ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Розділ І. Механічні коливання

1.4. Енергія гармонічних коливань

Коливний маятник має відповідну механічну енергію. При цьому, позаяк вільні гармонічні коливання можливі тільки за відсутності сил тертя та опору, то їхня повна енергія лишається незмінною. Відбуваються лише взаємні перетворення потенціальної та кінетичної енергії в еквівалентних кількостях.

Потенціальна енергія пружинного маятника визначається деформацією пружини внаслідок відхиленням від положення рівноваги, й складає (див. [І], ф-ла (4.8))

\(W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}\).

(1.19)

Отже згідно з рівнянням (1.1), в будь-який момент часу вона дорвнює

\(W_{п}=\frac{kx_{m}^{2}}{2}\cos^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})\),

(1.19a)

де k – жорсткість пружини, x_m – амплітуда коливань.

Формула (1.19) зберігає чинність і для математичного маятника, де потенціальна енергія коливань визначається роботою проти рівнодійної сил тяжіння та натягу підвісу при відхиленні маятника від положення рівноваги. При цьому величина k визначається виразом (1.16):

\(k=\frac{mg}{l}\).

Кінетична енергія гармонічних коливань

\(W_{к}=\frac{mv^{2}}{2}\)

у відповідності до рівняння (1.5) виражається як

\(W_{к}=\frac{mv_{m}^{2}}{2}\sin^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})\),

(1.20)

де m – маса, v_m – амплітуда швидкості тіла.

Якщо за допомогою співвідношень (1.5б) і (1.11) максимальну потенціальну енергію у рівнянні (1.19а) і максимальну кінетичну енергію у рівнянні (1.20) виразити через масу тіла m та частоту \(\omega\) й амплітуду коливань x_m, то вийде:

\(\frac{mv_{m}^{2}}{2}=\frac{kx_{m}^{2}}{2}=\frac{m\omega^{2}x_{m}^{2}}{2}=W_{0}\).

З урахуванням цього повна енергія гармонічних коливань у будь-який момент часу

\(W=W_{к}+W_{п}=W_{0}\left(\cos^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})+\sin^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})\right)=W_{0}\).

Отже, як і говорилося напочатку,

*повна енергія гармонічних коливань зберігається:*
	\(W_{п}+W_{к}=\) const.

Цей результат має просте пояснення: гармонічні коливання можливі тільки тоді, коли відсутні сили тертя й опору, тобто не відбувається перетворення механічної енергії на інші види.