ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ". Компенсаційний курс

При обчисленнях скрізь прийнято g = 10 м/с².

Задача 3.15. Потік крізь уміщену в однорідне магнітне поле плоску рамку дорівнює \(\Phi=10\) мВб. Визначити середню ЕРС індукції \(\mathcal{\E}_{с}\), яка виникне в рамці при її повороті за час \(\tau=2\) c на кут \(\varphi=180^{\circ}\) навколо осі перпендикулярної до напрямку поля.

Задача 3.16. Перпендикулярну до напрямку магнітного поля B = 100 мкТл прямокутну рамку площею \(S=50\) см², яка містить N = 100 витків і має опір R = 0,5 Ом, починають обертати з кутовою швидкістю \(\omega = 200\pi\) (рад/с) навколо осі, що проходить через середини протилежних сторін. Визначити залежність I(t) сили струму в рамці від часу та його величину через n = (1/4) оберту.

Задача 3.17. При повороті в магнітному полі перпендикулярної до його напряму дротяної рамки на кут \(\alpha_{1}=180^{\circ}\) навколо осі, що лежить у площині рамки, заряд, який проходить по ній, дорівнює q₁ = 3,6 мкКл, а при повороті на деякий кут \(\alpha_{2}\) він складає q₂ = 0,9 мкКл. Визначити величину \(\alpha_{2}\).

Задача 3.18. Металевий стрижень довжиною l = 25 см, що знаходиться в магнітному полі В = 100 мТл, обертається навколо одного кінця з кутовою швидкістю ω = 2 рад/с в перпендикулярній до напряму поля площині. Визначити напругу (різницю потенціалів Δφ) на кінцях стрижня.

 Задача 3.19. На дві довгі паралельні металеві шини, замкнені з одного боку на резистор R = 100 мОм і вміщені у вертикальне магнітне поле B = 0,5 Тл так, що їхня площина складає кут $\vartheta =20{}^\circ $ з горизонтом, поклали й відпустили провідну поперечку масою m = 20 г. Нехтуючи опором шин і поперечки, визначити, до якої максимальної швидкості v_m вона розженеться при зісковзуванні з коефіцієнтом тертя \(\mu=0,3\), якщо відстань між шинами l = 20 см.

Задача 3.20. Обмотка шкільного реостата є щільно намотана в один шар на циліндричну керамічну трубку діаметром D = 8 см і має довжину l = 30 см. Вважаючи магнітне поле обмотки однорідним, визначити її індуктивність L, якщо при струмі I = 1,5 А  індукція поля всередині B = 2 мТл.

Задача 3.21. При зміні сили струму в котушці на \(\Delta{I}\) = 1 A енергія її магнітного поля  змінилася в n = 4 рази. Визначити, якою була сила струму I₁ в котушці.

Задача 3.15

Потік крізь уміщену в однорідне магнітне поле плоску рамку дорівнює \(\Phi=10\) мВб.

Визначити

середню ЕРС індукції \(\mathcal{\E}_{с}\), яка виникне в рамці при її повороті за час \(\tau=2\) c на кут \(\varphi=180^{\circ}\) навколо осі перпендикулярної до напрямку поля.

Розв'язання

Відповідно до формули (3.11a) та умови задачі середня ЕРС індукції в рамці дорівнює

де \(\Phi\) – задане початкове, а \(\Phi_{2}\) – кінцеве значення магнітного потоку крізь рамку. При цьому 

$\Phi ={{\Phi }_{0}}\cos \alpha $,

де Ф₀ – потік при перпендикулярному розташуванні площини рамки відносно поля, і \(\alpha\) (рис.15 10 показати кут) – початковий кут між нормаллю \(\vec{n}\) до площини рамки та напрямом поля \(\vec{B}\). Відповідно, кінцевий потік

${{\Phi }_{2}}={{\Phi }_{0}}\cos \left( \alpha +180{}^\circ  \right)=-\Phi $.

Отже, згідно з виразом (1), шукана середня  ЕРС індукції при повороті рамки дорівнює

\(\mathcal{\E}_{с}=\frac{2\Phi}{\tau}=0,1\) В.

