ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ". Компенсаційний курс

 Задача 2.19. До джерела з ЕРС ${{\E}}$ = 10 В і внутрішнім опором r = 2 Ом підключено реостат із дуже великим загальним опором. А) Показати графіки залежності корисної потужності P(R) і ККД джерела η(R) від опору реостата R. Б) Визначити, при якій величині R­_m  та з яким ККД η_m джерело віддає в навантаження максимальну потужність і чому дорівнює її величина P_m. 

Задача 2.20. У резисторі опором R = 9 Ом, який підключено до джерела з ЕРС ${{\E}_{1}}$ = 10 В, виділяється \(\eta=\) 90 % повної потужності джерела. Визначити максимальну корисну потужність P_m, яку можна отримати від цього джерела.

Задача 2.21. При почерговому підключенні резисторів R₁ = 4 Ом і R₂ = 9 Ом до акумуляторної батареї через деякий баластний опір R₀ на кожному з резисторів виділяється потужність P = 36 Вт. Нехтуючи внутрішнім опором, визначити ЕРС батареї ${{\E}}$ та струм І₀ через неї при замиканні безпосередньо на баластний опір.

Задача 2.22. Споживач, який знаходиться на відстані l = 7,5 км від генератора, отримує потужність P = 100 кВт. Визначити масу m мідного дроту двопровідної лінії живлення споживача, якщо напруга на вході дорівнює U₀ = 6 кВ і втрати потужності в лінії складають k = 3 %.

Задача 2.23. Трамвай масою m = 50 т спускається зі швидкістю v = 36 км/год по колії з ухилом \(\alpha=0,01\) і коефіцієнтом опору \(\mu=0,03\).  Визначити струм I в обмотці двигуна трамваю, якщо напруга в контактній мережі U = 500 В і ККД двигуна \(\eta=0,8\).

Задача 2.24. Ніхромовим (питомий опір \(\rho=1\) мкОм·м) дротом діаметром d = 0,4 мм треба намотати нагрівник, який при напрузі U = 220 В і ККД \(\eta=\) 40 % за час \(\tau=10\) хв доводить до кипіння V = 1 л води (питома теплоємність c = 4200 Дж/(кг·К)) із початковою температурою t = 20 °C. Визначити необхідну довжину дроту l.

Задача 2.25. Нагрівник електричного чайника складається з двох секцій. Визначити, за який час t₀ у чайнику закипить однакова кількість води з однаковою початковою температурою при а) послідовному і б) паралельному сполученні секцій, якщо при їхньому почерговому ввімкненні цей час складає t₁ = 10 хв  і  t₂ = 40 хв, відповідно.

Задача 2.19

До джерела з ЕРС ${{\E}}$ = 10 В і внутрішнім опором r = 2 Ом підключено реостат із дуже великим загальним опором.

А) Показати графіки залежності корисної потужності P(R) і ККД джерела η(R) від опору реостата (навантаження) R.

Б) Визначити, при якій величині R­_m  та з яким ККД η_m джерело віддає в навантаження максимальну потужність і чому дорівнює її величина P_m.

Дано:

Розв’язання

А. Підключений до джерела реостат (рис. 19), або якийсь інший пристрій з відповідним опором R називають навантаженням, а  потужність P, що виділяється в ньому, – корисною потужністю джерела. Отже, згідно з формулою (2.24) і законом Ома (2.13), корисна потужність

Із цього виразу випливає, що при R << r

\(P≈\frac{{\E}^{2}R}{r^{2}}\),

а при R >> r

\(P≈\frac{{\E}^{2}}{R}\).

Отже, при поступовому збільшенні величини R корисна потужність спочатку зростає, а потім зменшується, так що при певному навантаженні R = R_m набуває максимальної величини P = P_m, як показано на графіку  P (R), рис 19-1.

Повна потужність струму в колі визначається формулою (2.26), а ККД джерела – формулою (2.28):

 $\eta =\frac{R}{R+r}$.

Таким чином, при збільшенні опору навантаження ККД монотонно зростає, як показано на рис.19-1.

Б. Аби знайти максимальну потужність P_m і  відповідне значення η_m, дослідимо на максимум залежність P = f(R), яка визначається виразом (1). Для цього за правилами диференціювання частки знайдемо та прирівняємо до нуля похідну функції f(R):

\(f^{\prime}(R)=\mathcal{\E}^{2}\frac{(R+r)^{2}-2R(R+r)}{(R+r)^{4}}=\frac{\mathcal{\E}^{2}}{(R+r)^3}(r-R)\) = 0.

