобуває вигляд:

\(\frac{1}{F+l}+\frac{1}{L}=\frac{1}{F}\).

Звідси, після елементарних викладок одержуємо

\(l=\frac{F^{2}}{L-F}\).

Для сферичного дзеркала \(F=\frac{R}{2}\) (формула (16.8)), тому

\(l=\frac{R^{2}}{2(2L-R)}\).

З урахуванням того, що за умовою L >> R, остаточну відповідь доцільно представити у вигляді:

\(l\approx\frac{R^{2}}{4L}=4\cdot{10^{-3}}\) м = 4 мм

У такий спосіб джерело варто розташувати на 4 мм далі від полюса P, ніж фокус F. На рис.17-1 для ілюстрації показана побудова ходу одного з променів. (При побудові враховано, що показник заломлення повітря практично рівний одиниці).

Задача 16.18

Мурашка повзе зі швидкістю v = 5 мм/с уздовж головної оптичної осі опуклого дзеркала.

Визначити

швидкість руху зображення мурашки u у момент, коли вона знаходиться на відстані d = 1,5F від дзеркала (F – фокусна відстань).

Розв’язання

Побудуємо зображення мурашки в дзеркалі на момент, коли вона знаходиться в точці A на головній оптичній осі (рис.18).

Для цього (див. Рекомендації, п.3. рис.16.15б):

1) показуємо положення фокальної площини дзеркала F′F″;

2) проводимо допоміжний промінь KC, продовження якого за дзеркалом проходить через центр кривизни дзеркала C. Він перетинає фокальну площину в точці D;

3) будуємо хід променя AB, паралельного KC: після відбивання він йде так, щоб його продовження за дзеркалом перетинається з променем KC у точці D фокальної площини;

4) другий промінь AP, необхідний для побудови зображення, направимо уздовж головної оптичної осі; (після відбивання в точці P (полюс дзеркала) він змінить напрямок на протилежний);

5) На перетині відрізків BD і AC одержуємо уявне зображення A′ точки A.

Відповідно до формули сферичного дзеркала (16.9) з урахуванням правила знаків, маємо:

де F – фокусна відстань дзеркала, d, f – відстані від предмета (мурашки) і її зображення у дзеркалі (рис.18).

Відстань (координата) мурашки до дзеркала змінюється за законом d = d₀ + vt, де d₀ – відстань у початковий момент часу. Підставимо вираз d у формулу (1):

За умовою задачі необхідно визначити миттєву швидкість, що визначається як похідна координати за часом \(u=f^{\prime}(t)\) (див. формулу (1.5)). За правилами визначення похідної дробу маємо:

\(u=f^{\prime}(t)=\frac{Fv(d_{0}+vt+F)-F(d_{0}+vt)v}{(d_{0}+vt+F)^{2}}=\frac{vF^{2}}{(d+F)^{2}}\).

За умовою в заданий момент часу f = 1,5F , тому

Ті ж, хто не володіють вищою математикою, можуть міркувати так. Нехай у заданий момент часу відстань від мурашки до дзеркала дорівнює d. Тоді відстань f від дзеркала до зображення визначається формулою (1). За деякий проміжок часу \(\Delta{t}\) ці відстані зміняться і стануть рівними відповідно d₁ і f₁. Переміщення зображення

звідки

де \(\Delta{d}\) – переміщення мурахи за час \(\Delta{t}\).
З формул (1) і (3) можна зрозуміти, що рух зображення нерівномірний. Отже, для визначення його швидкості треба розглядати переміщення \(\Delta{f}\) і \(\Delta{d}\), за гранично малий проміжок часу \(\Delta{t}\to{0}\). У такому випадку величини d і d₁ у формулі (3) можна вважати рівними і записати:

\(\Delta{f}=\frac{F^{2}\Delta{d}}{(d+F)^{2}}\)

звідки одержуємо швидкість зображення

\(u=\frac{\Delta{f}}{\Delta{t}}=\frac{F^{2}}{(d+F)^{2}}\cdot\frac{\Delta{d}}{\Delta{t}}=\frac{F^{2}v}{(d+F)^{2}}\),

що співпадає з виразом (2).

Задача 16.19

Малий предмет розглядають, приклавши до ока збірну лінзу (лупу) з фокусною відстанню F = 5 см так, що утворюється пряме зображення предмета, розміщене на відстані найкращого зору L = 25 см від лінзи.

Визначити

положення d предмета та збільшення \(\Gamma\) зображення.

Розв’язання

Лупа є найпростішим приладом, що "озброює" око. Для того, щоб зображення було прямим (неперевернутим), точки предмета та їх зображення повинні бути розташовані по один бік від головної оптичної осі лінзи. В збіральній лінзі це можливо, тільки коли предмет розміщений між оптичним центром та фокусом. При цьому зображення є уявним і збільшеним, як видно з побудови рис.19.

Отже, згідно з формулою лінзи (16.13) та правилом знаків і умовою задачі f = L, маємо:

Збільшення зображення визначимо, підставивши вираз (1) у формулу (16.14):

\(\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{L+F}{F}=6\).

З останнього виразу видно, що збільшення тим більше, чим менша фокусна відстань лінзи. Тому в якості луп використовують короткофокусні лінзи, і при розгляданні предмета його розміщують у безпосередньо біля фокуса лупи. Це очевидно з формули (1) за умови F << L.

Задача 16.20

Відстань між предметом та його зображенням у розсіювальній лінзі l = 5 см, а збільшення \(\Gamma=0,5\).

Визначити

фокусну відстань F та оптичну силу лінзи D.

Розв’язання

Побудова зображення предмета AB в розсіювальній лінзі та відповідні відстані показані на рис.20, з якого видно що

Лінійне збільшення лінзи \(\Gamma\) визначається формулою (16.14):

З рівнянь (1) та (2) знайдемо f та d:

\(-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\) \(\Rightarrow\) \(F=\frac{fd}{d-f}=\frac{l\Gamma}{(1-\Gamma)^{2}}=\frac{5\cdot{0,5}}{1-0,5}=10\) см.

Оптична сила лінзи

\(D=-\frac{1}{F}=-10\) дптр.

Задача 16.21

Збірна лінза має фокусну відстань F.

Визначити:

А) при якій відстані d₀ між предметом та лінзою, відстань між предметом та його дійсним зображенням буде найменшою L = L_min;

Б) величину L_min.

Розв’язання

Предмет та його дійсне зображення знаходяться по різні боки від лінзи (рис.21). Тому відстань l між предметом та його дійсним зображенням

Отже

f = L – d.

Підставивши цей вираз у формулу лінзи (16.9), отримаємо залежність L від d:

Далі задачу можна розв'язувати двома способами:

1) з використанням методів вищої математики;

2) алгебраїчно.

I спосіб.

А) Щоб визначити, при якому значенні d = d₀ величина L буде найменшою (L = L_min), знайдемо похідну від L по d і прирівняємо її до нуля. За правилом диференціювання дробу

Мінімальній відстані L = L_min відповідає така величина d = d₀, при якій \(L^{\prime}(d_{0})=0\), отже

Зауважимо, що рівність нулю похідної відповідає також умові максимуму L. Однак відстань d може бути якою завгодно то, згідно з виразом (1), те ж саме можна сказати і про L. Таким чином, відсутні чинники, які б зумовили можливість досягнення максимуму функції L(d).

При цьому враховано те, що \( d_{0}\ne{F}\) і \( d_{0}\ne{0}\), оскільки при \( d_{0}=F\) зображення не існує (див. формулу (16.13)), а \(d_{0}=0\) не має фізичного змісту: предмет не може знаходитись всередині лінзи

Б) Підставивши значення \(d_{0}=2F\) у вираз (2), отримаємо для мінімальної відстані L_min:

\(L_{min}=\frac{4F^{2}}{2F-F}=4F\).

За такої умови з виразу (1) випливає, що f = 2F.

Отже при мінімальній відстані L = L_min: предмет і його дійсне зображення розміщені у подвійному фокусі лінзи. Як наслідок, збільшення \(\Gamma=f/d=1\). Сказане свідчить про те, що для збірної лінзи не лише головні фокуси, а й подвійні фокуси є особливими точками.

