ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ". Компенсаційний курс

≈

У  наведених далі задачах по умовчанню поля приймаються за однорідні, й при розрахунках g = 10 м/с².

Задача 3.5. Авіалайнер із розмахом крил  l = 20 м горизонтально пролітає над полюсом зі швидкістю v = 900 км/год. Прийнявши, що магнітне поле Землі в зоні польоту є вертикальним і має індукцію B = 60 мкТл, визначити: а) різницю потенціалів U на кінцях крил; б) покази підключеного до них міліамперметра I із внутрішнім опором R = 0,5 Ом.

Задача 3.6. Електрон влітає в смугу взаємно перпендикулярних електричного (E = 10 кВ/м) та магнітного (B = 10 мТл) полів. Визначити найменшу величину та напрямок швидкості електрона, при яких поля не впливатимуть на його подальший рух.

Задача 3.7. На гладку горизонтальну поверхню, що знаходиться в горизонтальних взаємно перпендикулярних електричному Е = 10 В/см й магнітному В = 20 мТл полях, кладуть і без поштовху відпускають кульку з масою m = 10 мг і зарядом q = 50 мкКл. Відтак кулька через деякий час відривається від поверхні. Визначити, яку відстань S проходить кулька до відриву.

Задача 3.8. Протон, який пройшов прискорювальну напругу U = 100 В, по нормалі входить і наскрізь пролітає плоску смугу паралельного до її поверхонь магнітного поля з індукцією B = 5 мТл. Визначити, на якій відстані S від точки входження та під яким кутом φ протон вийде зі смуги, якщо її товщина d = 25 см . 

Задача 3.9. У вільному просторі, в якому зі швидкістю v = 0,5 Мм/с рухається протон (питомий заряд q_п = (e/m) дорівнює 9,58·10⁷ Кл/кг), "вмикають" перпендикулярні до його руху та однаково спрямовані електричне (E = 2 кВ/м) і магнітне (B = 10 мТл) поля. Визначити: А) прискорення протона; Б) параметри траєкторії його подальшого руху .

Задача 3.10. Прискорений напругою U = 400 В протон (питомий заряд q_п = (e/m) дорівнює 9,58·10⁷ Кл/кг) по нормалі влітає в зону паралельних електричного (Е = 20 В/cм) та магнітного (В = 20 мТл) полів із паралельною до них плоскою межею. Визначити відстань L від точки входження та швидкість v і кут виходу $\vartheta$ протона з полів.

Задача 3.11. Металевий стрижень довжиною l = 25 см, що знаходиться в магнітному полі В = 100 мТл, обертається навколо одного кінця з кутовою швидкістю ω = 2 рад/с в перпендикулярній до напряму поля площині.  Визначити напругу U (різницю потенціалів) на кінцях стрижня.

 Задача 3.5. Авіалайнер із розмахом крил  d = 20 м горизонтально пролітає над полюсом зі швидкістю v = 900 км/год. Прийнявши, що магнітне поле Землі в зоні польоту є вертикальним і має індукцію B = 60 мкТл, 

визначити:

а) різницю потенціалів U на кінцях крил;

б) покази підключеного до них міліамперметра I із внутрішнім опором R = 0,5 Ом.

Розв'язання

а). При горизонтальному польоті у вертикальному магнітному полі Землі біля полюсу на вільні електрони діє магнітна сила (формула 3.3а), котра створює рівні за величиною й протилежні за знаком надлишкові (''індуковані'') заряди на кінцях крил і відповідне електричне поле ${{\vec{E}}}$ всередині, як схематично показано на рисунку. Це поле нівелює дію магнітного поля ${{\vec{B}}}$, отже, відповідно до формул (1.2) і (3.1а),  електрична сила, що діє на електрон, у кожній  точці зрівноважує магнітну:

За умовою магнітне Землі є однорідним, а швидкість літака – сталою. В такому разі величина E в усіх точках однакова й не змінюється з часом. Отже, шукана різниця потенціалів (напруга) на кінцях крил задовольняє умову (1.20) і складає

б). Це завдання є тривіальним. Справді, в крилах і підключених до них провідниках із міліамперметром на електрони діють однакові за напрямом і величиною магнітні сили, що унеможливлює в утвореному замкненому контурі циркуляцію заряду, себто — електричний струм. Отже, 

Задача 3.6. Електрон влітає в смугу взаємно перпендикулярних електричного (E = 10 кВ/м) та магнітного (B = 10 мТл) полів.

