ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Розділ І. Механічні коливання

2.2. Динаміка та енергія гармонічних коливань

У розглянутих далі задачах по замовчуванню вважається, що сили тертя та опору відсутні і g = 10 м/с².

Задача 1.4. Визначити період T малих коливань кульки масою m = 40 г із зарядом $\left| q \right|$ = 8 мкКл, яку підвішено на тонкій шовковій нитці довжиною l = 1 м у напрямленому вертикально вгору електричному полі з напруженістю E = 300 В/см.

Задача 1.5. Пружну кульку на нитці довжиною l = 0,5 м прикріплено до пружної стінки, що нахилена під малим кутом $\alpha$ до вертикалі, (див. розв'язок, рис. 4). Визначити, з яким інтервалом часу T кулька вдарятиме в стінку, якщо нитку відвести на кут θ₀ = 2$\alpha$ й відпустити.

Задача 1.6. Відкачаний до тиску P = 5 кПа горизонтальний циліндр поперечим перерізом S = 50 см²поділено рухомим поршнем масою m = 2 кг на дві однакові частини довжиною l = 1 м кожна. Нехтуючи товщиною поршня, визначити період T коливань поршня внаслідок незначного поштовху.

Задача 1.7. Визначити період T та амплітуду A коливань пластини масою M = 1,5 кг на вертикальній пружині жорсткістю k = 250 Н/м після падіння на неї шматка пластиліну масою m = 0,5 кг з висоти h = 20 см.

Задача 1.8. Показати, що потенціальна енергія малих коливань математичного маятника масою m і довжиною l визначається формулою $W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}$, де $k=\frac{mg}{l}$.

Задача 1.9. Визначити період T гармонічних коливань маятника на момент, коли потенціальна енергія коливань складає n = 80 % від повної, а зміщення з положення рівноваги та швидкість мають значення x = 2 см і v = 3,1 см/с.

Задача 1.4.

Визначити

період T малих коливань кульки масою m = 40 г із зарядом $\left| q \right|$ = 8 мкКл, яку підвішено на тонкій шовковій нитці довжиною l = 1 м у напрямленому вертикально вгору електричному полі з напруженістю E = 300 В/см.

Дано:

m = 40 г = 0,04 кг

q = 8 мкКл = 8·10^–6 Кл

l = 1 м

E = 300 В/cм = 3·10⁴ В/м

T-?

Розв'язання

Кулька на нитці являє собою математичний маятник (п. 1.3), тож період її коливань задається загальним виразом (1.13) і формулою (1.18). Але за умовою на кульку, крім сили тяжіння $m\vec{g}$, діє ще й вертикальна електрична сила $q\vec{E}$, як показано на рис. 1.4 для випадку q > 0. Тому у виразі (1.16) замість mg має стояти $\left| mg\mp \left| q \right|E \right|$. Тож

$k=\frac{\left| mg\mp \left| q \right|E \right|}{l}$, Рис. 1.4

де знак ''–'' відповідає випадку q > 0 і навпаки.

В такому разі період коливань кульки визначається виразом

$T=2\pi \sqrt{\frac{ml}{\left| mg\mp \left| q \right|E \right|}}$

Обчислення дають наступні значення:

q > 0 : T = 3,14 с; q < 0 : T = 1,57 с.

Рис. 1.4

На завершення варто зауважити таке. При заданих в умові числах сила тяжіння $m\vec{g}$ переважає електричну силу $q\vec{E}$, що й відображає рис. 1.4а. Але загальний вираз (1) є чинним при будь-яких величинах сил та знаках заряду кульки. Тож при збільшенні напруженості електричного поля період коливань буде зростати так, що при $\left| q \right|$E = mg (рис. 1.4б) величина T → ∞. Це означає байдужу рівновагу та відсутність коливань кульки. А далі при $\left| q \right|$E > mg (рис. 1.4в) кулька знову почне коливатись у згоді з виразом (1), але в такому випадку коливання будть вібуватися не під, а над точкою кріплення нитки (рис. 1.4в). (Про це також див. [II], розділ І, задача 1.30).

