ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

2. Приклади розв'язування задач

2.1. Вільні коливання у контурі

Задача 2.1. Ідеальний коливальний контур із повітряним конденсатором і власною частотою ν₁ = 41,405 кГц розмістили під вакуумним ковпаком і відкачали повітря, через що власна частота контуру змінилася на Δν = 13 Гц. За цими даними визначити діелектричну проникність повітря ε.

Задача 2.2. В ідеальному контурі ємністю C = 1 мкФ й індуктивністю L = 100 мкГн відбуваються вільні коливання з амплітудою заряду конденсатора q_m = 0,1 мкКл. Визначити силу струму i в контурі на момент, коли заряд конденсатора є в k = 3 рази менший за q_m.

Задача 2.3. У певний момент часу у вільному коливальному контурі з ємністю C = 20 мкФ й індуктивністю L = 2 мГн напруга на конденсаторі складає u = 10 В, а сила струму в котушці i₁ = 2А. Визначити силу струму i в контурі на момент, коли заряд конденсатора є в k = 3 рази менший за q_m.

Задача 2.1.

Ідеальний коливальний контур із повітряним конденсатором і власною частотою ν₁ = 41,405 кГц розмістили під вакуумним ковпаком і відкачали повітря, через що власна частота контуру змінилася на Δν = 13 Гц. За цими даними

визначити

діелектричну проникність повітря ε.

Дано:

ν₁ = 41,405 кГц

Δν = 13 Гц

ε - ?

Розв’язання

При відкачуванні з конденсатора контуру видаляється діелектрик (повітря). Через це напруженість поля та напруга на обкладках конденсатора зростають, а ємність зменшується, в ε разів. Отож, відношення початкової C₁ та кінцевої C₂ємностей дорівнює

$\frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}=\varepsilon $

А відповідно до формули (2.7) воно складає

$\frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}={{\left( \frac{{{\nu }_{2}}}{{{\nu }_{1}}} \right)}^{2}}$

Отже, шукана проникність

$\varepsilon ={{\left( \frac{{{\nu }_{2}}}{{{\nu }_{1}}} \right)}^{2}}$

Відтак, урахувавши, що за умовою ${{\nu }_{2}}={{\nu }_{1}}+\Delta \nu $, отримуємо відповідь:

$\varepsilon ={{\left( 1+\frac{\Delta \nu }{\nu } \right)}^{2}}$.

Обчислення дає

$\varepsilon $ = 1,00063.

Примітка. Зважаючи на отриману відповідь, умова задачі може здатися не реалістичною, позаяк задана зміна влаcної частоти контуру (Δν/ν) складає всього ≈ 0,02%. Але існуюючі прилади дозволяють робити такі вимірювання з достатньою точністю, так що описаний дослід може входити до лабораторного практикуму у відповідних ВНЗ.

Задача 2.2.

В ідеальному контурі ємністю C = 1 мкФ й індуктивністю L = 100 мкГн відбуваються вільні коливання з амплітудою заряду конденсатора q_m = 0,1 мкКл.

Визначити

силу струму i в контурі на момент, коли заряд конденсатора є в k = 3 рази менший за q_m.

Дано:

C = 10^–6 Ф

L = 10^–4 Гн

$q_{m}$ = 10^–7 Кл

k = 3

i - ?

Розв’язання

Задачу можна розв’язати двома способами.

I спосіб. Нехай заряд конденсатора змінюється з часом за законом (2.8):

$q=q_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0})$,

(1)

де $\omega$ – власна частота контуру й $\varphi_{0}$ – початкова фаза коливань заряду. Тоді за рівнянням (2.11) сила струму в контурі змінюється як

$i=-q_{m}\omega\sin(\omega{t}+\varphi_{0})$.

(2)

Тож, визначивши з рівняння (1) фазу на вказаний в умові момент часу і підставивши її в рівняння (2), можна знайти відповідь. Але зручніше скористатися основною тригонометричною тотожністю: sin²α + cos²α = 1. Тоді із записаних рівнянь маємо

$\sin(\omega{t}+\varphi_{0})=-\frac{i}{q_{m}\omega}$, $\cos(\omega{t}+\varphi_{0})=\frac{q}{q_{m}}$

${{\left( \frac{i}{{{q}_{m}}\omega } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{q}{{{q}_{m}}} \right)}^{2}}=1\quad \Rightarrow \quad i={{q}_{m}}\omega \sqrt{1-{{\left( \frac{q}{{{q}_{m}}} \right)}^{2}}}$

Відтак, урахувавши, що $\frac{q}{q_{m}}=\frac{1}{k}$ і $\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$, знайдемо наступну відповідь:

$i=\frac{q_{m}}{k}\sqrt{\frac{k^{2}-1}{LC}}$ = 94 мА.

II спосіб ґрунтується на законі збереження енергії. А саме.

Через відсутність утрат енергії при вільних коливаннях в ідеальному контурі сумарна енергія електричного W_E, і магнітного W_B полів лишається сталою:

W = W_E + W_B = const.

Тому при зміні енергії якогось із полів в один бік енергія іншого змінюється на таку саму величину в протилежний. Через це в будь-який момент часу величина W дорівнює максимальній енергії кожного з полів, яка визначається формулами ([ІІІ], (1.16), або (1.32а)). Отже, можна записати:

$\frac{q^{2}}{2C}+\frac{Li^{2}}{2}=\frac{q_{m}^{2}}{2C}$ $\Rightarrow$ $i=\sqrt{\frac{q_{m}^{2}-q^{2}}{LC}}$,

де за умовою q = (q_m/k). Отже маємо таку відповідь:

$i=\frac{q_{m}}{k}\sqrt{\frac{k^{2}-1}{LC}}$ = 94 mA.

Зазначимо, що використовування закону збереження енергії, як зазвичай, істотно скоротило розв’язання.

Задача 2.3.

У певний момент часу у вільному коливальному контурі з ємністю C = 20 мкФ й індуктивністю L = 2 мГн напруга на конденсаторі складає u = 10 В, а сила струму в котушці i₁ = 2А.

Визначити

заряд конденсатора q на момент, коли сила струм у котушці i₂ = 1 A.

Дано:

C = 20 мкФ = 2·10^-5 Ф

L = 2 мГн = 2·10^-3 Гн

u = 10 В

$i_{1}$ = 2 А

$i_{2}$ = 1 А

q - ?

Розв’язання

Для розв’язання задачі скористаємося законом збереження енергії, за яким у будь-який момент часу сумарна енергія електричного та магнітного полів у ідеальному контурі лишається незмінною. Тому для будь-яких двох моментів часу t₁ і t₂ можна записати

W_E(t₁) + W_B(t₁) = W_E(t₂) + W_B(t₂)

(1)

і, врахоауючи вирази ([ІІІ], (1.32б) і (3.16)),

$\frac{Cu^{2}}{2}+\frac{Li_{1}^{2}}{2}=\frac{q^{2}}{2C}+\frac{Li_{2}^{2}}{2}$ $\Rightarrow$ $q=\sqrt{C^{2}u^{2}+LC(Li_{1}^{2}-Li_{2}^{2})}$.

Обчислення дають:

q = 400 мкКл.

Примітка. Як і в попередній задачі, відповідь можна було би отримати через рівняння коливань в конденсаторі. Але це було би набагато важче.