Отже,   f′(R) = 0 при (r – R) = 0), тобто, джерело віддає максимальну корисну потужність, коли опір навантаження збігається із внутрішнім опором джерела:

Відтак підставивши знайдене значення R_m у формулу (1), дістанемо й величину максимальної потужності, яку можна отримати від заданого джерела струму:

 При цьому відповідно до співвідношення (2) ККД джерела дорівнює

\(\eta_{m}=\frac{1}{2}\) .

Із отриманих результатів випливають наступні загальні висновки:

1. Неможливо одночасно мати велику потужність і великий ККД. Тому на практиці завжди доводиться робити вибір між потужністю та ефективністю використання енергії: якщо хочемо від транзистора гучної музики, то маємо подбати про запасні батарейки, інакше доведеться обмежитися тихим звучанням.

2. При R < r і корисна і потужність є невелика, і ККД низький, тож енергія джерела фактично витрачається марно. Тому такий режим роботи кіл в електричних пристроях не застосовується.

3. Максимальна потужність, яку можна отримати від джерела живлення, не залежить від споживача й визначається тільки параметрами джерела. 

Задача 2.20

У резисторі опором R = 9 Ом, який підключено до джерела з ЕРС ${{\E}_{1}}$ = 10 В, виділяється \(\eta=\) 90 % повної потужності джерела.

Визначити

максимально корисну потужність P_m, яку можна отримати від цього джерела.

Розв’язання

Якщо скористатися виразом (3) із задачі 2.19, то для отримання відповіді не вистачає лише внутрішнього опору джерела r, який легко знайти з формули (2.28):

\(\eta=\frac{R}{R+r}\)      \(\Rightarrow\)       \(r=\frac{(1-\eta)R}{\eta}\).

Підставивши цей результат у зазначений вираз (3) із попередньої задачі, отримаємо відповідь:

${{P}_{m}}=\frac{{{\E}^{2}}\eta }{4\left( 1-\eta  \right)R}$ = 25 Вт.

 Задача 2.21

При почерговому підключенні резисторів R₁ = 20 Ом і R₂ = 45 Ом до акумуляторної батареї через деякий баластний опір R₀ на кожному з резисторів виділяється потужність P = 20 Вт. Нехтуючи внутрішнім опором,

визначити

ЕРС батареї $\E$ та струм через неї ${{I}_{0}}$ при замиканні безпосередньо на баластний опір.

Розв’язання

Баластний опір обмежує максимальну можливу силу струму через джерело і формально виконує роль його внутрішнього опору. Тож при замиканні джерела безпосередньо на баластний опір якоїсь величини R₀ струм у колі за формулою (2.13а) складає

У цьому виразі жодну з величин в умові не задано. Але ситуація полегшується тим, що в обох випадках у колі виділяється однакова потужність, яка визначається виразом (2.26) при r = R₀:

Тож, спочатку прирівнявши вирази (2) при R = R₁ і R = R₂, після елементарних перетворень знайдемо величину R₀:

${{R}_{0}}=\sqrt{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}$.

Відтак із того ж таки виразу (2), знайдемо ЕРС джерела:

 та за формулою (1) – струм І₀ через джерело при замиканні його на баластний опір:

Обчислення дають:

$\E$ =30 В;   ${{I}_{0}}$ = 5А.

 Задача 2.22

Споживач, який знаходиться на відстані l = 7,5 км від генератора, отримує потужність P = 100 кВт по двопровідній лінії передач.

Визначити 

масу m мідного дроту, яким змонтовано лінію, якщо напруга на вході дорівнює U₀ = 6 кВ і втрати потужності в лінії складають k = 3 %.

Розв’язання

Шукана маса проводів дорівнює

де D – густина міді, S – площа поперечного перерізу дроту. Відтак, виразивши S через опір лінії передач R за формулою (2.8),  отримаємо:

Таким чином, для отримання відповіді не вистачає лише опору лінії, який за формулою (2.24б) дорівнює

де струм I та втрачена в лінії потужність P_в є неявно задані  умовою задачі. Справді,

 $I=\frac{{{P}_{0}}}{{{U}_{0}}}$,

де P₀ = (P + P_в) – повна потужність, яка надходить у лінію, а P_в= kP за умовою, тож P₀ = (1 + k)P. Отже,

$I=\frac{\left( 1+k \right)P}{{{U}_{0}}}$.

Відтак, урахувавши отримані значення P_в та I, за виразом (2) визначимо опір лінії

і, підставивши його у вираз (1), отримаємо загальну відповідь задачі:

Відтак, узявши з таблиць значення потрібних параметрів міді D = 8,9·10³ кг/м³ і \(\rho=1,7\cdot{10}^{-8}\) Ом·м, знайдемо числову відповідь:

m ≈ 3,4 т.

 В отриманій відповіді (4) варто звернути увагу на те, що при заданих потужності й коефіцієнті втрат необхідна кількість матеріалу дротів є обернено пропорційна квадратові робочої напруги. Це пояснює, чому енергія від електростанцій до споживачів транспортується саме високовольтними лініями електропередач.

