ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Загасаючі коливання становлять інтерес для теорії. А на практиці щонайширше застосування мають незагасаючі електричні коливання – від промислового змінного струму і до найрізноманітніших радіоелектронних приладів і пристроїв. Для створення незагасаючих коливань у контурі необхідно весь час компенсувати втрати електричної енергії на опорі  R. Це роблять, включаючи в контур зовнішнє джерело (генератор) змінної напруги, яке  створює та підтримує незагасаючі коливання.

Далі розглянуті наступні питання:

5.1. Амплітуда та фаза коливань заряду

5.2. Коливання напруг і струму. Резонанс

 Контрольні запитання

5.1. Амплітуда та фаза коливань заряду

Схема контура для дослідження вимушених коливань була наведена в п. 4.1 і має вигляд:

Там  же було встановлено  й загальне диференціальне рівняння (4.7) послідовного контура:

\( \frac{\mathrm{d}^{2}q}{\mathrm{d}t^{2}}+2\beta\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}+\omega_{0}^{2}q=\frac{\mathcal{E}}{L}\),

Розглянемо контур, в який включено зовнішній генератор із ЕРС, що змінюється за гармонічним законом \(E={{E}_{0}}\cos \omega t\). У такому разі наведене рівняння контура має вигляд:

де β = R/2L – загасання, і ω₀ = \({1}/{\sqrt{LC}}\;\) – власна частота контура.

Із теорії диференціальних рівнянь відомо, що загальні розв’язки цього рівняння можна записати, як 

де \( \omega^{\prime} =\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}\), що збігається з частотою вільних коливань у контурі, а ω — частота генератора.

Така структура функцій  q(t) має просте фізичне обґрунтування. В момент увімкнення генератор виводить контур з рівноважного стану. Відтак у ньому крім вимушених коливань, які створюються й підтримуються генератором і визначаються другим доданком у виразі  q(t), збуджуються й вільні загасаючі коливання (перший доданок). Але останні через якийсь час практично повністю загасають, і в контурі встановлюються стаціонарні вимушені коливання заряду на конденсаторі, що визначаються рівнянням:

За своїми властивостями такі коливання суттєво відрізняються від вільних. Приміром, частота вимушених коливань зовсім не залежить від параметрів контура і задається генератором. Також, на відміну від вільних коливань, у яких амплітуда та початкова фаза не залежать від параметрів контура і “задаються” умовами створення, амплітуда й фаза вимушених коливань визначаються не тільки генератором, а й параметрами контура.

Мовою математики амплітуда q₀ і початкова фаза φ₀ є сталими інтегрування рівняння (5.1), які визначаються шляхом підстановки розв’язку у вихідне рівняння. Тож знайдемо з (5.2) похідні   dq/dt  та  d²q/dt² і підставимо їх у (5.1):

Далі зробимо заміну

і після елементарних викладок дістанемо:

Хоча в рівняння (5.3) входять дві невідомі величини – амплітуда заряду q₀ і початкова фаза  φ₀, – з нього за допомогою векторного зображення гармонічних коливань  (розділ 1, п. 1.2) можна визначити обидва параметри. При цьому ліва частина рівняння (5.3) зображується двома взаємно перпендикулярними векторами, а права – вектором, який є їхньою сумою, як показано на рис. 5.1. Вектори на цій діаграмі утворюють прямокутний трикутник, з якого легко отримати вирази для амплітуди та початкової фази заряду на конденсаторі контура:

і

5.2. Коливання напруг і струму. Резонанс

Вимушені коливання струму та напруг. Вимушені гармонічні коливання в контурі відбуваються за таким самим законом, як і вільні коливання в ідеальному контурі. Тому струм та напруги на конденсаторі і котушці індуктивності визначаються рівняннями й співвідношеннями, що є аналогічними до (4.11), (4.13), (4.15). Тож, увівши в них позначення

отримаємо:

Початкова фаза коливань струму, згідно з (5.5) і (5.6), визначається, як

За фазою коливання напруги на конденсаторі (5.8) відстають, а на котушці індуктивності (5.9) випереджають коливання струму на π/2. Отже, фазові співвідношення при вимушених коливаннях в контурі такі самі, як і при вільних незагасаючих коливаннях.