Задача 1.5.

Пружну кульку на нитці довжиною l = 0,5 м прикріплено до пружної стінки, що нахилена під малим кутом $\alpha$ до вертикалі, рис 4.

Визначити,

з яким інтервалом часу T кулька вдарятиме в стінку, якщо нитку відвести на кут θ₀ = 2$\alpha$ й відпустити.

Дано:

l = 0,5 м

T - ?

Розв’язання

Відповідно до умови кулька стикається зі стінкою пружньо, тобто без утрати енергії, й через рівні проміжки часу T, а в проміжках рухається, як математичний маятник за загальним рівнянням (1.4). Отже, якщо початкову координату кульки (відхилення від вертикалі) позначити як x₀, то далі вона змінюється за законом

$x\left(t\right)={{x}_{0}}\cos {{\omega }}t$.

(1)

З урахуванням співвідношення між кутами $\alpha$ і $\Theta_{0}$, координата кульки на момент зіткнення зі стінкою t₁ дорівнює x₁ = –0,5x₀, тож із рівняння (1) маємо:

$\cos \omega {{t}_{1}}=-0,5\quad \Rightarrow \quad \omega {{t}_{1}}=\frac{2\pi }{3}$

Відтак, узявши до уваги формулу (1.17) і те, що інтервал часу між послідовними зіткненнями кульки зі стінкою T = 2t₁, отримаємо наступну відповідь задачі:

$T=\frac{4\pi }{3}\sqrt{\frac{l}{g}}$ = 0,95 с

Задача 1.6

Відкачаний до тиску P = 5 кПа горизонтальний циліндр перерізом S = 50 см² поділено рухомим поршнем масою m = 1 кг на дві частини довжиною l = 1 м кожна. Нехтуючи товщиною поршня,

визначити

період T коливань поршня внаслідок незначного поштовху.

Дано:

l = 1 м

m = 2 кг

S = 50 см² = 5·10^–3 м²

P = 5 кПа = 5·10³ Па

T - ?

Розв’язання

При відведенні поршня з рівноважного положення в будь-який бік компенсація сил тиску повітря ${{\vec{F}}_{1}}$, ${{\vec{F}}_{2}}$ (рис. 6 ) порушується так, що їхня рівнодійна $\vec{F}$ є спрямована протилежно й має проєкцію на вісь ОХ

F_x = (Р₁ – Р₂)S.

(1)

Тому після вивільнення поршень починає коливатися з періодом, який визначається залежністю F_x(х) повертаючої сили від зміщення x поршня з положення рівноваги. Ця залежнічсть на загал може бути складною, але в даній задачі ситуація спрощується тим, що при малих коливаннях поршня температура повітря в циліндрі лишається сталою. Тож зміна його тиску та об'єму відбувається ізотермічно і є підпорядкована закону Бойля-Маріотта ([ІІІ], п. 1.3) Отже, P₁V₁ = P₂, V₂ = PV і, врахувавши, що V₁ = (l + x)S, V₂ = (l – x)S і V = l S, маємо:

$Pl=P_{1}(l-x)$ $\Rightarrow$ $P_{1}=\frac{Pl}{l-x}$;

$Pl=P_{2}(l+x)$ $\Rightarrow$ $P_{2}=\frac{Pl}{l+x}$.

У такому разі

$F_{x}=PlS\left(\frac{1}{l+x}-\frac{1}{l-x}\right)=-PlS\frac{2x}{l^{2}-x^{2}}$.

За умовою $x\ll{l}$, тож величиною $x^{2}$ у цьому виразі можна знехтувати, тож

$F_{x}=-kx$,

де

$k=\frac{2PS}{l}$.