Задача 2.23                                    

Трамвай масою m = 50 т спускається зі швидкістю v = 36 км/год по колії з ухилом \(\alpha=0,01\) і коефіцієнтом опору \(\mu=0,03\). 

Визначити

струм I в обмотці двигуна трамваю, якщо напруга в контактній мережі U = 500 В і ККД двигуна \(\eta=0,8\).

Розв’язання

На початках нагадаємо, що ухилом  називається  зміна висоти полотна дороги над горизонтом, яка припадає на одиницю шляху, тобто – тангенс  кута нахилу до горизонту. Коефіцієнтом опору називається відношення сумарної сили опору рухові тіла по якійсь поверхні до його ваги, котра чисельно дорівнює силі нормальної реакції опори N. Відмітимо також, що для пологої дороги  ухил практично збігається із кутом нахилу до горизонту в радіанах, а вага тіла – з величиною сили тяжіння. 

При рівномірному русі сили тяжіння \(m\vec{g}\), нормальної реакції  \(\vec{N}\), опору ${{\vec{F}}_{0}}$ та тяги двигуна \(\vec{F}\), що діють на трамвай (рис. 23), є зрівноважені:

При цьому через мализну нахилу \(\sin\alpha=\alpha\), і F_о = μmg. Тож у проекціях на горизонтальну вісь маємо:

Потужність сили тяги є "корисною потужністю" Р_к і, згідно з механікою ([І], формула(4.16)) дорівнює добутку сили тяги на швидкість трамваю:

${{P}_{к}}=\left( \mu -\alpha  \right)mgv$.  

З іншого боку величина Р_к задовольняє співвідношення ([І], формула(4.17)):

${{P}_{к}}=\eta IU$,

де IU = P_з – загальна ("затрачена") потужність двигуна. Отже, шуканий струм

$I=\frac{\left( \mu -\alpha  \right)mgv}{\eta u}$ = 245 А.

 Задача 2.24

Ніхромовим (питомий опір \(\rho=1\) мкОм·м) дротом діаметром d = 0,4 мм треба намотати нагрівник, який при напрузі U = 220 В і ККД \(\eta=\) 40 % за час \(\tau=10\) хв доводить до кипіння V = 1 л води (питома теплоємність c = 4200 Дж/(кг·К)) із початковою температурою t = 20 °C.

Визначити

необхідну довжину дроту l.

Розв’язання

Шукана довжина дроту l визначається опором нагрівника R (формула (2.8)), при якому в ньому при ввімкненні в мережу за заданий час τ виділяється потрібна кількість теплоти (формула (2.23а))

При цьому безпосередньо на нагрівання води йде частка

$Q=\eta {{Q}_{0}}$,

яка визначається відомою формулою термодинаміки:

Отже, співставивши праві частини виразів (1) і (2), дістанемо:

Далі виразимо опір нагрівника R за формулою (2.8) і переріз дроту за формулою S = (πd²/4) і після нескладних перетворень отримаємо загальну відповідь:

\(l=\frac{\eta{U}^{2}\tau\pi{d^{2}}}{4\rho{c}m(t_{к}-t)}\).

Відтак, врахувавши, що густина води складає 1 г/м³, тож m = 1 кг, після обрахунків знайдемо наступну числову відповідь:

l ≈ 4,35 м.

 Задача 2.25

Нагрівник електричного чайника складається з двох секцій. Визначити, за який час t₀ у чайнику закипить однакова кількість води з однаковою початковою температурою при а) послідовному і б) паралельному сполученні секцій, якщо при їхньому почерговому ввімкненні цей час складає t₁ = 10 хв  і  t₂ = 40 хв, відповідно.

Розв’язання

Позаяк в умові нічого не сказано про втрати тепла, покладемо, що їх немає. В такому разі необхідна для нагрівання води в чайнику кількість теплоти Q визначається формулою (2.23а), і час нагрівання t можна виразити як

де 

$\alpha =\frac{Q}{{{U}^{2}}}$.

Згідно з умовою, коефіцієнт α у виразі (1) у всіх вирпдках має однакову величину. Отже, часи закипання води є пов'язані між собою так само, як і відповідні опори нагрівника. Зокрема, позаяк при послідовному сполученні секцій опір нагрівника R₀₁ = R₁ + R₂, час закипання води

t₀₁ = t₁ + t₂ = 50 хв.

Аналогічно при паралельному з'єднанні секцій 

${{R}_{02}}=\frac{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}$,

і час закипання

${{t}_{02}}=\frac{{{t}_{01}}{{t}_{02}}}{{{t}_{01}}+{{t}_{02}}}$ = 8 хв.