Резонанс. Як і при механічних коливаннях (розділ 3, п. 3.3), амплітуди вимушених коливань у контурі залежать від частоти. Ці залежності називають амплітудними (або резонансними) характеристиками контура. Відповідно до (5.4) і (4.11а), (4.12а), та (4.15а), вони визначаються такими виразами:

Із цих виразів випливає, що для напруг на конденсаторі й котушці та струму в контурі можливе явище резонансу – проходження амплітуди вимушених коливань через максимум при певній резонансній частоті ω = ω_р.

Резонансну частоту для кожної з указаних величин можна знайти за стандартним алгоритмом, визначивши та прирівнявши до нуля її похідну. Такі обчислення  показують, що резонансна частота стуму збігається із власною частотою контура:

А от резонансні частоти напруг на конденсаторі  ω_с і котушці індуктивності ω_L залежать від загасання  β  і визначаються виразами:

Як видно, ці частоти пов’язані співвідношенням:

\( \omega_{C}\cdot\omega_{L}=\omega_{0}^{2} \)

Підстановка резонансних частот (5.14) – (5.16) у вирази амплітуд (5.11) – (5.13) дає:

При слабкому загасанні величиною  \( \beta^{2} \) під коренем можна знехтувати і, урахувавши (4.34), отримати:

Ці вирази дають простий спосіб вимірювання добротності та показують ще одне “обличчя” цієї важливої характеристики контура:

добротність можна трактувати як коефіцієнт підсилення напруги на ємності або індуктивності контура при резонансі.

Головні особливості резонансу в коливальному контурі наочно відображають рис. 5.2 і 5.3.

На рис. 5.2 показані резонансні криві напруги на конденсаторі та на котушці індуктивності при заданій ЕРС генератора в контурі з малою добротністю й заданим загасанням, а на рис. 5.3 – резонансні криві струму в контурі при різних загасаннях і однаковій ЕРС генератора. Видно, що при зменшенні загасання і збільшенні добротності резонанс стає гострішим: криві  \( {I}_{m}(\omega)\) стають вищими та вужчими. Можна довести, що при слабкому загасанні добротність контура

де  ω₀ – резонансна частота струму (5.14), а  Δω = |ω₁ - ω₂| ширина резонансної кривої, визначена на рівні

як показано на рис. 5.3.

Велика гострота резонансу в контурі з високою добротністю зумовлює широке практичне застосування коливальних контурів у царині радіотехніки та телекомунікацій, позаяк  дозволяє здійснювати селекцію сигналів. Ставлячи на вході приймального пристрою коливальний контур і налаштовуючи його на відповідну резонансну частоту, можна з широкого спектру частот, які приходять з ефіру чи лінії передач, виділяти і далі опрацьовувати сигнали тільки з потрібною частотою. При цьому що вища добротність контура, тим краще він виділяє сигнал заданої частоти. Отже,

добротність виступає ще і як міра селективності контура.

 Контрольні запитання

1. Що треба зробити, аби в реальному коливальному контурі створити гармонічні коливання?

2. Від чого залежить частота стаціонарних вимушених коливань у контурі?

3. Зобразіть приблизний вигляд графіка залежності від часу амплітуди вимушених коливань у контурі.

4.  Чому дорівнює зсув фаз між коливаннями напруги генератора та заряду                  конденсатора  контура? За якої умови коливання заряду за фазою: а) відстають     від  коливань напруги  генератора;  б) випереджають їх?

 5. Відстають чи випереджають за фазою вимушені коливання напруги на                            конденсаторі контура  коливання струму? На скільки?

6. Відстають чи випереджають за фазою вимушені коливання напруги на коушці   контура  коливання струму? На скільки?

7. Відстають чи випереджають за фазою вимушені коливання напруги на конденсаторі контура  коливання напруги на котушці? На скільки?

8. За якої умови вимушені коливання струму в контурі за фазою: а) відстають від коливань напруги генератора; б) випереджають коливання напруги генератора; в) збігаються з коливаннями напруги генератора?

9. При якій частоті амплітуда вимушених коливань струму в контурі є              максимальною?

10. При якій частоті амплітуда вимушених коливань напруги на конденсаторі              контура    є максимальною?

11. Чому дорівнює резонансна амплітуда напруги на конденсаторі контура при            слабкому загасанні?

12. При якій частоті амплітуда вимушених коливань напруги на котушці контура є    максимальною?

13. Чому дорівнює резонансна амплітуда напруги на котушці контура при                      слабкому        загасанні?