Зауваження. При розв'язуванні задачі могло здатися, що при повороті на \(180^{\circ}\) площина рамки займає ідентичне до вихідного кінцеве положення, тож кінцевий потік дорівнює початковому й середня ЕРС індукції \(\mathcal{\E}_{с}=0\). Але це не так, бо магнітний потік крізь рамку є алгебраїчною величиною (див. п.1.4), і має не лише певну абсолютну величину, а й відповідний знак, який відповідно до умови змінюється на протилежний.

Задача 3.16

Перпендикулярну до напрямку магнітного поля B = 100 мкТл прямокутну рамку площею \(S=50\) см², яка містить N = 100 витків і має опір R = 0,5 Ом, починають обертати з кутовою швидкістю \(\omega = 200\pi\) (рад/с)  навколо осі, що проходить через середини протилежних сторін.

Визначити 

залежність I(t) сили струму в рамці від часу та його величину I₁ через n = (1/4) оберту.

Розв'язання

За законом Ома (2.13) сила струму в рамці дорівнює відношенню ЕРС індукції, що визначається законом Фарадея (3.13), до опору рамки:

де ${{\Phi }_{1}}$ – магнітний потік крізь один виток, який за формулою (3.10) дорівнює

\(\Phi_{1}=BS\cos\alpha\).

Отже, і враховуючи, що при обертанні рамки з кутовою швидкістю $\omega $ кут \(\alpha\) (рис. 16 11-1) в довільний момент часу складає \(\alpha=\omega{t}\), маємо:

${{\Phi }_{1}}=BS\cos \omega t$,

тож повний потік крізь рамку (формула (3.12)) дорівнює

\(\Phi=NBS\cos(\omega{t})\),

і, згідно з виразом (1) і враховуючи, що, ${{\left( \cos \omega t \right)}^{\prime }}=-\omega \sin \omega t$, отримуємо шукану залежність струму від часу:

$I(t)=\frac{N\omega BS}{R}\sin \omega t={{I}_{m}}\sin \omega t$

де ${{I}_{m}}=\frac{N\omega BS}{R}$ – максимальна величина струму в рамці, яка за даними умови складає 

${{I}_{m}}\approx 63$ мА.

За чверть оберту рамка повертається на 90°, отже

${{I}_{1}}\approx 63$ мА.

Задача 3.17. При повороті в магнітному полі перпендикулярної до його напряму рамки на кут \(\alpha_{1}=180^{\circ}\) навколо осі, що лежить у площині рамки, заряд, який проходить по ній, дорівнює q₁ = 3,6 мкКл, а при повороті на деякий кут \(\alpha_{2}\) він складає q₂ = 0,9 мкКл.

Визначити

величину \(\alpha_{2}\).

Розв'язання

Очевидною причиною проходження по рамці заряду $q$ є індукційний струм ${{I}_{i}}$, який виникає при зміні магнітного потоку крізь неї внаслідок зміни орієнтації в магнітному полі, тобто – кута $\alpha $. Але потрібна для отримання відповіді залежність $q\left(\alpha  \right)$ не є очевидною, бо невідомо, як саме магнітний потік та індукційний струм змінюються з часом. Тому спочатку розглянемо, який заряд $\Delta {{q}_{i}}$ проходить по рамці за довільний малий проміжок часу $\Delta {{t}_{i}}$, врахувавши, що за означенням (2.1а)

$\Delta {{q}_{i}}={{I}_{i}}\Delta {{t}_{i}}$,

де ${{I}_{i}}$ – середня сила індукційного струму, що за законом Ома (2.13) визначається опором рамки $R$ і середньою ЕРС індукції, котра наближено виражається формулою (3.11а):

${{\E}_{i}}\approx -\frac{\Delta {{\Phi }_{i}}}{\Delta {{t}_{i}}}$.

Отже,

${{I}_{i}}\approx -\frac{1}{R}\frac{\Delta {{\Phi }_{i}}}{\Delta {{t}_{i}}}$

і

$\Delta {{q}_{i}}\approx -\frac{\Delta {{\Phi }_{i}}}{R}$.

Відповідно, заряд, що проходить по контуру за весь час повороту 

$q=\sum{\Delta {{q}_{i}}}$     $\Rightarrow $     $q=\frac{\sum{\Delta {{\Phi }_{i}}}}{R}=\frac{{{\Phi }_{0}}-\Phi }{R}$,

де ${{\Phi }_{0}}$ і ${\Phi }$ – початкове та кінцеве значення потоку при повороті контуру.

