ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Розділ ІІ. Електромагнітні коливання. Змінний струм

1.2. Змінний струм

Змінним струмом називаються вимушені коливання в електричному колі, підключеному до джерела ЕРС якого періодично змінюється з часом. В елементарній фізиці розглядаються тільки синусоїдальні змінні струми. Такі струми повсюдно використовуються в електротехніці та побуті. Але в електроніці широко застосовують й інші змінні струми.

У загальному випадку коло змінного струму, крім джерела (генератора) та резисторів, містить конденсатори і котушки індуктивності, котрі теж мають свій опір. Тому в колах змінного струму вирізняють активний і реактивні ємнісний та індуктивний опори. Тож зв'язок між струмом і напругою (ЕРС) генератора визначається повним опором кола і описується законом Ома для змінного струму.

За певних умов у колах змінного струму спостерігається резонанс – явище, котре має важливі практичні застосування.

Потужність змінного струму залежить не тільки від напруги і сили струму, але й від різниці фаз коливань цих величин.

Специфічним для кіл змінного струму є також використання трансформаторів – пристроїв для перетворення напруги та сили струму.

Серед різноманітних змінних струмів найпростішим є синусоїдальний струм, який створюється генератором із напругою (ЕРС)

$u=U_{m}\sin\omega{t}$,

(2.17)

або

$u={{U}_{m}}\cos \left( \omega t-\frac{\pi }{2} \right)$,

(2.17а)

де U_m – амплітуда, $\omega$ – циклічна частота (рад/с).

У техніці змінний струм характеризують лінійною частотою

$\nu =\frac{\omega }{2\pi }$ (Гц)

Генератор змінного струму на електричних схемах зображують так:

Активним опором R (рис.14.4) називають опір резистора в колі змінного струму. Він, як і при постійному струмі, є зумовлений гальмуванням упорядкованого руху носіїв струму іншими частинками провідника. Тож для змінного струму в резисторах є дійсними всі закони постійного струму, зокрема закон Ома:

$i=\frac{u}{R}$,

(2.18)

де i та u – миттєві значення сили струму і напруги на резисторі, R – його опір. Отож, якщо на резистор подати напругу, що змінюється за законом (2.17), струм у ньому буде змінюватися так само:

$i=I_{m}\sin\omega{t}$,

(2.19)

де амплітуда

$I_{m}=\frac{U_{m}}{R}$.

(2.20)

Ємнісним опором називається опір, що створюється в колі змінного струму ідеальним конденсатором.

Напруга на конденсаторі кожної миті дорівнює напрузі генератора (формула (2.17)), до якого він підключений (рис.14.5). Отже, заряд конденсатора q = Cu змінюється з часом за законом

$q=CU_{m}\sin\omega{t}$.

(2.21)

При цьому через з'єднувальні провідники і генератор протікає струм, який називається струмом конденсатора і, позаяк за означенням і = q′ ([ІІІ], ф-ла (2.2)), складає:

$i=\omega{C}U_{m}\cos\omega{t}$,

(2.22)

або

$i=I_{m}\sin\left(\omega{t}+\frac{\pi}{2}\right)$,

(2.22a)

де ${{I}_{m}}=\omega C{{U}_{m}}$ – амплітуда струму.

(Зауважимо, що струм конденсатора – абстрактне поняття, адже він зумовлюється не рухом зарядів між обкладками конденсатора, а зміною напруги на ньому.)

По аналогії з виразом (2.20) амплітуду струму конденсатора можна записати, як

$I_{m}=\frac{U_{m}}{(1/\omega{C})}$.

(2.23)

Отже, струм конденсатора при заданій напрузі обмежується величиною

$X_{C}=\frac{1}{\omega{C}}=\frac{1}{2\pi\nu{C}}$,

(2.24)

яка називається ємнісним опором.

Таким чином, для змінного струму в конденсаторі зв'язок між амплітудами струму I_m і напруги U_m є аналогічний такому для постійного струму:

${{I}_{m}}=\frac{{{U}_{m}}}{{{X}_{c}}}$,

(2.24)

Але, як видно з рівнянь (2.22) і (2.17), для миттєвих значень

$i\ne \frac{u}{{{X}_{c}}}$,

тобто,

для миттєвих значень струму і напруги на конденсаторі закон Ома не виконується.

