ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ". Компенсаційний курс

Розділ ІІ. Постійний електричний струм

Закон Ома

Задача 2.11. Визначити відносну похибку ε виміру напруги на резисторі R = 10 Ом вольтметром із власним опором R_V = 100 Ом.

Задача 2.12. Визначити додатковий опір R_Д, який треба підключити до вольтметра із власним опором R_V = 10 кОм, аби розширити його діапазон вимірювань у n = 10 разів.

Задача 2.13. Визначити опір резистора (шунта) R_ш, який слід приєднати до амперметра із власним опором R_A = 0,6 Ом, аби розширити діапазон вимірювань у n = 10 разів.

Задача 2.14. Напруга на кінцях заданого ланцюжка (рис. 14) U_АВ = 10 В, а опори резисторів R₁ = 3,5 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 6 Ом. Визначити струми I₁, I₂, I₃ та напруги U₁, U₂, U₃ на всіх резисторах.

Задача 2.15. Резистор з опором R = 10 Ом і невідомий резистор R_x, що з’єднані між собою один раз послідовно, а інший паралельно, підключають до джерела із внутрішнім опором r = 2 Ом. Визначити опір R_x невідомого резистора, якщо в обох випадках струм у ньому однаковий.

Задача 2.16. Струм у підключеному до джерела резисторі R₁ = 2 Ом складає I₁ = 5 А, а напруга на підключеному натомість резисторі R₂ = 120 Ом U₂ = 12 В. Знайти струм короткого замикання джерела I₀.

Задача 2.17. Два джерела з ЕРС і внутрішніми опорами ${{\E}_{1}}$ = 2 В, r₁ = 0,4 Ом та ${{\E}_{2}}$ = 1,5 В, r₂ = 0,6 Ом з’єднан0 однойменними полюсами. Визначити різницю потенціалів на клемах Δφ і силу струму в джерелах I.

Задача 2.18. Два ідеальні (без внутрішнього опору) джерела ${{\E}_{1}}$ = 4,5 В, ${{\E}_{2}}$= 2В і три резистори R₁ = 1,5 Ом, R₂ = 1 Ом, R = 4 Ом, є з'єднані, як показано на рис.18. Визначити величину і напрям струму в кожному резисторі.

Задача 2.11

Визначити

відносну похибку ε виміру напруги на резисторі R = 10 Ом вольтметром із власним опором R_V = 100 Ом.

Дано:

R = 10 Ом R_V = 100 Ом

ε - ?

Розв'язання

Вольтметр підключається до резистора паралельно і показує напругу на утвореному ланцюжку (рис. 11) опором (формула 2.16а)

${{R}_{0}}=\frac{{{R}_{V}}R}{{{R}_{V}}+R}$

(1)

Тож виміряна U_Vта істинна U напруги за законом Ома (2.10) дорівнюють U_V = IR₀ і U = IR, де І – струм у підвідних проводах, який уважатимемо незмінним. Отже, відносна похибка виміру

$\varepsilon =\frac{U-{{U}_{V}}}{U}$ = $\frac{R-{{R}_{0}}}{R}$

і, з урахуванням виразу (1), складає

$\varepsilon =\frac{{{R}}}{{{R}_{V}}+R}$ ≈ 9 %.

(2)

З приводу отриманого результату слід зробити два зауваження.

1.Теоретично струми в проводах до і після підключення вольтметра мають відрізнятися через зміну опору даної ділянки кола. Але спричинена цим можлива зміна струму є настільки незначною, що не вартує уваги.

2. Як видно з виразу (2), для забезпечення достатньої точності вимірів вольтметр має мати доволі великий власний опір. До прикладу, при допустимій похибці ε ≤ 1% має бути R_V ≥ 100R. Тому для прецизійних (надточних) вимірювань використовують інші, непрямі методи визначення напруги.

Задача 2.12

Визначити

додатковий опір R_Д, який треба підключити до вольтметра із власним опором R_V = 10 кОм, аби розширити його діапазон вимірювань у n = 10 разів.

Дано:

R_V = 10 кОм

n = 10

R_Д - ?

Розв’язання

Кожен вольтметр може безпосередньо вимірювати лише напруги, котрі не перевищують певної величини U_m, яка визначає його діапазон вимірювань (шкалу). Але шкалу вольтметра можна розширити, якщо безпосередньо подавати на нього не всю вимірювану напругу, а тільки її визначену частку. Для цього до вольтметра послідовно підключають додатковий опір ("добавку") – резистор із заданим опором R_Д (рис.12).