II спосіб. Перепишемо вираз (2) у вигляді квадратного рівняння відносно величини d:

Корені цього рівняння можна подати у вигляді:

Обидва корені d₁ і d₂ мають фізичний зміст і визначають два положення предмета відносно збиральної лінзи, при яких на заданій відстані утворюються дійсні зображення (в одному випадку збільшене, а в іншому зменшене). Але з виразу (6) очевидно, що дійсні корені, а отже – розв'язок задачі, існують лише за умови

\(1-\frac{4F}{L}\ge{0}\) \(\Rightarrow\) \(L\ge{4F}\).

Звідси відразу випливає відповідь на запитання Б):

\(L_{min}=4F\).

Підстановка цього значення у виразі (6) дає величину d. (завдання А)):

\(d_{0}=\frac{L_{min}}{2}=2F\).

Задача 16.22

Світна точка S та екран E розташовані на відстані L = 1 м одне від одного. Збірна лінза, вміщена між ними, дає чітке зображення \(\mathrm{S}^{\prime}\) на екрані при двох положеннях, відстань між якими l = 60 см (див. схематичний рис. 22).

Визначити фокусну відстань лінзи F.

Розв’язання

На рис.22-1 схематично показані точка S, її зображення \(\mathrm{S}^{\prime}\) на екрані E, два положення лінзи (1), (2) та відповідні відстані.

Задачу можна розв'язати декількома способами.

I спосіб. Логічно найпростішими є такий шлях. Запишемо формулу лінзи (16.9) для обох положень лінзи та співвідношення, що випливають безпосередньо з умови задачі та рис.22-1:

Ця система з п'яти рівнянь містить 5 невідомих (d₁, f₁, d₂, f₂, F), отже є повною. Розв'язавши її, можна визначити шукану фокусну відстань F. Але такий спосіб не є раціональним, оскільки пов'язаний з громіздкими викладками.

II спосіб. Розв'язання значно спрощується, якщо врахувати оборотність світлових променів, яка дозволяє міняти місцями предмет і його зображення. Відтак стає зрозумілим, що d₂ = f₁ , f₂ = d₁ і рівняння (3) набуває вигляду

Почленно додавши, а потім віднявши, рівняння (2) і (3), легко отримаємо

\(d_{1}=\frac{L-l}{2}\), \(f_{1}=\frac{L+l}{2}\).

Підставивши ці вирази в рівняння (1), після нескладних викладок знайдемо відповідь:

\(\frac{2}{L-l}+\frac{2}{L+l}=\frac{1}{F}\) \(\Rightarrow\) \(F=\frac{L^{2}-l^{2}}{4l}=16\) см.

III спосіб. Скористаємось виразами d₁ і d₂ з задачі 16.19 (формула (6)):

\(d_{1}=\frac{L}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\right)\),

\(d_{2}=\frac{L}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\right)\).

В такому виразі, згідно з співвідношенням (3)

\(l=L\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\) \(\Rightarrow\) \(F=\frac{L^{2}-l^{2}}{4L}\).

Задача 16.23

Промені збіжного конічного пучка, що проходять крізь розсіювальну лінзу з фокусною відстанню F = 30  см, перетинаються в точці В головної оптичної осі на відстані L = 60 см від центра лінзи O (рис.23).

Визначити

відстань l  на яку, зміститься точка перетину променів, якщо лінзу прибрати.

Розв’язання

Промені, що падають на лінзу, не виходять з якоїсь світної точки (джерела). Тому може здатись, що формула лінзи (16.13) тут непридатна через невизначеність параметра d – відстані від "предмета" до лінзи. Але завдяки оборотності світлових променів можна "обернути" задачу в такий спосіб. Розмістимо в точці B точкове джерело, що напрямляє на лінзу конічний світловий пучок, обмежений променями BA′ і BA″ (рис.23-1). Тоді заломлені промені утворять такий самий, як падаючі, але розбіжний пучок, і точка B’ буде уявним зображенням точки B. При цьому OB = L = d  і  OB′ =L – l = f.

З формули лінзи (16.9), враховуючи правило знаків, маємо

звідки

\(l=\frac{L^{2}}{L+F}=40\) см.

