ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ". Компенсаційний курс

Розділ ІІ. Постійний електричний струм

1.3. З'єднання резисторів і джерел струму

Основними складовими частинами електричного кола є резистори або опори – елементи, що задовольняють закон Ома і забезпечують потрібний розподіл струмів та напруг у колі. На схемах резистор зображується прямокутником (рис.2.4а) з указанням величини його електричного опору R. В електричних і електронних схемах використовуються також потенціометри – змінні резистори, споряджені двома фіксованими та одним рухомим контактом ("повзунком"), рис. 2.4б.

Потенціометри використовуються для регулювання потенціалів у різних точках кола, або як резистори із змінним опором (реостати) для регулювання струмів на різних ділянках кола. В останньому випадку вони вмикаються в коло одним фіксованим контактом і повзунком.

Джерела живлення на схемах теж мають свої позначення, залежні від типу джерела. Зокрема, хімічні джерела (батарейки й акумулятори) зображуються, як показано на рис. 2.5.

Відповідно до сказаного, схема найпростішого електричного кола має вигляд рис. 2.6:

Електричні та електронні пристрої, крім найпростіших, містять велику кількість резисторів та інших схемних елементів, які можуть утворювати різноманітні комбінації (з'єднання). Найпростішими з є послідовні та паралельні з'єднання . Параметри цих з'єднань легко визначаються, що дозволяє спростити розрахунок усього кола, розглядаючи кожне з'єднання як один резистор із відповідним опором.

Послідовне з'єднання резисторів (рис. 2.7). При такому способі сполучення струм не розгалужується і в усіх резисторах має однакову величину:

I₁ = ... = I_i = … = I_n= I₀,

а загальна напруга U₀ на кінцях з'єднання дорівнює сумі напруг на кожному з резисторів:

U₀ = U₁ + ... +U_i + … + U_n = $\sum\limits_{i=1}^{n}U_{i}$.

(2.14)

Отже, за законом Ома (2.10)

при послідовному з'єднанні резисторів загальний або еквівалентний опір R₀ з'єднання дорівнює сумі опорів усіх з'єднаних резисторів:

R₀ = R₁ + ... + R_i + … + R_n = $\sum\limits_{i=1}^{n}R_{i}$.

(2.15)

Зокрема, для n однакових резисторів з опором R

R₀ = nR.

(2.15а)

При паралельному з'єднанні (рис. 2.8) є однаковою напруга на резисторах:

U₁ = ... = U_i =…= U_n= U₀,

а струм I₀ розгалужується по них, так що

I₀ = I₁ + ... + I_i + … + I_n.

За законом Ома (2.10) струм у кожному резисторі

$I_{i}=\frac{U_{0}}{R_{i}}$,

отже, загальний струм

${{I}_{0}}={{U}_{0}}\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{{{R}_{i}}}}$.

Порівнюючи цей вираз із формулою (2.10), знаходимо співвідношення, що визначає

загальний опір паралельного з'єднання резисторів:

$\frac{1}{R_{0}}=\frac{1}{R_{1}}+... +...\frac{1}{R_{i}}+…+\frac{1}{R_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{R_{i}}$.

(2.16)

При цьому для n резисторів з однаковим опором R виходить

$R_{0}=\frac{R}{n}$,

(2.16а)

а для двох резисторів із опорами R₁, R₂

$\frac{1}{R_{0}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$ $\Rightarrow$ $R_{0}=\frac{R_{1}R_{2}}{ R_{1}+R_{2}}$.

(2.16б)

На практиці при створенні електричних батарей з потрібними параметрами також використовують з'єднання елементів живлення (рис. 2.9а,б).

При послідовному з'єднанні n джерел із ЕРС $\E_{1},\ldots ,\E_{i},\ldots ,\E_{n}$ і внутрішні опори r₁, r₂,…r_n, (рис. 2.9а) загальна ЕРС батареї $\E_{0}$ дорівнює сумі ЕРС окремих джерел:

$\E_{0}=\E_{1}+\ldots +\E_{i}+\ldots +\E_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\E_{i}}$,

(2.17)

а загальний внутрішній опір r₀

r₀ = r₁ +... r_і +…+ r_n= $\sum\limits_{i=1}^{n}r_{i}$.

(2.18)

Якщо всі джерела мають однакові ЕРС ($\E_{1}=\E_{i}=…=\E_{n}=\E$) і внутрішні опори (r₁ = ... r_i = … = r_n = r), то

$\E_{0}=n\E$ і r₀ = nr.

(2.19)

При паралельному з'єднанні джерел (рис. 2.9б) загальний опір r₀ і загальна ЕРС $\E_{0}$ батареї визначаються виразами:

$\frac{1}{r_{0}}=\frac{1}{r_{1}}+... +\frac{1}{r_{i}}+…+\frac{1}{r_{n}}$=$\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{{{r}_{i}}}}$;	(2.20)
$\frac{{{\E}_{0}}}{{{r}_{0}}}=\frac{{{\E}_{1}}}{{{r}_{1}}}+\ldots +\frac{{{\E}_{i}}}{{{r}_{i}}}+\ldots +\frac{{{\E}_{n}}}{{{r}_{n}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\E}_{i}}}{{{r}_{i}}}}$.	(2.21)

Для однакових джерел ($\E_{i}=\E$, r_i = r)

$r_{0}=\frac{r}{n}$ і $\E_{0}=\E$.

(2.22)

Якщо батарею замінити одним джерелом із відповідними параметрами $\E_{0}$ і r₀, то струми й напруги в колі залишаться без змін. Тож величини $\E_{0}$ та r₀ називають параметрами еквівалентного джерела.