Необхідну величину R_Д легко розрахувати. Позаяк струм у складових ланцюжка вольтметр-добавка однаковий, то відповідно до закону Ома (2.10),

$\frac{U}{{{U}_{V}}}=\frac{{{R}_{}}+{{R}_{V}}}{{{R}_{V}}}$ $\Rightarrow $ ${{R}_{Д}}={{R}_{V}}\left( \frac{U}{{{U}_{V}}}-1 \right)$,

де U – подана напруга, і U_V, R_V – напруга на вольтметрі та його власний опір.

За умовою при U_V = U_m подана напруга U має дорівнювати nU_m, отже

для розширення шкали вольтметра в n разів до нього треба послідовно підключити додатковий опір

R_Д = (n – 1)R_V,

який, згідно з даними умови, дорівнює 90 кОм.

Задача 2.13

Визначити

опір резистора (шунта) R_ш, який слід приєднати до амперметра із власним опором R_A = 0,6 Ом, аби розширити діапазон вимірювань у n = 10 разів.

Дано:

R_A = 0,9 Ом

n = 10

R_ш - ?

Розв’язання

За змістом і логікою розв'язування дана задача є аналогом попередньої. А саме, для розширення діапазону вимірювань (шкали) до амперметра паралельно підключають "шунт" – резистор із заданим опором R_ш (рис. 13),– за допомогою котрого від амперметра відгалужують надлишковий струм величиною

$I_{ш}=I-I_{А}$,

де І – вимірюваний струм, І_А – струм, що проходить через амперметр. За умовою І = nІ_А, отже,

І_ш = (n–1)І_А,

і, позаяк напруга на амперметрі та шунті однакова, відповідно до закону Ома (2.10),

для розширення шкали амперметра в n разів до нього треба паралельно підключити шунт опором

${{R}_{ш}}=\frac{{{R}_{A}}}{n-1}$.

За умовою n = 10, отже, відповідь

R_ш = 0,1 Ом.

Задача 2.14

Напруга на кінцях заданого ланцюжка (рис. 14) U_АВ = 10 В, а опори резисторів R₁ = 3,5 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 6 Ом.

Визначити

струми I₁, I₂, I₃ та напруги U₁, U₂, U₃ на всіх резисторах.

Дано:

U_AB = 10 В

R₁ = 3,5 Ом

R₂ = 2 Ом

R₃ = 6 Ом

I₁, I₂, I₃ - ?

U₁, U₂, U₃ - ?

Розв’язання

Замінимо у початковій схемі резистори R₂, R₃ на один еквівалентний з опором R₂₃ (формула (2.16а))

$R_{23}=\frac{R_{2}R_{3}}{ R_{2}+R_{3}}=1,5\ {Ом}$

(1)

отримаємо послідовне з’єднання резисторів R₂₃ і R₁ (рис.14-1) із загальним опором R₀ = R₂₃ + R₁, напруга на якому дорівнює U_AB. Отже, за законом Ома (2.10) загальний струм у ланцюжку, тож у резисторі R₁, струм дорівнює

$I_{0}=I_{1}=\frac{U}{R_{0}}=\frac{U}{R_{23}+R_{1}}=2\ {А}$,

і напруга

$U_{1}=I_{0}R_{1}=7\ {В}$,

Відповідно, напруга на резисторах R₂ і R₃ дорівнює

$U_{23}= U_{АВ}-U_{1}=3\ {В}$,

(2)

а струми становлять

$I_{2}=\frac{U_{23}}{R_{2}}=1,5\ {А}$;

$I_{3}=\frac{U_{23}}{R_{3}}=0,5\ {А}$.

Враховуючи співвідношення (2) і формулу (1) вирази струмів I₂, I₃ можна переписати, як

$I_{2}=I_{0}\frac{R_{3}}{R_{2}+R_{3}}$;

$I_{3}=I_{0}\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{3}}$.

і сформулювати наступний алгоритм обчислення:

при паралельному з’єднанні двох резисторів струм в одному дорівнює загальному струмові, помноженому на опір іншого й поділеному на їхній сумарний опір.

”Інший” резистор називається ”стороннім опором”, а сформульований рецепт обчислення – ”правилом стороннього опору” і використовується в електротехніці при практичних розрахунках.

Задача 2.15

Резистор опором R = 10 Ом і невідомий резистор R_x, що з’єднані між собою один раз послідовно, а інший паралельно, підключають до джерела із внутрішнім опором r = 2 Ом.

Визначити

опір R_x невідомого резистора, якщо в обох випадках струм у ньому однаковий.

Дано:

r = 2 Ом

R = 10 Ом

R_x - ?

Розв’язання

Якщо позначити загальний опір підключених до джерела резисторів при послідовному з'єднанні (рис.15а) як R₁, і при паралельному (рис.15б) як R₂, а сили струму як І₁ й І₂, то за законом Ома (2.13)

${{I}_{1}}=\frac{\E}{{{R}_{1}}+r}$;

${{I}_{2}}=\frac{\E}{{{R}_{2}}+r}$.