Цікаво і корисно звернути увагу на те, що формулі (1) можна надати іншої інтерпретації, яка дозволяє отримати відповідь у цій та подібних задачах одразу, не розглядаючи оберненої задачі. Точка B′ за умовою є точкою перетину продовжень падаючих на лінзу променів. Тому її можна формально трактувати як уявне джерело, тобто як уявний зображуваний предмет. Натомість точка B є дійсним зображенням уявної точки B′. В такому разі OB′ = L – l = d  i  OB = L = f,  і вираз (1) набуває вигляду:

\(-\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=-\frac{1}{F}\),

що співпадає з формулою лінзи (16.9) і відповідає правилу знаків (величина 1/d взята зі знаком "–", а 1/f – зі знаком "+").

Задача 16.24

Короткозорий хлопець читає книжку, тримаючи її на відстані d₀ = 16 см від очей.

Визначити

оптичну силу D_л окулярів, які потрібні хлопцеві для корекції зору.

Розв’язання

Людина з нормальним зором найкраще розрізняє дрібні деталі, якщо предмет розташований на відстані найкращого бачення d = 25 см. Люди з дефектами зору змушені роздивлятися дрібні предмети, тримаючи їх на відстанях d₀, що відрізняються від вказаної. Для корекції зору застосовують окуляри, при цьому кришталик ока та лінзу окулярів можна вважати оптичною системою, в якій лінзи розташовані впритул одна до одної. Оптична сила такої системи D, тобто «скорегованого» ока, визначається формулою (16.15):

де D₀ – оптична сила кришталика, D_л – оптична  сила лінзи окулярів.

За формулою тонкої лінзи (16.13)

де f – відстань між кришталиком та дном ока. (Нагадаємо, що на дні ока знаходиться сітківка, що відіграє роль "екрана", на який фокусується зображення розглядуваних об'єктів). Підставивши вирази (2) у формулу (1), після перетворень дістанемо

\(D_{л}=D-D_{0}=\frac{1}{d}-\frac{1}{d_{0}}=\frac{1}{0,25}-\frac{1}{0,16}=-2,25\) дптр.

Оптична сила від'ємна, отже для короткозорих людей окуляри виготовляються з розсіювальних лінз.

Задача 16.25

Оптична система складається із збірної лінзи Л₁ з відомою фокусною відстанню F₁ і розсівної лінзи Л₂, що розміщена у фокальній площині лінзи Л₁ так, що головні оптичні осі лінз співпадають (рис.25). Предмет AB розташований на відстані d₁ = 3F₁ перед збиральною лінзою.

Визначити

фокусну відстань розсіювальної лінзи F₂, якщо система дає дійсне зображення предмета із збільшенням \(\Gamma=2\).

Розв’язання

Приблизний хід променів і необхідні для аналізу відстані показані на рис.25-1.

Ключ до аналітичного розв'язання задач на зображення в оптичних системах полягає в тому, що зображення, яке створюється (або створювалося б) одним елементом системи можна розглядати як зображуваний предмет для наступного елемента.

В даній задачі це стосується зображення A₁B₁ (див. рис.25-1), яке створювала б лінза Л₁ за відсутності Л₂. Тому варто визначити положення цього зображення. Згідно з формулою лінзи (16.13) та умовою задачі d₁ = 3F₁ маємо:

По відношенню до лінзи Л2 відрізок A₁B₁ є уявним предметом, а A₂B₂ – його дійсним зображенням (див. Задачу 16.23). Тому згідно з правилом знаків для Л₂ формула (16.13) набуває вигляду:

З рис.25-1 видно, що d₂ = f₁ – F₁ і з урахуванням значення (1)

\(d_{2}=\frac{3}{2}F_{1}-F_{2}=\frac{1}{2}F_{1}\).

З подібних трикутників O₂A₂B₂  і O₂O₁C маємо:

\(\frac{f_{2}}{F_{1}}=\frac{H}{h}\)     \(\Rightarrow\)     \(f_{2}=\Gamma{F}_{1}=2F_{2}\),

де \(\Gamma=2\) – задане збільшення системи.

Підставивши ці значення d₂ і f₂ у формулу (2), дістанемо відповідь:

\(-\frac{2}{F_{1}}+\frac{1}{\Gamma{F}_{1}}=-\frac{1}{F_{2}}\)     \(\Rightarrow\)     \(F_{2}=\frac{2}{3}F_{1}\).