Таким чином, відповідно до формули (3.10а) і, враховуючи, що $\cos {{\alpha }_{1}}=-1$, маємо:

$\frac{{{q}_{2}}}{{{q}_{1}}}=\frac{1-\cos {{\alpha }_{2}}}{2}$

звідки для заданих значень заряду отримуємо наступну відповідь:

$\cos {{\alpha }_{2}}=\frac{1}{2}\quad \Rightarrow \quad {{\alpha }_{2}}$ = 60°.

Задача 3.18. Металевий стрижень довжиною l = 25 см, що знаходиться в магнітному полі В = 100 мТл, обертається навколо одного кінця з кутовою швидкістю ω = 2 рад/с в перпендикулярній до напряму поля площині. Визначити напругу (різницю потенціалів  Δφ) на кінцях стрижня.

Розв'язання

Вище (Зад. 3.11) цю задачу вже було розв'язано прямим розглядом дії магнітного поля на рухомі заряди. Але зручніше зробити це на основі закону електромагнітної індукції (ЕМІ) (розділ ІІІ, п. 1.4). А саме.  Уявімо, що кінець А стрижня  ковзає по дротяному кільцю радіуса l, а нерухомий кінець О з'єднано провідником з якоюсь точкою С , рис 18. (замість наведеного тут рис. 12 взяти скоригований рис. із зад. 3.11 і провести в ньому ще один радіус ОС по ходу руху), так що утворюється провідний контур АОС, в якому через зміну площі при обертанні стрижня виникає ЕРС та індукційний струм. В такому разі стрижень постає як джерело струму з різницею потенціалів Δφ на полюсах (кінцях), котра підлягає визначенню.

За законом Ома в замкненому електричному колі різниця потенціалів на полюсах джерела відрізняється від ЕРС (див. розділ ІІ, ф-ла (2.11)). Але в нашому удаваному колі (контурі АОС) ніякого струму насправді немає, тому шукана різниця потенціалів Δφ = φ_А – φ_О збігається з ЕРС індукції й за виразом (3.11а) та формулою (3.10а)) складає 

$\frac{S}{T}=\frac{\Delta S}{\Delta t}\quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{1}{2}\omega {{l}^{2}}$.

Підставивши це значення у вираз (1), дістанемо наступну відповідь:

$\Delta \varphi =\frac{1}{2}B\omega {{l}^{2}}$ = 6,25 мВ.

Задача 3.19.

На дві довгі паралельні металеві шини, замкнені з одного боку на резистор R = 0,01 Ом і вміщені у вертикальне магнітне поле B = 0,5 Тл так, що їхня площина складає кут $\vartheta =30{}^\circ $ з горизонтом, поклали й відпустили провідну поперечку масою m = 20 г. Нехтуючи опором шин і поперечки,

визначити,

до якої максимальної швидкості v_m вона розженеться при зісковзуванні з коефіцієнтом тертя \(\mu=0,1\), якщо відстань між шинами l = 20 см.

Розв'язання

 Шини з резистором і поперечка утворюють замкнений провідний контур площею ${S}$ (рис. 19а 14-1а), магнітний потік крізь який $\Phi =BS\cos \vartheta $ при зісковзуванні  поперечки змінюється з часом і створює відповідну ЕРС ${{\E}_{i}}$ та індукційний струм ${{I}_{i}}$. Через це на поперечку, крім сил тяжіння $m\vec{g}$ та тертя ${{\vec{F}}_{т}}$, діє сила Ампера ${{\vec{F}}_{A}}$ (п. 1.3), котра відповідно до правила Ленца (п. 1.4) є гальмівною й спрямована, як показано на рис.19б.

Після вивільнення поперечка починає рухатися з прискоренням, тож швидкість зміни потоку зростає з часом. Тому ЕРС індукції і сила індукційного струму, тож і гальмівна сила Ампера (ф-ла 3.8а), що діє на поперечку, будуть поступово збільшуватись, а прискорення – зменшуватись, аж поки зовсім зникне. Відтак поперечка буде рівномірно рухатись із набутою на цей момент максимальною швидкістю v_m.

Таким чином, умовою максимуму швидкості поперечки є компенсація проєкцій прикладених до поперечки сил на напрям руху (вісь Х). Отже (див. рис. 19 б),

З механіки ([І], п. 2.3) відомо, що

${{F}_{т}}=\mu N$,

де сила нормальної реакції опори ${N}$, яка в нашому випадку зрівноважує нормальні складові (проєкції на вісь Y) сил тяжіння та Ампера і дорівнює

$N=mg\cos \vartheta +{{F}_{A}}\sin \vartheta $.