Отриманий вираз $F_{x}$ збігається з формулою (1.10). Отже, малі, коливання поршня є гармонічними, тож шуканий період T, згідно із загальною формулою (1.13), дорівнює

$T=2\pi \sqrt{\frac{ml}{2PS}}$ ≈ 1,3 c.

Задача 1.7

Визначити

період T та амплітуду A коливань пластини масою M = 1,5 кг на вертикальній пружині жорсткістю k = 250 Н/м після падіння на неї шматка пластиліну масою m = 0,5 кг з висоти h = 20 см (рис. 7).

Дано:

k = 250 Н/м

M = 1,5 кг

h = 20 см = 0,2 м

m = 0,5 кг

T - ? A - ?

Розв’язання

Після падіння пластиліну на пластину створюється пружинний маятник (п. 1.3) масою (M + m) і жорсткістю k. Отже, шуканий період коливань T за формулою (1.15) дорівнює

$T=2\pi\sqrt{\frac{m+M}{k}}=$ 0,57 c.

(1)

Що до амплітуди А, то її можна визначити двома способами.

Спосіб 1. При зіткненні в точці О з координатою x = 0 пластилін пердає пластині деякий імпульс, через що її наступні коливання відбуваються з відповідною швидкістю v₀ й

Коливання пластини з пластиліном відбуваються навколо точки O₁, на відстані х₀ від початкового положення, що визначається умовою компенсації сумарної ваги тіл і сили, з якою на них діє пружина: Рис. 1.7

$ \left( M+m \right)g=k{{x}_{0}} $ $\Rightarrow $ ${{x}_{0}}=\frac{\left( M+m \right)g}{k}$

(2)

При цьому коливання відбуваються не зі стану спокою, як зазвичай, а з певною початковою швидкістю v₀, що визначається законом збереження імпульсу. Тож, зважаючи на непружний характер зіткнення

$mv=\left( M+m \right){{v}_{0}}$,

де v – швидкість пластиліну на момент падіння на пластину, котра складає (див. [І], ф-ла (1.19а)), $v=\sqrt{2gh}$ . Отже, початкова швидкість коливань пластини з пластиліном

${{v}_{0}}=\frac{m}{M+m}\sqrt{2gh}$.

(3)

Рис. 7

Відтак при знайдених початкових умовах (x₀, v₀), із загальних рівняннь гармонічних коливань (1.4) і (1.5) виходить:

$x=A\sin \left( \omega t+{{\varphi }_{0}} \right)$ $\Rightarrow $ $\frac{x}{A}=\sin \left( \omega t+{{\varphi }_{0}} \right)$

${{v}_{x}}=A\omega \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{0}} \right)$ $\Rightarrow $ $\frac{{{v}_{x}}}{A\omega }=\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{0}} \right)$,

звідки, враховуючи відому тригонометричну тотожність, отримуємо:

$\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{v^{2}}{A^{2}\omega^{2}}=1$ $\Rightarrow$ $A=\sqrt{x^{2}+\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}$.

Ця рівність виконцється при будь-якому положенні коливного тіла, тож поклавши x = x₀, отримаємо :

$A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}$ = $\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{{{\left( {{v}_{0}}T \right)}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}}$

Відтак, узявши отримане напочатку (вираз (1)) значення T та обрахувавши за виразами (2) і (3) значення x₀ і v₀ , дістанемо:

А = 9,2 см.

Спосіб 2. Амплітуду коливань можна знайти, й спираючися не на співвідношеня механіки коливань. А саме.