Визначити,

найменшу величину та напрямок швидкості електрона, при яких поля не впливатимуть на його подальший рух.

Розв'язання

Задля зручності зв'яжемо з електроном систему координат XOZ, в якій поля \(\vec{B}\) і \(\vec{E}\) спрямован0, як на рис. 6.

Аби електрон рухався з незмінною за величиною й напрямом швидкістю \(\vec{v}\), сили, що діють на нього з боку електричного та магнітного полів мають бути компенсовані:

Тож, відповідно до правила правого гвинта, що визначає напрям магнітної сили, вектор швидкості електрона \(\vec{v}\) має лежати в площині XOZ і в загальному випадку складати якийсь кут α з вектором \(\vec{B}\). Тож  для необхідної швидкості електрона за формулами (1.2) і (3.3) маємо:

\(eE=evB\sin\alpha\)    \(\Rightarrow\)    \(v=\frac{E}{B\sin\alpha}\).

Звідси очевидно, що величина v, як вимагає умова, буде мінімальною, коли електрон влетить перпендикулярно до площини полів із швидкістю

\(v=\frac{E}{B}\) = 10⁶ м/с.

Задача 3.7. На гладку горизонтальну поверхню, що знаходиться в горизонтальних і взаємно перпендикулярних електричному (Е = 5 В/см) та магнітному (В = 20 мТл) полях, кладуть і без поштовху відпускають кульку масою m = 10 мг і зарядом q = 50 мкКл. Відтак кулька через деякий час відривається від поверхні.

Визначити,

яку відстань S проходить кулька до відриву. 

Розв'язання

На кульку після вивільнення, крім сили тяжіння $m\vec{g}$ та електричної  ${{\vec{F}}_{e}}$  діє ще й магнітна сила ${{\vec{F}}_{m}}$. Ця сила при показаній на рис. 7 взаємній орієнтації полів за правилом правого гвинта (п. 1.1) є спрямована вертикально вгору і при певній швидкості кульки може спричинити її відрив від опори. Відповідно до формули (3.1), це може статися, коли

Рух кульки відбувається під дією однорідного електричного поля і є рівноприскореним. Отже, необхідної для відриву швидкості кулька набуде на відстані S, яка задовольняє відоме співвідношення  механіки ( [І], ф-ла (1.19))

і, враховуючи вираз (1),

де a – прискорення кульки, котре створюється електричною силою F_e  = qE   і за другим законом Ньютона дорівнює

Отже, відстань, на якій кулька відірветься від поверхні, дорівнює

Обчислення дають

Задача 3.8. Протон, який пройшов прискорювальну напругу U = 100 В, по нормалі входить і наскрізь пролітає плоску смугу паралельного до її поверхонь магнітного поля з індукцією B = 5 мТл.

Визначити,

на якій відстані S від точки входження та під яким кутом φ протон вийде зі смуги, якщо її товщина d = 25 см. 

Розв'язання

Позаяк протон влітає в смугу перпендикулярно до її поверхні, тож і напрямку  магнітного поля, далі він рухається по дузі кола певного радіуса R (див. п. 1.2) з центром О на передній стінці смуги, як показано на рис. 8.  Отже, шукана відстань S дорівнює довжині основи АС рівнобічного трикутника ОАС з бічною стороною R, а кут виходу φ збігається із кутом при вершині цього трикутника, позаяк його  сторони є перпендикулярні до векторів ${{\vec{v}}_{0}}$ і ${{\vec{v}}}$. При цьому величину R можна знайти за формулою (3.4) через задану індукцію магнітного поля В, відомий питомий заряд протона q_п та швидкість його входження в смугу v, котра залежить від прискорювальної напруги U. Через це відповіді задачі можна знайти з наступних співвідношень між показаними на рис. 8 характеристиками траєкторії протона:

 А саме, піднісши до квадрата та почленно додавши записані рівності, отримаємо біквадратне рівняння

одним із коренів якого є шукана величина S. Аби виокремити цей корінь, візьмемо до уваги, що радіус траєкторії протона має задовольняти умову R ≥ d, а відстань S ≤ $\sqrt{2}R$, інакше протон не подолає смугу поля. В такому разі

 Отже, аби знайти відстань між точками входу та виходу протона зі смуги, треба спершу обчислити радіус його траєкторії R формула (3.4).  Потрібну для цього швидкість протона v знайдемо через його кінетичну енергію, що дорівнює роботі прискорювального електричного поля (формула 1.13):

$\frac{mv_{0}^{2}}{2}=eU$    \(\Rightarrow\)    ${{v}_{0}}=\sqrt{2{{q}_{п}}U}$

і, врахувавши формулу (3.4) та значення q_п = 9,58·10⁷ Кл/к_г , отримаємо

Підставивши цу значення у вираз (4), знайдемо наступну величину відстані між точками входу та виходу протона із смуги магнітного поля:

S =  28,5 см, 

Відтак із з виразу (1) знайдемо і кут вильоту протона зі смуги:

$\varphi =2\cdot \arccos \frac{d}{S}$ ≈ 57°.

Задача 3.9.

У вільному просторі, в якому зі швидкістю v = 0,5 Мм/с рухається протон (питомий заряд q_п = (e/m) = 9,58·10⁷ Кл/кг), "вмикають" перпендикулярні до його руху та однаково спрямовані електричне (E = 2 кВ/м) і магнітне (B = 10 мТл) поля.

Визначити:

А) прискорення протона;

Б) параметри траєкторії його подальшого руху.

Розв'язання

При ввімкненні полів на протон почнуть діяти взаємно перпендикулярні магнітна \(\vec{F}_{м}\) і електрична \(\vec{F}_{е}\) сили (рис.9). Тож протон буде рівномірно рухатися по колу в перпендикулярній до напрямку полів площині під дією магнітної сили (див. п. 1.2) й одночасно прискорено рухатись уздовж полів під дією електричної сили (розділ І, п. 1.1). При цьому електрична сила не буде впливати на обертальну, а магнітна – на поступальну складову руху протона. Як наслідок, він буде рухатись уздовж полів по гвинтовій лінії з постійним радіусом кривини й змінним кроком, як схематично показано на рис. 9-1. 

А). Згідно зі сказаним, прискорення протона \(\vec{a}\) складається з двох незалежних компонент   електричної (\(\vec{a}_{1})\) і магнітної \(\vec{a}_{2}\), тож

\(\vec{a}\) = \(\vec{a}_{1}\) + \(\vec{a}_{2}\)   $\Rightarrow $ $a=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$,  

де за другим законом Ньютона та формулами (1.2) і (3.3а)

Отже, шукане прискорення протона

$a={{q}_{п}}\sqrt{{{E}^{2}}+{{\left( vB \right)}^{2}}}\approx 5,2\cdot {{10}^{11}}$  м/с².

Б). Радіус витка гвинтової лінії, по якій рухається протон, визначається формулою (3.4):

$R=\frac{v}{{{q}_{п}}B}$  = 52 см.

Кроком h гвинтової лінії називається зазор між витками, який звичайно дорівнює відстані між точками дотику сусідніх витків із будь-якої паралельною до осі гвинта прямою, приміром, віссю OZ (рис. 6-1). Але в даній задачі через дію на протон електричного поля крок буде змінюється від витка до витка й залежатиме від положення вказаної дотичної лінії. Тож будемо відміряти його від початкового положення протона. В такому разі для n-го витка крок h_n дорівнює різниці відстаней, які протон проходить у напрямку електричного поля за проміжки часу  t_n = nT  і t_n-1 = (n–1)T, де T – період обертання протона по трєкторії. Тож згідно з відомою формулою кінематики ([І], ф-ла (1.17)) отримуємо:

${{h}_{n}}=\frac{{{a}_{1}}{{T}^{2}}}{2}\left( {{n}^{2}}-{{\left( n-1 \right)}^{2}} \right)$

або

${{h}_{n}}={{h}_{1}}\left( 2n-1 \right)$,

де

${{h}_{1}}=\frac{{{a}_{1}}{{T}^{2}}}{2}$

– початковий крок, який з урахуванням виразу (1) і формули (3.5а) дорівнює

Задача 3.10.

Прискорений напругою U = 400 В протон (питомий заряд (відношення заряду до маси) q_п = 9,58·10⁷ Кл/кг) по нормалі влітає в зону паралельних електричного (Е = 20 В/cм) та магнітного (В = 20 мТл) полів із паралельною до них плоскою межею.

Визначити,

відстань L від точки входження та швидкість v і кут виходу $\vartheta$ протона з полів. 

Розв'язання

Оберемо систему координат з початком О в точці входження протона в поля і віссю ОХ, що за напрямом збігається з початковою швидкістю протона $\vec{v}_{0}$, як показано на рис. 10.

При такому виборі координатної системи умови руху протона при входженні польовій зоні є такі самі, як у Задачі 3.9, тож він почне рухатися навколо напрямку полів по гвинтовій лінії зі змінним кроком. Але через наявність межі (площина YOZ), протон перебуватиме в полях тільки протягом часу t у пів періоду обертання (3.5) навколо напряму полів:

і здійснить тільки половину першого витка траєкторії.

 За вказаних умов у кожний момент часу протон під дією магнітного поля обертатиметься із сталою швидкістю v = v₀ в паралельній до {XOY} площині по колу радіуса R й одночасно рухатиметься у напрямку осі ОZ під дією електричного поля. При цьому за час t протон зміститься на відстань 2R вздовж осі OY і h в напрямку OZ. Отже шукана відстань між точками входження і виходу складає

Величину R знайдемо за формулою (3.4), в якій індукцію поля B в умові задано прямо, а поперечну швидкість протона v₀ – опосередковано через його початкову кінетичну енергію, що дорівнює роботі прискорювального поля (1.13а):

 Відтак, підставивши це значення у формулу (3.4), дістанемо:

Величина h, згідно з формулою кінематикою ([I], ф-ла (1.17)) складає 

де прискорення a створюється електричним полем і за ІІ законом Ньютона та формулою (1.20) дорівнює 

а час руху протона  t = (T/2) визначається виразом (1).

Тож, згідно з виразом (5), вертикальне зміщення протона дорівнює

  Відтак, обчисливши за формулами (4) і (7) значення R і h, із виразу (2) знайдемо:

$L$  = 38,7 см.

Далі, обчисливши за формулами (6) і (1) вертикальну складову v_z = at і врахувавши, що горизонтальна v_х = v₀, знайдемо швидкість 

  $v=\sqrt{v_{0}^{2}+v_{1}^{2}}$ = 4,2·10⁵ м/с

та через якусь із тригонометричних функцій – кут виходу виходу протона з полів:

$\vartheta$ = 41,4°.

Задача 3.11. Металевий стрижень ОА (рис.11-1) довжиною l = 25 см, що знаходиться в магнітному полі В = 100 мТл, обертається навколо одного кінця з кутовою швидкістю ω = 2 рад/с в перпендикулярній до напряму поля площині .  Визначити напругу U (різницю потенціалів) на кінцях стрижня.

Дано: l = 25 см В = 100 мТл ω = 2 рад/с U - ? Розв'язання Через дію магнітного поля на вільні електрони (розділ ІІІ, п. 1.2) на  кінцях стрижня накопичуються однакові за величиною й протилежні за знаком заряди (рис. 11-212-1), які створюють електричне поле ${{\vec{E}}}$ з напругою (різницею потенціалів) $U$ на кінцях, що підлягає визначенню. Електрична та магнітна сили є протилежно спрямовані й компенсовані. Тож відповідно до  (формул (1.2) та (3.3а) в кожній точці стрижня встановлюється стаціонарне електричне поле,  напруженість якого на відстані r від осі обертання складає E = vB = Bωr, (1) де B – індукція магнітного поля, ω – кутова швидкість стрижня і  v – лінійна швидкість даної точки. Між напруженістю електричного поля та  різницею потенціалів (напругою) існує однозначний зв’язок, який для однорідного поля  (${{\vec{E}}}$ = const) виражається співвідношенням (1.20). Але в даній задачі безпосередньо за ним знайти напругу U на кінцях стрижня неможливо, бо напруженість поля E в ньому змінюється від точки до точки, як показано на рис. 11-3. Проте, якщо графік подумки поділити на вузькі смужки шириною Δrі так, аби напруженість Ei в межах однієї смужки можна було вважати однаковою, то за виразом (1.20) напруга на окремій смужці ΔUi  ≈ EiΔrі, а на всьому стрижні U ≈ Σ(EiΔrі), що чисельно дорівнює сумарній площі S всіх виділених ділянок на графіку: U ≈ S.  Зрозуміло, що при зменшенні ширини смужок точність отриманого виразу буде підвищуватись і в границі Δrі → 0 стане абсолютною. При цьому величина S зрівняється з площею трикутника ΔОАl на графіку. Отже, $U=\frac{1}{2}{{E}_{A}}l$,  і, згідно з виразом (1), $U=\frac{1}{2}B\omega {{l}^{2}}$ = 6,25 мВ.