Таким чином,

Підставивши це значення у вираз (1), після елементарних перетворень отримаємо:

звідки зможемо визначити індукційний струм, а відтак і шукану максимальну швидкість поперечки. А саме, згідно з отриманим виразом і формулою (3.8а),

${{I}_{i}}=\frac{mg}{lB}\cdot \frac{\sin \vartheta -\mu \cos \vartheta }{\cos \vartheta +\mu \sin \vartheta }$,

а за законами Ома (2.13) та Фарадея (3.11)

${{I}_{i}}=\frac{{{\Phi }'}}{R}$,

де $R$ – опір контуру, а \({{\Phi }'}\) – швидкість зміни потоку крізь нього, котра відповідно до формули (3.10), визначається індукцією поля ${B}$ та швидкістю зміни площі зафарбованого прямокутника на рис. 19 б), що дорівнює добутку відстані між шинами на швидкість руху поперечки: ${S}'={lv}$. Тож маємо наступний вираз сили індукційного струму через поперечку

$I=\frac{Blv\cos \vartheta }{R}$,

і після підстановки його в рівність (4) та елементарних перетворень отримаємо загальну відповідь задачі:

$v=\frac{mgR}{{{B}^{2}}{{l}^{2}}}\cdot \frac{\operatorname{tg}\vartheta -\mu }{\cos \vartheta +\mu \sin \vartheta }$.

Обчислення дають

  v = 12 см/с.

Задача 3.20.

Обмотка шкільного реостата є щільно намотана в один шар на циліндричну керамічну трубку діаметром D = 8 см і має довжину l = 30 см. Вважаючи магнітне поле обмотки однорідним,

визначити

її індуктивність L, якщо при струмі I = 1,5 А  індукція поля всередині B = 2 мТл.

Розв'язання

За означенням (3.14) та формулою (3.12)  індуктивність обмотки

$L=\frac{N{{\Phi }_{1}}}{I}$,

де \(\Phi_{1}\) – магнітний потік крізь один виток і N – кількість витків в обмотці, яка дорівнює

\(N=\frac{l}{d}\).

За умовою поле всередині обмотки є однорідне, тобто скрізь однакове за величиною й напрямом. Отже, за формулою (3.10a)

${{\Phi }_{1}}=B\frac{\pi {{D}^{2}}}{4}$,

де $\left( \pi {{D}^{2}}/4 \right)=S$ – площа витка.

Відтак, підставивши вирази N та \(\Phi_{1}\) у вихідну формулу, дістанемо загальну відповідь:

\(L=\frac{\pi{l}D^{2}B}{4dI}\)

і після обчислень

L= 2 мГн.

Задача 3.21.

При зміні сили струму в котушці на $\Delta I$ = 1 A енергія її магнітного поля  змінилася в n = 4 рази. 

Визначити,

якою була сила струму ${{I}_{1}}$ в котушці.

Розв'язання

Відповідь задачі можна знайти одразу, бо крім заданої різниці кінцевого та початкового значень струму

в умові через відношення енергій W магнітного поля (формула 3.16), опосередковано задано і їхнє відношення:

     Але, позаяк не вказано, як змінюється струм, треба окремо розглядати два випадки: А) струм збільшується і Б) струм зменшується.

А) Якщо струм збільшується, маємо:

$\left\{ \begin{align}  & {{I}_{2}}={{I}_{1}}+\Delta I \\ & \frac{{{I}_{2}}}{{{I}_{1}}}=\sqrt{n} \\\end{align} \right.\quad \quad \Rightarrow \quad \quad {{I}_{1}}=\frac{\Delta I}{\sqrt{n}-1}$.

Б) При зменшенні струму

$\left\{ \begin{align}  & {{I}_{2}}={{I}_{1}}-\Delta I \\ & \frac{{{I}_{2}}}{{{I}_{1}}}=\frac{1}{\sqrt{n}} \\\end{align} \right.\quad \quad \Rightarrow \quad \quad {{I}_{1}}=\frac{\sqrt{n}\Delta I}{\sqrt{n}-1}$.

Числові відповіді:

${{I}_{1}}$ = (1 А, або 2 А).