Стискання пружини відбувається за рахунок енергії пластини з пластиліном . Тому, якщо прийняти потенціальну енрегію тіл у найнижчій точці за 0, то на момент зупинки вся їхня енергія перейде в енергію деформації пружини на величину відстані x від початкового до крайнього положення пластини. Отже,

$\frac{k{{x}^{2}}}{2}$ = $\frac{\left( M+m \right)v_{0}^{2}}{2}+\left( M+m \right)gx$ $\Rightarrow$ $k{{x}^{2}}-2\left( M+m \right)gx-\left( M+m \right)v_{0}^{2}=0$

Корені цього рівняння складають:

${{x}_{1,2}}=\frac{\left( M+m \right)g}{k}\pm \sqrt{{{\left( \frac{\left( M+m \right)g}{k} \right)}^{2}}+\frac{\left( M+m \right)v_{0}^{2}}{k}}$

або, враховуючи вирази (2) і (3),

${{x}_{1,2}}={{x}_{0}}\pm \sqrt{{{\left( \frac{\left( M+m \right)g}{k} \right)}^{2}}+\frac{\left( M+m \right)2gh}{k}}$.

Зрозуміло, що другі доданки в цьому виразі визначають макимальне відхилення пластини з пластиліном від точки рівноваги сил, тобто шукану амплітуду коливань. Отже,

${A}=\sqrt{{{\left( \frac{\left( M+m \right)g}{k} \right)}^{2}}+\frac{\left( M+m \right)2gh}{k}}$.

Обчислення дають

A = 9,2 см,

що, природньо, збігається із отриманим раніше значенням. Варто також відмітити, що перший доданок під радикалом дорівнює $x_{0}^{2}$. Отже, пластина з пластиліном, незалежно від їхньої маси та жорсткості пружини, повертаючись із найнижчої точки, підніметься вище початкового положення. Це пояснюється тим, що коливання почалися не зі стану спокою, як зазвичай, і з певною початковою кінетичною енергією.

Задача 1.8

Показати,

що потенціальна енергія малих коливань математичного маятника масою m і довжиною l визначається формулою $W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}$, де $k=\frac{mg}{l}$.

Розв’язання

Потенціальна енергія маятника обумовлена дією на нього сили тяжіння і виражається формулою

$W_{п}=mgh$,

(1)

де m – маса маятника, h – висота підйому над положенням рівноваги (див. рис.8). З рис.8 видно, що

$h=AO-AB=l-l\cos\alpha$ $\Rightarrow$ $h=l(1-\cos\alpha)=2l\sin^{2}\frac{\alpha}{2}$.

(2)

Оскільки маятник здійснює малі коливання ($x\ll{l}$), то $\alpha\ll{1}$ рад. Тому $\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}$, і вираз (2) набуває вигляду:

$h=2l\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2}=\frac{l\alpha^{2}}{2}$.

Підставивши його у формулу (1) і зробивши заміну $\alpha=x/l$, отримаємо

$W_{п}=\frac{mgx^{2}}{2l}=\frac{kx^{2}}{2}$,

де $k=\frac{mg}{l}$, що і треба було довести.

Ця задача ілюструє універсальність формули (13.19): вона може бути застосовна до будь-яких гармонічних коливань, а не тільки до коливань під дією сили пружності.

Задача 1.9

Визначити

період T гармонічних коливань маятника на момент, коли потенціальна енергія коливань складає n = 80 % від повної, а зміщення з положення рівноваги та швидкість мають значення x = 2 см і v = 3,1 см/с.

Дано:

n = 80 %

x = 2 см

v = 3,1 см/с

T - ?

Розв’язання

Період коливань тіла на пружині визначається формулою:

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

(1)

Відношення (m/k) знайдемо через повну енергію коливань:

$W=\frac{mv^{2}}{2}+\frac{kx^{2}}{2}=W_{п}\left(\frac{mv^{2}}{kx^{2}}+1\right)$,

(2)

де ($mv^{2}/2$) – кінетична і ($kx^{2}/2$) – потенціальна енергія. Відтак із виразу (2) одержимо

$\frac{m}{k}=\frac{x^{2}}{v^{2}}\left(\frac{W}{W_{п}}-1\right)$.

і після підстановку у формулу (1) дістанемо відповідь:

$T=2\pi\frac{x}{v}\sqrt{\frac{W}{W_{п}}-1}=2\pi\cdot\frac{2}{3,1}\sqrt{\frac{1}{0,8}-1}\approx$ 2 c.