(1)

За умовою струм через резистор R_x у другому випадку є такий самий як і в першому, тобто І₁. Отже за розглянутим у попередній задачі "правилом стороннього опору" можна записати:

${{I}_{1}}={{I}_{2}}\frac{R}{{{R}_{1}}}$ $\Rightarrow $ $\frac{{{I}_{2}}}{{{I}_{1}}}=\frac{{{R}_{1}}}{R}$

і, почленно поділивши вирази (1),

$\frac{{{R}_{1}}}{R}=\frac{{{R}_{1}}+r}{{{R}_{2}}+r}$.

(2)

Відтак, зробивши в цьому виразі підстановки

${{R}_{1}}=R+{{R}_{x}}$;

${{R}_{2}}=\frac{R{{R}_{x}}}{R+{{R}_{x}}}$.

й розв'язавши отримане рівняння, дістанемо наступну відповідь:

$R_{x}=\frac{R^{2}}{r}=50$ Ом.

(Вказівка. При розв'язуванні рівняння варто ввести заміну R_х = ηR і шукати параметр η).

Задача 2.16

Струм у підключеному до джерела резисторі R₁ = 2 Ом складає I₁ = 5 А, а напруга на підключеному натомість резисторі R₂ = 120 Ом U₂ = 12 В.

Визначити

струм короткого замикання джерела I₀.

Дано:

R₁ = 2 Ом

I₁ = 5 А

R₂ = 120 Ом

U₂ = 12 В

I₀ - ?

Розв’язання

Струмом короткого замикання джерела називається струм, який виникає при його "закорочуванні", тобто з'єднанні полюсів дротом із гранично малим опором R = 0. Отже, за законом Ома (2.13) маємо:

${{I}_{0}}=\frac{\E}{r}$

(1)

де $\E$ і r – ЕРС і внутрішній опір джерела.

Так само, відповідно до виразів закону Ома (2.13) і (2.7), можна скласти систему рівнянь

$\begin{align} & {{I}_{1}}=\frac{\E}{{{R}_{1}}+r} \\ & {{U}_{2}}=\frac{\E}{{{R}_{1}}+r}{{R}_{2}} \\ \end{align}$

(2)

і знайти величини $\E$ та r, а відтак за формулою (1) – шуканий струм короткого замикання I₀. Але, позаяк у рівняннях (2) опір джерела r є "зав'язаний" на опори R₁, R₂, визначення величин $\E$ та r порізно прямими підстановками потребує громіздких викладок. Проте струм I₀ можна знайти одразу, застосовувати наступний штучний спосіб.

Перепишемо вираз (1) і рівняння (2) в "перевернутому" вигляді й, зробивши підстановку

$\frac{r}{\E}=\frac{1}{{{I}_{0}}}$,

отримаємо:

$\begin{align} & \frac{1}{{{I}_{1}}}-\frac{1}{{{I}_{0}}}=\frac{{{R}_{1}}}{\E} \\ & \frac{1}{{{U}_{2}}}-\frac{1}{{{I}_{0}}{{R}_{2}}}=\frac{1}{\E} \\ \end{align} $.

Відтак, почленно помноживжи друге рівняння на R₁ та прирівнявши праві частини, легко отримаємо наступну загальну відповідь

${{I}_{0}}=\frac{{{I}_{1}}{{U}_{2}}\left( {{R}_{2}}-{{R}_{1}} \right)}{\left( {{U}_{2}}-{{I}_{1}}{{R}_{1}} \right){{R}_{2}}}$

та числове значення

I₀ = 29,5 А.

Задача 2.17

Два джерела з ЕРС і внутрішніми опорами ${{\E}_{1}}$=2 В, $r_{1}= 0,4$ Ом та ${{\E}_{2}}$= 1,5 В, $r_{2}=0,6$ Ом з’єднан0 однойменними полюсами.

Визначити

різницю потенціалів на клемах Δφ і силу струму в джерелах I.

Дано:

${{\E}_{1}}$ = 2В ${{\E}_{2}}$=1,5В r₁ = 0,4 Ом r₂ = 0,6 Ом

Δφ-?, I -?

Розв’язання

Джерела утворюють нерозгалужене коло (рис. 17) з двох ділянок А-В і В-А, з однаковим струмом I₁ = I₂ = І. Тож, увівши позначення φ_А– φ_В = Δφ, за законом Ома (2.10) і виразом (2.7) маємо:

$\frac{-\Delta \varphi +{{\E}_{1}}}{{{r}_{1}}}=\frac{\Delta \varphi -{{\E}_{2}}}{{{r}_{2}}}\quad \Rightarrow \quad \Delta \varphi =\frac{{{\E}_{1}}{{r}_{2}}+{{\E}_{2}}{{r}_{1}}}{{{r}_{1}}+{{r}_{2}}}$ = 1,8 В.

