ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Уже говорилося, що спостерігаються та використовуються на практиці коливальні процеси різної природи. Зокрема,  велику роль у житті людини відіграють електромагнітні коливання – періодичні зміни струмів в електричних колах або характеристик електричного та магнітного полів. Це стосується як вимушених коливань, які створюються спеціальними пристроями, так і вільних коливань, які існують завдяки здатності електричного і магнітного полів до взаємних перетворень (ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ. Частина V).

 Вільні електромагнітні коливання   розглядаються далі в наступних питаннях:

4.1. Коливальний контур

4.2. Вільні коливання в ідеальному контурі

4.3. Вільні загасаючі коливання в контурі

        Контрольні запитання

4.1. Коливальний контур

Послідовний контур. Електромагнітні коливання спостерігаються в коливальних контурах – колах, що включають   конденсатори, котушки індуктивності та резистори. Відповідно, електричними параметрами контура є опір R, індуктивність L і ємність C. Зазвичай роль резистора виконують з'єднувальні провідники. Коливальні контури можуть мати різну конфігурацію, але при вивченні загальних властивостей електромагнітних коливань розглядають найпростіші послідовні контури, в яких всі елементи сполучаються послідовно. Крім того, в теорії конденсатор і котушка контура розглядають як ідеальні. А саме, вважають, що електричне поле конденсатора та магнітне поле котушки повністю зосереджені всередині цих елементів, що виключає можливість  випромінювання контуром електромагнітної енергії в простір. Також приймають, що конденсатор заповнено ідеальним діелектриком, а котушка має незмінну індуктивність  L = const, і її власний  опір r включають в опір резистора R. Окрім цього, в загальному випадку  контур включає зовнішнє джерело (генератор) змінної ЕРС  \( \mathcal{E}\). Принципова електрична схема такого контура показана на рис. 4.1.

Загальне рівняння послідовного контура. Коли в колі відбуваються електричні коливання, струм є нестаціонарним, тобто в різні моменти часу його величина не однакова. Але й у різних точках провідника величина струму в заданий  момент часу теж є різною. Це пояснюється тим, що електричне поле, котре створюється  джерелом і визначає величину струму в кожній точці провідника, поширюється вздовж нього із скінченною швидкістю. Через це виникає ефект запізнення – у віддалених від джерела точках задане значення струму встановлюється пізніше, ніж на вході кола. Проте через дуже велику швидкість поширення поля  (c  = 3·10⁸ м/с), ефект запізнення зазвичай є неістотним, і струм у контурі можна вважати квазістаціонарним (див. ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ.  Частина ІІІ, п. 3.1). За такої умови  процеси в контурі є підпорядковані певному диференціальному рівнянню, яке можна встановити на основі загальних законів електричного струму.

Складемо диференціальне рівняння послідовного коливального контура,   (рис. 4.1).

За другим правилом Кірхґофа (ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ, частина.III, п. 2.5) сума спадів напруги на всіх ділянках замкненого контура дорівнює сумі всіх ЕРС, які діють у ньому. В коливальному контурі таких ЕРС дві: ЕРС генератора та ЕРС самоіндукції котушки, отож

Спад напруги на резисторі визначається законом Ома  \( {U}_{R}={IR} \), спад напруги на конденсаторі дорівнює різниці потенціалів між обкладками і визначається його зарядом та ємністю  \({U}_{C}=q/{C}\), а ЕРС самоіндукції за законом Фарадея (ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ, частина. IV, п. 1.2) \( \mathcal{E}_{C}=-L(\mathrm{d}I/\mathrm{d}t) \) . Отже, маємо:

При протіканні струму в контурі кожна порція електрики, що проходить провідником за час dt, потрапляє на пластину конденсатора і змінює його заряд на відповідну величину  dq. Тому в (4.2) величина I дорівнює першій, а  \(\mathrm{d}I/\mathrm{d}{t}\) – другій похідній заряду конденсатора по часу:

Зробимо ці підстановки в (4.2):

і введемо позначення

Відтак отримаємо загальне диференціальне рівнянням послідовного коливального контура:

яке відображає поведінку заряду конденсатора контура. Проінтегрувавши (розв’язавши) його, можна визначити, за яким законом q(t) змінюються з часом заряд конденсатора, а відтак і струм в котушці та напруги на всіх ділянках контура за будь яких заданих умов.