У колі змінного струму котушка теж створює специфічний індутривний опір, за який є відповідальним явище самоіндукції ([ІІІ], п. 1.4) Якщо котушку з індуктивністю L і активним опором R підключити до генератора змінної напруги (рис.14.6а), то струм i в ній буде визначатися не тільки напругою генератора $u=U_{m}\sin\omega{t}$, а й ЕРС самоіндукції ${{\E}_{c}}=-L{i}'$, так що

$iR={{U}_{m}}\sin \omega t-L{i}'$

Звідси для струму в ідеальній (R = 0) котушці (рис.14.6б) отримуємо наступне диференціальне рівняння

${i}'=\frac{{{U}_{m}}}{R}\sin \omega t$,

(2.25)

з якого випливає, що струм змінюється за законом

$i=I_{m}\sin\left(\omega{t}-\frac{\pi}{2}\right)$,

(2.26)

де величина

$I_{m}=\frac{U_{m}}{X_{L}}$

(2.27)

є його амплітудою, а

$X_{L}=\omega{L}=2\pi\nu{L}$

(2.28)

— індуктивним опором котушки.

Отже, для котушки індуктивності зв'язок між амплітуди струму I_m і напруги U_m в котушці індуктивності є пов'язані між собою так, як і резисторі та конденсаторі. Але для миттєвих значень такого зв'язку немає:

$i\ne{u}/X_{L}$.

Отже, як і в конденсаторі,

миттєві значення сили змінного струму і напруги в котушці індуктивності закон Ома не задовольняють.

Зрозуміло, що розглянутий зв'язок між амплітудами є чинним і в нерозгалуженому (послідовному) колі, що містить всі три види опордв. Це відображає закон Ома для змінного струму:

амплітуда сили змінного струму в колі є прямо пропорційна амплітуді напруги (ЕРС) генератора і обернено пропорційна повному опору кола:

$I_{m}=\frac{U_{m}}{Z}$.

(2.29)

При цьому повний опір Z, інакше — "імпеданс", визначається параметрами елементів кола (R, L, C) і способом їхнього з'єднання. Для найпростішого послідовного кола (рис.14.7)

$Z=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}$,

(2.30)

або

$Z=\sqrt{R^{2}+\left(\omega{L}-\frac{1}{\omega{C}}\right)^{2}}$.

(2.31)

Закон Ома для змінного струму стосується тільки амплітуд. Для миттєвих значень сили струму він не виконується, тобто сила струму в даний момент часу не дорівнює відношенню напруги в цей момент до повного опору. Але це не суперечить співвідношенню (2.29), тому що сила струму і напруга здійснюють коливання зі зсувом фаз і досягають своїх максимальних значень I_m і U_m не одночасно.

Згідно з виразом (2.31), Повний опір Z , тож і амплітуда сили струму, залежать від частоти, як показує рис.14.8. Він, зокрема, відображує явище резонансу в колі змунного струму, що полягає у різкому збільшенні амплітуди при наближенні коливань струму до резонансної частоти $\omega_{р}$, яка відповідає мінімуму повного опору кола й знаходиться з умови

$\omega_{р}L-\frac{1}{\omega_{р}C}$ = 0 $\Rightarrow$ $\omega_{р}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$,

(2.32)

що збігається із власною частотою ідеального контутру з такими самою ємністю та індуктивністю (фомула 2.16).

При резонансі повний опір резонансна амплітуда сили струму I_р відповідно до формул (2.31) та (2.29), дорівнюють

$Z_{р}=R$,

$I_{р}=\frac{U_{m}}{R}$.

Видно, що при резонансі відбувається компенсація ємнісного й індуктивного опорів. Це пояснюється тим, що напруга на конденсаторі й котушці змінюються в протифазі, тож віднімаються.

Потужність змінного струму, що виділяється в колі у кожний момент часу, дорівнює добутку миттєвих значень сили струму і напруги. Ця миттєва потужність змінюється з великою частотою і її достатньо складно безпосередньо виміряти. Тому на практиці потужністю змінного струму називають середнє значення добутку сили струму й напруги.

Повна потужність у колі змінного струму виражається формулою

$P=\frac{1}{2}I_{m}U_{m}\cos\varphi$,

(2.33)

де I_m, U_m – амплітуди сили струму і напруги генератора, $\varphi$ – різниця фаз між коливаннями струму і напруги генератора.

Величина $\cos\varphi$ називається коефіцієнтом потужності і виражається через активний і повний опір кола формулою

$\cos\varphi=\frac{R}{Z}$.

