ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс
Розділ І. Механічні коливання
1.5. Диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань
Якщо у рівнянні (1.7) величину ax представити у вигляді другої похідної координати по часу (див. [І], ф-ли (1.8)), то одержимо диференціальне рівняння гармонічних коливань:
|
|
\(x^{\prime\prime}=-\omega^{2}x\). |
(1.21) |
(Примітка. Диференціальним називається рівняння, до якого, крім шуканої функції, входять її похідні).
У математиці доводиться, що єдиними можливими розв'яками рівняння (1.21) є функції sin або cos. При цьому фізична природа величини x не має значення. До прикладу, для математичного маятника роль x відіграє кут відхилення нитки від вертикалі, а при розгляді електромагнітних коливань у коливальному контурі – заряд конденсатора, або сила струму в котушці, тощо.
Рівняння (1.21) виражає загальну ознаку гармонічних коливань:
|
якщо друга похідна по часу деякої фізичної величини є прямо пропорційна до самої величини й має протилежний знак, то ця величина здійснює гармонічні коливання, частота яких визначається коефіцієнтом пропорційності між нею та її другою похідною. |