(1)

(Знаки “–” указують на той факт, що при переміщенні позитивних носіїв струму робота кулонівських сил у першому й сторонніх сил у другому джерелі є від'ємною)

Далі за будь-яким із початкових виразів (1) знайдемо величину струму в джерелах:

І = 0,5 А.

Отримані відповіді можна знайти й дещо інакше. А саме.

Указані джерела сполучені однойменними полюсами й утворюють батарею, до якої не підключено навантаження. Тож різниця потенціалів Δφ на полюсах А і В збігається з ЕРС і визначається формулами (2.20) і (2.21):

$\Delta \varphi =\frac{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}+{{r}_{2}}}\left( \frac{{{\E}_{1}}}{{{r}_{1}}}+\frac{{{\E}_{2}}}{{{r}_{2}}} \right)=\frac{{{\E}_{1}}{{r}_{2}}+{{\E}_{2}}{{r}_{1}}}{{{r}_{1}}+{{r}_{2}}}$ = 1,8 В.

Величину струму І теж можна визначити альтернативно, розглядаючи джерела як замкнене коло із загальною ЕРС $\E$ = ${{\E}_{1}}$– ${{\E}_{2}}$ і опором r = r₁ + r₂. У такому разі за законом Ома

$I=\frac{{{\E}_{1}}-{{\E}_{2}}}{{{r}_{1}}+{{r}_{2}}}$ = 0,5 А.

На завершення варто зауважити таке. Знайдений струм розряджає указані джерела, навіть коли вони не підключені до зовнішнього кола. Тому реально в батареї з'єднують тільки ідентичні елементи живлення, для яких І = 0.

Задача 2.18

Два ідеальні (без внутрішнього опору) джерела ${{\E}_{1}}$=4,5В, ${{\E}_{2}}$=2В і три резистори R₁ = 1,5 Ом, R₂ = 1 Ом, R = 4 Ом, є з'єднані, як показано на рис.18.

Визначити

величину і напрям струму в кожному резисторі.

Дано:

${{\E}_{1}}$ = 4,5 В, ${{\E}_{2}}$= 2В

R₁ = 1,5 Ом

R₂ = 1 Ом

R = 4 Ом

I, I₁, I₂ - ?

Розв’язання

Напрямки шуканих струмів, які показано на рис. 18-1, фактично є очевидними. При заданій полярності джерел φ_А > φ_В, отже, в резисторі R струм іде від А до В. А, з огляду на величини ЕРС, напрям струму в джерелах є такий, як у попередній задачі, бо через відсутність сторонніх сил у резисторі R він не впливає на напрямки струмів .

Що ж до величини струмів, то вона визначається законом Ома (2.12) для резистора R і (2.11) для R₁ та R₂. Окрім того, за законом збереження заряду струм І₁ в т. А розгалужується на І та І₂ без зміни їхньої сумарної величини. Тож у відповідності із сказаним можна скласти наступну систему рівнянь:

${{I}_{1}}{{R}_{1}}={{\varphi }_{B}}-{{\varphi }_{A}}+{{\E}_{1}}$;

${{I}_{2}}{{R}_{2}}={{\varphi }_{A}}-{{\varphi }_{B}}-{{\E}_{2}}$;

${I}{R} ={{\varphi }_{A}}-{{\varphi }_{B}}$

${{I}_{1}} =I+{{I}_{2}}$.

(Примітка. Як і в попередній задачі, знаки при ЕРС відображають знак роботи сторонніх сил при переміщенні позитивних носіїв у напрямку струму.)

Розв'язавши ці рівняння, отримаємо наступні відповіді:

${{I}_{1}}=\frac{{{\E}_{1}}\left( R+{{R}_{2}} \right)-{{\E}_{2}}R}{R{{R}_{1}}+{{R}_{1}}{{R}_{2}}+{{R}_{2}}R}$ = 1,26 A;

${{I}_{2}}=\frac{{{-\E}_{2}}\left( R+{{R}_{1}} \right)+{{\E}_{1}}R}{R{{R}_{1}}+{{R}_{1}}{{R}_{2}}+{{R}_{2}}R}$ = 0,61 A;

$I=\frac{{{\E}_{1}}{{R}_{2}}+{{\E}_{2}}{{R}_{1}}}{R{{R}_{1}}+{{R}_{1}}{{R}_{2}}+{{R}_{2}}R}$ = 0,65 A.