(2.34)

Якщо підставити цей вираз у формулу (2.33) і врахувати закон Ома (формула (2.29), то виходить

$P=\frac{I_{m}^{2}}{2}R=\frac{U_{Rm}^{2}}{2R}$,

(2.35)

де U = I_mR – напруги на активному опорі кола.

Така ж потужність виділялася б у колі постійного струму з опором R при силі струму і напрузі

$I=\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}$, $U=\frac{U_{m}}{\sqrt{2}}$.

(2.36)

Величини I та U, що визначаються формулами (2.36), називаються діючими, або ж ефективними значеннями сили струму і напруги.

Діючі значення є загальноприйнятими практичними характеристиками змінного струму. Зокрема, електровимірювальні прилади показують діючі значення, робочі величини струмів і напруг на різних побутових приладах теж вказують у діючих значеннях.

Із застосуванням діючих значень струму й напруги формули потужності (2.33) і (2.35) записуються у вигляді

$P=IU\cos\varphi$,

(2.37)

та

$P=I^{2}R=\frac{U^{2}}{R}$.

(2.38)

Остання формула показує, що споживана від генератора потужність змінного струму, виділяється тільки на активному опорі, а реактивні елементи – конденсатор і котушка індуктивності – енергії не споживають. Це пов'язано з тим, що при зарядці конденсатор поглинає відповідну енергію, а при розрядці – повністю повертає її в коло. Те ж саме відбувається і у котушці індуктивності при збільшенні і зменшенні сили струму.

Трансформатор – це пристрій для перетворення ("трансформації") величини напруги та сили змінного струму.

Робота трансформатора ґрунтується на явищі електромагнітної індукції.

Трансформатор складається з двох (або більше) ізольованих обмоток, на спільному залізному осерді. Та обмотка, що підключається до джерела живлення, називається первинною, а та, до якої підключають навантаження, – вторинною. Якщо напруга на вторинній обмотці u₂ більша, ніж на первинній u₁, трансформатор називають підвищувальним, інакше (u₂ < u₁) – знижувальним.

Роботу трансформатора якісно можна пояснити так. При протіканні в первинній обмотці змінного струму в залізному осерді виникає змінний магнітний потік, який пронизує обидві обмотки і створює в кожному витку однакову ЕРС індукції ${\E}_{1}$. Активний опір первинної обмотки є малий порівняно з індуктивним. Тому спадом напруги на активному опорі можна нехтувати і вважати, що напруга на первинній обмотці

${{u}_{1}}={{N}_{1}}{{\E}_{1}}$,

де N₁ – кількість витків у первинній обмотці.

При розімкненій вторинній обмотці (режим "холостого ходу") напруга на ній

${{u}_{2}}={{N}_{2}}{{\E}_{1}}$,

де N₂ – кількість витків у вторинній обмотці.

Отже, відношення напруг

$k=\frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{N_{1}}{ N_{2}}$.

(2.39)

В теорії величину k називають коефіцієнтом трансформації, тож для знижувального трансформатора k > 1, а для підвищувального k < 1. Однак на практиці коефіцієнт трансформації підвищувального трансформатора виражають числом $k^{\prime}=\frac{1}{k}$, яке є більшим за одиницю. Наприклад, говорять: "підвищувальний трансформатор з коефіцієнтом трансформації 10".

В трансформаторі певна частка енергії електричного струму втрачається внаслідок виділення тепла на активних опорах обмоток та при перемагнічуванні осердя. Але ці втрати невеликі, і ККД трансформації близький до 1. Тому з достатньою точністю можна вважати, що потужності струму у обмотках однакові:

$U_{1}I_{1}= U_{2}I_{2}$ $\Rightarrow$ $\frac{I_{2}}{I_{1}}=\frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{1}{k}$.

(2.40)

Отже, у скільки разів трансформатор змінює напругу, у стільки ж разів (тільки в зворотному напрямку) він змінює й силу струму.

Додаток. Розв'язок рівняння (2.25) можна отримати або прямим інтегруванням, або опосердковано, наступним чином. З математики відомо, що (coskx)′ = – k(sinkx), отже

$\sin \omega t=-\frac{1}{\omega }{{\left( \cos \omega t \right)}^{\prime }}$.

Підставивши цей вираз у рівняння (2.26), дістанемо

$L{i}'=\frac{{{U}_{m}}}{\omega }{{\left( \cos \omega t \right)}^{\prime }}$,

звідки випливає вираз

$i=\frac{{{U}_{m}}}{\omega L}\cos \omega t$,

що є рівнозначно виразу (2.26).