ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ". Компенсаційний курс

Розділ ІІ. Постійний електричний струм

Характеристики електричного струму

При аналізі характеристик електричного струму носії розглядаються як частинки ідеального газу й використовуються відповідні співвідношення з молекулярно-кінетичної теорії.

Задача 2.1. Сила електричного струму I у провіднику змінюється з часом t, як показано на графіку I(t). Визначити заряд q, який проходить провідником за перші 5 с.

Задача 2.2. За борівською моделлю атома електрон в атомі Гідрогену рухається навколо ядра по коловій орбіті радіуса R = 53 пм. Заряд електрона e = 1,6·10^–19 Кл, маса m = 9,1·10^–31 кг. Визначити силу еквівалентного струму I, що створюється цим рухом.

Задача 2.3. Густина струму в мідній дротині складає j = 1 А/мм². Оцінити шлях S, який проходить кожен носій струму за час переміщення уздовж дротини на відстань l = 5 мм при температурі 20°С, прийнявши їхню концентрацію на рівні концентрації атомів.

Задача 2.1

Сила електричного струму I у провіднику змінюється з часом t, як показано на графіку. рис. 1.

Визначити

заряд q, який проходить провідником за перші 5 с.

Дано:

I(t)

t₁ = 0

t₂ = 5 c

q - ?

I₀ - ?

Розв’язання

При зміні сили струму з часом порція заряду $\Delta{q_{k}}$, що в якийсь момент t_k проходить провідником за малий проміжок часу $\Delta{t_{k}}$, наближено складає

$\Delta{q}_{k}\approx{I}(t_{k})\cdot\Delta{t}_{k}$

і чисельно дорівнює площі відповідної вузької смужки на графіку I(t) шириною Δt_k, рис. 1. Відповідно, заряд за весь заданий час наближено визначається сумарною площі таких смужок:

$q\approx \sum\limits_{k}{{{I}_{k}}\Delta {{t}_{k}}}$.

Зрозуміло, що при при зменшенні інтервалів $\Delta{t_{k}}$ похибка розрахунку зменшується, тож точна величина q чисельно дорівнює площі виділеної ділянки графіка I(t), котра, як видно з рис. 1, утворює з осями координат дві стичні трапеції. Тож, обчисливши їхню сумарну площу за даними умови, дістанемо таку відповідь:

$q=1,05$ (Кл).

Задача 2.2

За борівською моделлю атома електрон в атомі Гідрогену рухається навколо ядра по коловій орбіті радіуса R = 53 пм (рис. 2). Заряд електрона e = 1,6·10^–19 Кл, маса m = 9,1·10^–31 кг.

Визначити

силу еквівалентного струму I, що створюється цим рухом.

Дано:

R = 53 пм = 53·10^–12 м

e = 1,6·10^–19 Кл

m = 9,1·10^–31 кг

I - ?

Розв’язання

Згідно із завданням, йдеться про величину заряду q, який за одиницю часу переноситься електроном крізь розташовану на його шляху уявну площинку при обертанні навколо ядра. Отже,

I = еn,

(1)

де n – частота обертання, тобто кількість обертів електрона по орбіті за 1 с.

Величину n не важко знайти, позаяк вона визначається доцентровим прискоренням ([І], ф-ла (1.28)) електрона, котре дорівнює відношенню сили його притягання до ядра (формула (1.3)) та масою. Тож

4π²n²R = $\frac{k{{e}^{2}}}{m{{R}^{2}}}$ $\Rightarrow $ $n=\frac{{{e}}}{2\pi R}\sqrt{\frac{k}{mR}}$.

Відтак за виразом (1) знаходимо відповідь:

$I=\frac{{{e}^{2}}}{2\pi R}\sqrt{\frac{k}{mR}}$,

де k = (1/4πε₀) = 9·10⁹ м/Ф.

Обчислення дають:

І = 1,05·10^–3 А ≈ 1 мА.

Задача 2.3.

Густина струму в мідній дротині складає j = 1 А/мм².

Оцінити

шлях S, який проходить кожен носій струму за час переміщення уздовж дротини на відстань l = 5 мм при температурі 20°С, прийнявши їхню концентрацію на рівні концентрації атомів.

Дано:

j = 1 А/мм² = 10⁶ А/м²

l = 5 мм = 5·10^–3 м

t = 20°С

S - ?

Розв’язання

Упорядкований рух носіїв струму в металах, якими є вільні електрони, відбувається на тлі їхнього хаотичного теплового руху і в певному сенсі нагадує повільне зміщення (дрейф) рою комах під дією легкого вітерцю. Тому швидкість упорядкованого руху носіїв, яку називають дрейфовою швидкістю, є характеристикою не окремих носіїв, а всієї їхньої сукупності. Що ж до поодиноких носіїв, то через хаотичність теплового руху пройдений кожним із них шлях S набагато перевищує зміщення l уздовж провідника і складає

S = vt,

де v – середня швидкість теплового руху носіїв, і t = (l/u) – час їхнього переміщення (дрейфу) вздовж провідника на відстань l із дрейфовою швидкістю u. Отже шуканий шлях

$S=\frac{v}{u}l$.

(1)

Дрейфову швидкість u можна визначити з формули (2.4) як

$u=\frac{j}{en}$

(2)

через задані густину струму j і відомий заряд e та концентрацію носіїв n = (N/V), що визначається їхньою кількістю в якомусь виділеному об'ємі провідника.

Величину n можна визначити з основних положень молекулярно-кінетичної теорії ([II], розділ І, п. 1.1). Дійсно, за умовою кількість носіїв у провіднику дорівнює кількості атомів N, отож складає

N = νN_А,

де ν (моль) – кількість речовини у провіднику, N_А – стала Авогадро (кількість атомів в одному молі). А об'єм

$V=\frac{m}{\rho }=\frac{\nu M}{\rho }$,

де ρ – густина, а m і M – маса виділеної частини провідника та молярна маса його речовини. Отже, для концентрації атомів, тож і носіїв струму, маємо

$n=\frac{\rho {{N}_{A}}}{M}$.

(3)

Відтак за формулою (2) визначаємо дрейфову швидкість u:

$u=\frac{jM}{e\rho {{N}_{A}}}$,

(4)

де e = 1,6·10^–19 Кл, N_А = 6,02·10²³ моль^-1, густина міді ρ =(m/V) = 8,9·10³ кг/м³, молярна маса M = 64·10³ кг/моль. Обчислення дають

u ≈ 10^–4 м/с = 0,1 мм/с.

Швидкість теплового руху носіїв (електронів) оцінимо за формулою середньоквадратичної швидкості частинок ідеального газу ([ІІ], ф-ла (1.9)):

$v\approx\sqrt{\frac{3kT}{m}}$,

де k = 1,38·10^-23 Дж/К – стала Больцмана, m = 9,1·10^-31 кг – маса електрона, T = 293 К (20 °С). Тож

v ≈ 10⁵ м/с.

Відтак, за отриманими значеннями v i u з формули (1) знайдемо наступну оцінку шляху, який проходить окремий носій за час дрейфу уздовж провідника на відстань l = 5 мм:

S ≈ 5000 км.

Отже, цей вражаючий результат свідчить, що спрощене уявлення про рух носіїв струму вздовж провідника зі струмом є вельми умовним.