4.2 Вільні коливання в ідеальному контурі

Коливання заряду та напруги на конденсаторі. Власна частота контура. Якщо в контурі  R = 0, то він називається ідеальним. Розглянемо процеси в такому контурі за відсутності генератора (рис. 4.2). У цьому випадку в (4.7) \( \beta =0 \)  і  \( \mathcal{E}=0 \)  , отже

Рівняння (4.8), згідно з (1.18), є рівнянням гармонічних коливань. Це означає, що, коли зарядити конденсатор певним зарядом  q_m  і надати контур самому собі, в ньому виникнуть гармонічні коливання заряду q(t) і напруги U_C(t) конденсатора, які можна описати загальними рівняннями (1.4):

Частота цих коливань, яку називають власною частотою контура, згідно з (4.6), визначається формулою:

а період – формулою Томсона:

Коливання струму та напруги на котушці індуктивності. Рівняння вільних коливань струму в котушці індуктивності контура знайдемо з виразів (4.3), скориставшись рівнянням (4.9):

де амплітуда струму

Задля зручності перепишемо рівняння (4.12) у вигляді:

Порівнюючи це рівняння з (4.11), бачимо, що

вільні коливання струму з в ідеальному контурі випереджають за фазою коливання напруги конденсатора на π/2 , або на чверть періоду.

Для встановлення рівняння коливань напруги на котушці врахуємо, що при вільних коливанннях в ідеальному контурі в рівнянні (4.2)  R = 0  і \( \mathcal{E}={0}\). Отже,

\( \frac{q}{C}+L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}={0}\).

З іншого боку, за другим правилом Кірхґофа за відсутності зовнішнього джерела,

\( {U}_{C}+U_{L}={0}\).

Таким чином,

Визначивши похідну  (\(\mathrm{d}I/\mathrm{d}{t}\))  з (4.12),  отримаємо:

де амплітуда напруги на котушці індуктивності

Порівнюючи рівняння (4.15) і (4.13), бачимо, що

вільні коливання струму в ідеальному контурі відстають від коливань напруги на котушці індуктивності на π/2, або на чверть періоду.

Так само і рівнянь (4.15) і (4.13) випливає, що

в ідеальному контурі вільні коливання напруги на конденсаторі та на котушці індуктивності відрізняються за фазою на π, тож відбуваються в протифазі.

Фазові співвідношення між коливаннями струму та напруг в ідеальному контурі наочно показує рис.4.3:

Перетворення енергії в ідеальному коливальному контурі. Заряджений конденсатор і котушка індуктивності із струмом мають певний запас енергії, що зосереджена в їхніх полях – електричному та магнітному. Сума цих енергій складає енергію коливань у контурі. Позаяк в ідеальному контурі немає випромінювання та виділення  у провідниках  тепла при протіканні струму, то немає жодних каналів перетворення електромагнітної енергії на інші види. Тому

енергія вільних коливань в ідеальному контурі зберігається.

Ці якісні міркування можна обґрунтувати розрахунками. З електродинаміки відомо, що електрична енергія зарядженого конденсатора виражається як

Так само магнітна енергія котушки індуктивності визначається її індуктивністю та струмом:

У коливальному контурі ці енергії, згідно з (4.11) і (4.12) визначаються рівняннями :

Ці рівняння за допомогою відомих формул тригонометрії можна подати інакше:

\( {W}_{C}=\frac{1}{2}W_{Cm}(1+\cos{(2\omega_{0}t+2\varphi_{0})}{)} \),

\( {W}_{L}=\frac{1}{2}W_{Lm}(1-\cos{(2\omega_{0}t+2\varphi_{0})}{)}\).

Звідси випливає, що коливання енергій  W_C і  W_L відбуваються навколо їхніх середніх величин із частотою  ω′ = 2ω₀  і в протифазі. Крім того з виразів (4.10) і (4.12а) маємо:

отже,

\( {W}_{Cm}=W_{Lm}=W_{0}\).

Урахувавши це, для повної енергії коливань у контурі з (4.18) і (4.19) маємо

Таким чином, як і говорилося, повна енергія вільних коливань в ідеальному контурі зберігається. З плином часу відбуваються лише взаємні перетворення енергій електричного поля конденсатора та магнітного поля котушки індуктивності.

Енергетичні перетворення в ідеальному контурі ілюструє рис. 4.4:

4.3. Вільні загасаючі коливання в контурі

Якщо в контурі  R ≠ 0, то при протіканні струму в резисторі виділяється теплота, що утворюється за рахунок електромагнітної енергії контура. Тому за відсутності генератора (рис. 4.5) вільні коливання в контурі поступово загасають.

Рівняння та характеристики загасаючих коливань у контурі. Поклавши в (4.7) \( \mathcal{E}={0}\) , отримаємо диференціальне рівняння вільних коливань у реальному контурі:

Це рівняння не відрізняється від  рівняння вільних загасаючих механічних коливань (3.1). Тому, якщо  подати  на конденсатор заряд  q_m  і надати контур самому собі, то при β < ω₀ в ньому виникають вільні загасаючі коливання заряду, що відбуваються за законом:

або

де величину  A(t) можна розглядати як залежну від часу амплітуду, що спадає  за експоненціальним законом (рис. 4.6):

Так само залежать від часу й амплітуди інших величин – напруг на конденсаторі й котушці індуктивності та струму в контурі. Тому можна записати загальний вираз амплітуди загасаючих коливань:

в якому константу А₀ формально можна трактувати як "початкову" амплітуду. 

Циклічна частота   ω  і період  T   загасаючих коливань теж відрізняються від характеристик вільних гармонічних коливань  ω₀, T₀  і визначаються формулами:

і

Через параметри контура циклічна частота загасаючих коливань, згідно з (4.5) і (4.6), виражається формулою

 Для кількісної характеристики швидкості загасання або тривалості вільних коливань у контурі використовують ті самі величини, що й для механічних коливань: коефіцієнт загасання  β, час релаксації  τ, логарифмічний декремент загасання  λ, добротність  Q. Єдине, що варто зауважити, так це те, що частоти електричних коливань у контурах на загал є суттєво вищими, ніж частоти коливань механічних осциляторів, наприклад, маятників. Тому в режимі реального часу загасання вільних коливань в електричних контурах відбувається дуже швидко. Через це на практиці звичайно використовують не прямі міри загасання  β  і  τ, а опосередковані величини  λ  і Q. Нагадаємо зміст указаних характеристик загасання та розглянемо, як вони визначаються через параметри коливального контура.

Коефіцієнт загасання β  визначається формулою (4.5):

\( \beta=\frac{R}{2L}\)

і, згідно з (4.25), показує, як круто спадає амплітуда коливань. Це добре видно з рис. 4.7 і є цілком зрозумілим: що більша величина  β, то більший опір контура  R і більше електромагнітної енергії переходить у тепло протягом кожного періоду коливань.

Час релаксації   τ  визначається  як

Згідно з (4.25), величина τ  дорівнює проміжку часу, за який амплітуда коливань зменшується в  \( {e}\approx{2,72}\) разів. Отже, час релаксації показує, як довго зберігаються в контурі вільні коливання. Це також видно з рис. 4.7. Цікаво, що час релаксації є прямо пропорційним індуктивності контура L. Це не випадково, адже вільні коливання в контурі виникають і підтримуються завдяки ЕРС самоіндукції котушки, яка пропорційна  L.

Логарифмічний декремент загасання λ є зручною мірою зменшення амплітуди за один період, а отже мірою швидкості загасання коливань. За означенням він дорівнює

\( \lambda=\ln\frac{A(t)}{A(t+T}\).

Підставивши з (4.25) вирази амплітуд  A(t) і  A(t + T), дістанемо:

Згідно з (4.5), (4.10) і (4.27), величина  λ  через параметри контура визначається формулою:

Добротність контура Q  за означенням визначається, як

і є кількісною характеристикою якості контура як коливальної системи, – адже чим більша добротність, тим менший декремент загасання і більший час збереження в контурі вільних коливань. Урахувавши вираз (4.30) і загальне співвідношення  \( {T}=2\pi/\omega \), можна записати:

Через параметри контура добротність виражається, як

При слабкому загасанні, коли  β < ω₀, частота загасаючих коливань близька до власної частоти контура  (ω ≈ ω₀). Тому для добротності з достатньою точністю можна записати:

Тоді на підставі (4.5) і (4.10) маємо зручну спрощену формулу для розрахунків:

Розрахункова формула (4.30а) теж спрощується:

Слід зауважити, що, по-перше, умова слабкого загасання не є жорсткою, і, по-друге, на практиці коливальні контури завжди мають високу добротність, тобто дуже мале загасання. Тому в усіх реальних випадках спрощені формули (4.35) і (4.36) фактично є точними.

Параметри вільних коливань у контурі суттєво залежать від коефіцієнта загасання  β. При цьому, якщо  \( \beta\to\omega_{0}\), то, відповідно до (4.26) і (4.27), \(\omega\to{0}\)  і  \({T}\to\infty \). Це означає, що заряд конденсатора та струм у котушці спадають до нуля, не здійснивши жодного повного коливання. Такий режим називається аперіодичною розрядкою контура. Отже, при коефіцієнтах загасання  \(\beta\ge\omega_{0}\) вільні коливання в контурі неможливі. Тому величина    β_k = ω₀  називається критичним загасанням. Критичному загасанню відповідає критичний опір контура  R_k, який визначити з виразів (4.5) і (4.10):

Вільні коливання в контурі з опором  R можливі лише за умови  R < R_k, тому

критичний опір контура — то є найменший опір, при якому в контурі вже неможливі вільні коливання.

При  R ≥ R_k  всі величини, що характеризують коливання, втрачають зміст. Але їх все одно буває зручно виражати через критичний опір. Наприклад, згідно з (4.35) і (4.37), добротність контура можна подати, як

 Загасаючі коливання напруги на конденсаторі та струму. Оскільки напруга на конденсаторі  \( U_{C}={q/C} \), то поклавши в (4.23) задля зручності  \( \varphi_{0}={0}\), отримаємо наступне рівняння загасаючих коливань напруги на конденсаторі контура:

Для отримання рівняння коливань струму визначимо похідну  dq/dt  з рівняння (4.23) за умови  \(\varphi_{0}={0}\):

\({I(t)}=\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{d}t}=-q_{0}e^{-\beta{t}}{(\beta\cos\omega{t}+\omega\sin\omega{t})}\).

Це рівняння можна привести до зручнішого вигляду, помноживши і поділивши його на власну частоту контура  ω₀. Відтак

Згідно з (4.26),  \( \beta^{2}+\omega^{2}=\omega_{0}^{2}\), крім того,  \( \beta <\omega_{0}\)  і   \( \omega < \omega_{0}\). Це дозволяє трактувати числові множники в дужках як гармонічні функції деякого кута, що визначається, скажімо, такими співвідношеннями:

Тоді, увівши позначення  \( \omega_{0}q_{0}=I_{0}\)  і подавши в (4.40) величину в дужках, як косинус різниці кутів, отримаємо рівняння загасаючих коливань струму в контурі:

\( {I(t)}=-I_{0}e^{-\beta{t}}\cos{(\omega{t}-\psi)}\),

або

де  \( \varphi =\pi-\psi \), і, згідно з (4.41),

Таким чином, в контурі із загасанням, на відміну від ідеального,  зсув фаз між вільними коливаннями напруги на конденсаторі та струму в котушці  \( \varphi\ne\pi /{2}\).

Величину  \( \varphi \)  за допомогою виразу (4.32) можна визначити й через добротність контура:

З цього співвідношення випливає, що  \(\varphi \) із збільшенням добротності значно зростає і вже при Q = 25 досягає величини 89°. Отже, вказана відміна фазових співвідношень для реальних радіотехнічних контурів є неістотною. Але вона відіграє велику роль у звичайних (не коливальних), колах змінного струму. Детальніше про це говориться в розділі  "Змінний струм",  п. 6.

Енергія загасаючих коливань.  Зрозуміло, що енергія вільних загасаючих коливань у контурі не зберігається, вона монотонно спадає з часом аж до нуля. При цьому через складні фазові співвідношення між напругою на конденсаторі і струмом в котушці індуктивності точний вираз повної енергії коливань у контурі виявляється громіздким і незручним для аналізу. Але, як щойно говорилося, при слабкому загасанні можна вважати, що зсув фаз між напругою (4.39) і струмом (4.42) складає  \( \varphi=\pi /{2} \), як в ідеальному контурі. Тоді для струму можна записати

Відтак, провівши ті самі викладки, що й для ідеального контура (п. 4.2), отримаємо наступний наближений вираз повної енергії загасаючих коливань у контурі:

Отже, при слабкому загасанні

енергія вільних коливань у контурі спадає за експоненціальним законом, як і напруга та струм, але вдвічі швидше.

Утрати енергії вільних коливань визначаються загасанням β, від якого залежить і добротність контура Q. Тому можна встановити прямий зв’язок між утратами енергії коливань і добротністю. Для цього визначимо відносну втрату енергії коливань за час одного періоду:

де

\( {W}=W_{0}e^{-2\beta{t}}\)   і  \({W_{1}}=W_{0}e^{-2\beta{(t+T)}}\).

Підставивши ці вирази в (4.46), та врахувавши (4.30) і (4.31), дістанемо:

При слабкому загасанні декремент  λ << 1, а добротність  Q >> 1, тобто показник експоненти є суттєво меншим за одиницю. Тому можна скористатися відомим із математики наближеним виразом  е^х ≈ 1+х при  x << 1  і, зробивши заміну  х = –2π/Q, отримати з  (4.47):

Цей вираз висвітлює енергетичний зміст добротності:

добротність контура характеризує відношення енергії вільних коливань в будь-який момент часу до втрати цієї енергії за час одного періоду коливань, починаючи від цього моменту.

Це твердження, рівно як і закон (4.45) загасання енергії  W(t), є чинними також і для механічних загасаючих коливань.

Контрольні запитання

1. За яких умов у колі можливі електричні коливання?

2. Чи можливі в колі без котушки індуктивності електричні коливання:

  а) вільні;  б) вимушені?

3. Чи можливі в колі без конденсатора електричні коливання: а) вільні;  б) вимушені?

4. Що таке ідеальний коливальний контур?

5. У теорії конденсатор і котушка індуктивності коливального контура розглядаються як ідеальні. Що мається на увазі?

6. Що таке власна частота контура?  Чи використовується цей параметр при розгляді коливань у не ідеальному контурі?

7. Співставте вільні електричні коливання в ідеальному контурі з ємністю C  та індуктивністю L із вільними гармонічними коливаннями кульки маси m на пружині жорсткості k, і встановіть відповідність між величинами C, L та m, k.

8. Що можна сказаи про частоти  вільних коливань у контурах, які  мають однакові індуктивності та ємності?

9. Назвіть й охарактеризуйте величини, котрі визначають швидкість загасання вільних коливань у контурі.

10. У скільки разів зменшується амплітуда загасаючих коливань у контурі за час утричі   більший, ніж час релаксації контра?

11. Назвіть й охарактеризуйте величини, котрі визначають тривалість існування   вільних коливань у контурі.

12. Що таке критичний опір контура? Як він виражається через параметри контура?

13. Який зв’язок є між добротністю та: а) критичним опором контура;

       б) енергією вільних коливань у контурі?

14. З якою частотою змінюється енергія конденсатора контура, якщо струм у контурі       змінюється з частотою ω?

16. Установіть відповідність між електричною і магнітною енергією ідеального контура з одного боку та кінетичною і потенціальною енергією гармонічних коливань маятника з іншого.