ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Маятниками називають тіла, здатні здійснювати вільні коливання навколо фіксованого положення рівноваги. Найпростішими серед них є пружинний та математичний маятники.

Пружинний маятник являє собою тіло маси m, з'єднане з невагомою пружиною жорсткістю k із закріпленим іншим кінцем (рис.1.4).

За відсутності сил тертя та опору повітря (на практиці – коли ними можна нехтувати), рух маятника визначається тільки силою пружності ([І], розділ V) у деформованій пружині, котра задовольняє умову (1.10)

\(F=-kx\),

де x – величина деформації.

Отже,

пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою

і періодом

де m – маса маятника, k – жорсткість пружини.

Все сказане стосується як горизонтальних (рис.1.4а), так і вертикальних (рис.1.4б) коливань, але в останньому випадку величина x не включає статичну деформацюю пружини маятника під дією сили тяжіння. 

Математичний маятник являє собою тіло маси m на невагомому нерозтяжному підвісі довжиною l із закріпленим кінцем (рис. 1.5).

За відсутності сил тертя в підвісі та опору середовища рух маятника відбувається під дією сил тяжіння \(m\vec{g}\) і натягу підвісу \(\vec{F}_{н}\), рівнодійна яких

\(\vec{F}=m\vec{g}+\vec{F}_{н}\)

при значних відхиленнях маятника (рис.1.5а) складно залежить від кута \(\alpha\). Тому довільні коливання математичного маятника не є гармонічними. Одначе при малих амплітудах ситуація спрощується, бо при \(\alpha\ll{1}\) \(\mathrm{tg}\alpha=\sin\alpha=\alpha\). Отже, можна вважати, що малі коливання математичного маятника відбуваються вздовж горизонтальної  осі ОХ (рис.1.5б) під дією повертаючої сили

\(F_{x}=-mg\cdot\mathrm{tg}\alpha=-mg\alpha\).

З тієї ж причини можна прийняти, що в будь-який момент часу кут відхилення маятника від положення рівноваги α = (x/l). У такому разі

\(F_{x}=-kx\),

де x – зміщення маятника з положення рівноваги і

Отже, згідно з критерієм (1.10),

Зіставивши вираз (1.16) з формулами (1.12) та (1.13), дісттанемо наступні формули для циклічної частоти \(\omega\) та періоду T  коливань математичного маятника: