ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ". Компенсаційний курс

Розділ ІІІ. Магнітне поле та електромагнітна індукція

1.4. Електромагнітна індукція

Електромагнітна індукція. Електричне та магнітне поля є "двома сторонами однієї медалі" – електромагнітного поля. Тож так само, як електричний струм створює магнітне поле, магнітне поле за певних умов породжує ("індукує") електричний струм. Цей феномен називається електромагнітною індукцією і кількісно описується через магнітний потік – величину, що характеризує поле не в точці, а на заданій поверхні й має наступне означення:

магнітним потоком Ф однорідного поля з індукцією B крізь плоску поверхню площею S (рис.3.8 12.3) називається величина

Ф = BScosα,

(3.10)

де α – кут між напрямками магнітної індукції ${\vec{B}}$ і позитивної нормалі (перпендикуляра) ${\vec{n}}$ до цієї поверхні.

(Примітка. Позитивною нормаллю називається одиничний вектор ${\vec{n}}$, напрям якого узгоджено з напрямом струму в контурі правилом правого гвинта).

У випадку неоднорідного поля чи не плоскої поверхні величина Ф визначається як сума потоків через всі елементарні ділянки поверхні.

Одиниця магнітного потоку називається вебер (Вб) (означення див. п. 1.5).

$Φ$ Магнітний потік є алгебраїчною величиною: при гострому куті α потік Ф > 0, а при тупому Ф < 0. Відповідно, при паралельному до поверхні напрямку поля (α = 90°) потік Ф = 0, а при перпендикулярному (α = 0°) потік є максимальним і рівним

Ф₀ = BS.

(3.10а)

Дослід свідчить, що

при будь-якій зміні магнітного потоку крізь поверхню, обмежену замкненим контуром, у ньому виникає ("індукується") електрорушійна сила (ЕРС).

У цьому полягає явище електромагнітної індукції (ЕМІ). Величину ЕРС індукції визначає основний закон ЕМІ (закон Фарадея):

електрорушійна сила індукції в контурі дорівнює взятій з протилежним знаком швидкості зміни магнітного потоку крізь поверхню обмежену цим контуром:

$\E$=–$\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}=-\Phi^{\prime}(t)$.

(3.11)

Вираз (3.11) є універсальним: він визначає ЕРС, яка індукується в кожен момент часу в усякому контурі незалежно від причини зміни потоку та вигляду залежності Ф(t). Зокрема, при рівномірній зміні потоку індукується постійна ЕРС

$\E$=–$\frac{\Delta\Phi}{\Delta{t}}$ = $\frac{{{\Phi }_{1}}-{{\Phi }_{2}}}{\Delta t}$,

(3.11а)

де $\Delta\Phi$ – зміна потоку за будь-який заданий проміжку часу $\Delta{t}$. При нерівномірній зміні потоку цей вираз визначає середню ЕРС індукції $\bar{E}$ за заданий проміжок часу.

Напрямок індукційного струму визначає правило Ленца:

індукційний струм у контурі завжди має такий напрям, при якому він власним магнітним полем перешкоджає зміні магнітного потоку, що спричинює цей струм.

Аби формально відобразити це у виразі основного закону ЕМІ, силу струму розглядають як алгебраїчну величину, що задовольняє наступне "правило знаків":

індукційний струм є додатнім, якщо циркулює за правим гвинтом відносно напряму магнітного поля, що його генерує.

За такої умови знак індукційного струму в кожному випадку збігається зі знаком ЕРС, який виходить за виразами (3.11) і (3.11а). Як це "працює", ілюструє рис. 3.9 12.9 для двох конкретних випадків.

а) Контур рухається в постійному неоднорідному магнітному полі $\vec{B}$ у бік його послаблення. У такому разі $\Delta\Phi<0$, і за виразом (3.11) $\E>0$. Тож і індукційний струм $I_i>{0}$, тобто тече, як показано на рис. 3.9а, і своїм полем $\vec{B}^{\prime}$ підживлює поле $\vec{B}$ у повній відповідності до правила Ленца.

б) Нерухомий контур знаходиться у магнітному полі, що підсилюється з часом, рис. 3.9б. У такому разі $\Delta\Phi>0$, тож $\E<0$ і $I_i<0$. Отже, тепер порівняно з попереднім випадком індукційний струм має зворотній напрям, і знов у відповідності із правилом Ленца, перешкоджає зміні поля $\vec{B}$.

На практиці часто використовують контури у вигляді дротяних котушок, у витках яких ЕРС індукції ${{\E}_{i}}$ є узгодженими. Тож повна ЕРС в котушці $\E=\sum{{{\E}_{i}}}$ і визначається швидкістю зміни сумарного магнітного потоку крізь її витки. Зокрема в соленоїді (циліндричній котушці з N однакових витків) повний потік

$\Phi=N\Phi_{1}$,

(3.12)

де $\Phi_{1}$ – потік крізь один виток (інакше, через поперечний переріз котушки). Відповідно, за виразами (3.11) і (3.11а) ЕРС індукції в соленоїді дорівнює

$\E$=–$N\frac{\mathrm{d}\Phi_{1}}{\mathrm{d}t}$

(3.13)

в загальному випадку та

$\E$=–$N\frac{\Delta\Phi_{1}}{\Delta{t}}$

(3.13а)

при рівномірній зміні потоку.

Самоіндукція. Лінії індукції магнітного поля всякого контуру зі струмом І, приміром, як на рис. 3.10, перетинають будь-яку обмежену ним поверхню. Через це створюється прямо пропорційний до сили струму

власний магнітний потік, або потік самоіндукції контуру $\Phi_{с}$

$\Phi_{с} = LI$.

(3.14)

Величина L називається коефіцієнтом самоіндукції, або індуктивністю контуру й вимірюється в генрі (Гн), означення див. у п. 1.5.

Індуктивність на загал залежить від магнітних властивостей середовища та геометрії контуру, зокрема, для соленоїда (циліндричної котушки) – його довжиною та діаметром і кількістю витків.

При зміні власного потоку в контурі спостерігається самоіндукція, тобто виникає електрорушійна сила (ЕРС самоіндукції), що за основним законом ЕМІ (3.11) дорівнює:

${{\E}_{c}}=-{{\left( LI\left( t \right) \right)}^{\prime }}=-\frac{d\left( LI \right)}{dt}$.

(3.15)

У загальному випадку цей вираз є складним, позаяк при наявності в котушці магнітного осердя чи деформації дротяного контуру індуктивність може неконтрольовано змінюватися з часом. Але, коли індуктивність не змінюється (L = const) вираз (3.15) спрощується і набуває вигляду:

${{\E}_{c}}=-L{{\left( I\left( t \right) \right)}^{\prime }}=-L\frac{dI}{dt}$.

(3.15а)

При рівномірній зміні струму величина ${{\E}_{c}}$ визначається простою формулою

${{\E}_{c}}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}$.

(3.15б)

У загальному випадку формула (3.15б) визначає середню ЕРС самоіндукції за час Δt.

Енергія магнітного поля. Якщо електричне коло не має помітної індуктивності, струм у ньому встановлюється відразу після включення джерела живлення. Але в контурі з великою індуктивністю в момент підключення джерела виникає зустрічна ЕРС самоіндукції, що гальмує встановлення струму. На її подолання джерело в процесі встановлення струму витрачає додаткову енергію, що йде не на нагрівання провідників, а на створення магнітного поля. Тож, позаяк енергія як така не може безслідно зникати, маємо констатувати, що магнітне поле має енергію. В теорії доводиться, що

енергія магнітного поля контуру з індуктивністю L і струмом I дорівнює

$W=\frac{LI^{2}}{2}$

(3.16)